《2018版高中数学 第一章 计数原理 1.1 第2课时 分类计数原理与分步计数原理的应用课件 苏教版选修2-3》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018版高中数学 第一章 计数原理 1.1 第2课时 分类计数原理与分步计数原理的应用课件 苏教版选修2-3（42页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第2课时 分类计数原理与分步计数原理的应用,第1章 1.1 两个基本计数原理,学习目标 巩固分类计数原理和分步计数原理，并能灵活应用这两个计数原理解决实际问题.,题型探究,知识梳理,内容索引,当堂训练,知识梳理,知识点一 两个计数原理的区别与联系,知识点二 两个计数原理的综合应用,解决较为复杂的计数问题，一般要将两个计数原理综合应用.使用时要做到目的明确，层次分明，先后有序，还需特别注意以下两点： (1)合理分类，准确分步：处理计数问题，应扣紧两个原理，根据具体问题首先弄清楚是“分类”还是“分步”，要搞清楚“分类”或者“分步”的具体标准.分类时需要满足两个条件：类