《【世纪金榜】2017春人教版高中数学必修五课件：1.1.2 余弦定理4 》由会员分享，可在线阅读，更多相关《【世纪金榜】2017春人教版高中数学必修五课件：1.1.2 余弦定理4 （70页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1.1.2 余弦定理,【自主预习】 主题:余弦定理 1.如图,设 那么向量c的平方是什 么?表示为对应的边可以得到什么式子?,提示:c=b-a,|c|2=(b-a)(b-a)=bb+aa-2ab= a2+b2-2abcosC,所以c2=a2+b2-2abcosC.,2.利用1的结论思考下面的问题: (1)已知三角形的三边a,b,c,如何表示cosC. 提示:由1知c2=a2+b2-2abcosC, 故cosC=,(2)若C=90,1的结论还成立吗?如果成立写出该结论,若不成立说明理由. 提示:若C=90,1的结论仍成立,即c2=a2+b2.,根据以上探究,归纳余弦定理的定义:,平方,平方,夹角
2、,两倍,c2+a2-2accosB,【深度思考】 结合教材P6“?”处用坐标法如何证明余弦定理?,提示:如图,以A为原点,边AB所在直线为x轴建立直角坐标系,则A(0,0),B(c,0),C(bcosA,bsinA),所以a2=b2cos2A-2bccosA+c2+b2sin2A, 即a2=b2+c2-2bccosA. 同理可证:b2=c2+a2-2cacosB,c2=a2+b2-2abcosC.,【预习小测】 1.在ABC中,已知 则A= ( ) A.60 B.30 C.120 D.150,【解析】选C.cosA= 又0A180,所以A=120.,2.若a,b,c为ABC的三边,B=120,
3、则a2+c2+ac-b2的值 ( ) A.大于0 B.小于0 C.等于0 D.不确定,【解析】选C.cosB= 所以a2+c2-b2=-ac,即a2+c2+ac-b2=-ac+ac=0.,3.已知在ABC中,a=2,b=4,c=5,则cosA=_. 【解析】cosA= 答案:,4.在ABC中,若三角形的三条边长分别为4,5,7,则这个三角形是_三角形.,【解析】边长为7的边所对角为最大角,不妨设为C, 由余弦定理得cosC= 所以C为钝角,所以ABC为钝角三角形. 答案:钝角,5.在ABC中,设角A,B,C的对边分别为a,b,c且cosA= , 若a=4,b+c=6且bc,求b,c的值.(仿照
4、教材P7例3解析过 程),【解析】由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA, 即a2=(b+c)2-2bc-2bccosA, 所以16=36- bc,所以bc=8, 由 得,【互动探究】 1.根据余弦定理及其推论的形式,可以解哪两类三角形问题?,提示:根据余弦定理及其推论可以解决以下两类三角形问题: (1)已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边. (2)已知三角形的三条边就可以求出其角.,2.在ABC中,若c2a2+b2,则三角形一定是钝角三角形吗?若c2a2+b2,则三角形一定是锐角三角形吗?,提示:若c2a2+b2,则三角形一定是钝角三角形,因为c2a2+b2时cosC0,所
5、以C为钝角;若c2a2+b2,则三角形不一定是锐角三角形,因为c不一定是最大的边.,【探究总结】 知识归纳:,方法总结: 对余弦定理的理解 (1)适用范围:对任意的三角形,三个等式都成立. (2)结构特征:“平方”“夹角”“余弦”. (3)简单应用:每个等式都涉及三边和一个角四个元素,在等式中可做到知三求一.,(4)定理特例:当夹角为90时(如C=90),则c2=a2+b2.即余弦定理是勾股定理的推广,勾股定理是余弦定理的特例.,【题型探究】 类型一:利用余弦定理解三角形 【典例1】(1)(2016全国卷)ABC的内角A,B,C的 对边分别为a,b,c.已知 则b= ( ),(2)(2016山
6、东高考)在ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知b=c,a2=2b2(1-sinA),则A= ( ),【解题指南】(1)利用余弦定理列出b的方程,解方程求b即可. (2)利用余弦定理,求出cosA,即可得出A的值.,【解析】(1)选D.由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA, 得( )2=b2+22-2b2cosA,即3b2-8b-3=0, 解得b=- (舍)或b=3.,(2)选C.由题意1-sinA= 所以sinA=1- 所以A=,【规律总结】利用余弦定理解三角形的两种类型及解法技巧 (1)已知三角形的两边及夹角解三角形,可以先由余弦定理求出第三条边,再由正弦定理求出一角,最
7、后由A+B+C=180,求出第三个角.,(2)已知三角形的三边,可由余弦定理求三角形的两个内角,再由A+B+C=180求出第三个角. 上述两种情况,运用余弦定理时,因为是已知三边求角,或已知两边及夹角求另一边,由三角形全等的判定定理可知,三角形是确定的,因而解唯一.,【巩固训练】(1)(2015广东高考)设ABC的内角 A,B,C的对边分别为a,b,c.若a=2, 且bc,则b=( ),(2)已知ABC的三边长为 解此三角形.,【解析】(1)选B.由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA, 所以22=b2+(2 )2-2b 即b2-6b+8=0,解得b=2或b=4. 因为bc,所以b=2.
8、,(2)由余弦定理得:cosA= 所以A=60. 所以B=45,所以C=180-A-B=75.,【补偿训练】(2017晋江高二检测)在ABC中, AB=5,AC=3,BC=7,则BAC= ( ),【解析】选D.由余弦定理得cosBAC= 因为0A,所以BAC=,类型二:判断三角形形状 【典例2】(2016杭州高二检测)在ABC中,角A,B,C 所对的边分别是a,b,c,若a2+b2-ab=c2且 判断 ABC的形状.,【解题指南】由a2+b2-ab=c2利用余弦定理求出C,再由 利用正弦定理求B,最后由三角形内角和求A.,【解析】由a2+b2-ab=c2,得a2+b2-c2=ab, 所以cos
9、C= 所以C= 又 所以 所以sinB= 所以B= 所以A=-B-C= 故该三角形为直角三角形.,【规律总结】三角形形状判断的技巧 (1)若式子中含有角的余弦或是边的二次式,一般考虑用余弦定理. (2)若式子中含有角的正弦或是边的一次式,则考虑用正弦定理.,【巩固训练】在ABC中,已知cos2 (a,b,c分 别为角A,B,C的对边),判断ABC的形状.,【解析】因为cos2 所以 所以cosA= 由余弦定理,得 所以b2+c2-a2=2b2,即a2+b2=c2, 所以ABC是直角三角形.,【补偿训练】在ABC中,已知acosA+bcosB=ccosC,试判断ABC的形状.,【解题指南】将余弦
10、定理的变形形式代入,转化成边的关系,化简变形后判断三角形的形状.,【解析】由余弦定理, 得 所以a2(b2+c2-a2)+b2(c2+a2-b2)=c2(a2+b2-c2), a2(b2-a2)+a2c2+b2(a2-b2)+b2c2=c2a2+b2c2-c4, 即(a2-b2)2=c4,所以a2-b2=c2或a2-b2=-c2,即b2+c2=a2或a2+c2=b2. 所以ABC是直角三角形.,类型三:正弦定理、余弦定理的综合应用 【典例3】(2015江苏高考)在ABC中,已知AB=2, AC=3,A=60. (1)求BC的长. (2)求sin2C的值.,【解题指南】(1)利用余弦定理可求得B
11、C的长.(2)先利用正弦定理求出sinC的值,再利用余弦定理求出cosC的值,最后由二倍角的正弦公式即可求得sin2C的值.,【解析】(1)在ABC中,由余弦定理可知,BC2= AC2+ AB2-2ACABcosA,即BC2=32+22-232cos60, 解得,(2)由正弦定理可知, 即 解得 由余弦定理可得, cosC= 所以sin2C=2sinCcosC=,【延伸探究】1.(改变问法)本例条件不变,试求cosB的值.,【解析】由本例解析(1)知 故在ABC中由余 弦定理得cosB=,2.(变换条件)若把本例中的A=60换为A=120,其他条件不变,则结果又是什么?,【解析】(1)在ABC
12、中,由余弦定理可知, BC2=AC2+AB2-2ACABcosA =32+22-232cos120,解得,(2)由正弦定理可知 即 解得sinC= 由余弦定理可得 所以sin2C=2sinCcosC=,【规律总结】利用正、余弦定理解决三角形中综合问题的常用思想方法 (1)正弦定理和余弦定理从不同的侧面反映了三角形中的边角关系,揭示了三角形中元素间的内在联系,解题时一定要注意正、余弦定理的结合,可相互渗透,相互促进,它们是解决三角形问题的主要依据.,(2)解决正弦定理与余弦定理的综合应用问题,应注意根据具体情况引入未知数,运用方程思想来解决问题.,【补偿训练】如图,在四边形ABCD中,ADCD,
13、AD=10, AB=14,BDA=60,BCD=135,求BC的长.,【解析】在ABD中,AD=10, AB=14,BDA=60, 设BD=x,由余弦定理,得 AB2=AD2+BD2-2ADBDcosBDA, 所以142=102+x2-210xcos60, 即x2-10x-96=0,解得x1=16,x2=-6(舍),所以BD=16. 因为ADCD,BDA=60,所以CDB=30, 在BCD中由正弦定理得 所以BC=,拓展类型:利用正、余弦定理证明三角恒等式 【典例】(1)在ABC中,求证: (2)在ABC中,求证:a2+b2+c2=2(bccosA+cacosB+ abcosC).,【解题指南】(1)从要证明的等式的左端出发,将切化弦,然后利用正、余弦定理即可证明该等式成立. (2)从要证明的等式的右端出发,利用余弦定理即可证明.,【证明】(1)左边= =右边,等式得证.,(2)右边= =b2+c2-a2+a2+c2-b2+a2+b2-c2=a2+b2+c2=左边. 等式得证.,【规律总结】利用正、余弦定理证明三角恒等式的关键 证明三角恒等式关键是消除等号两端三角函数式的差异.形式上一般有左右;右左或左中右三种.,
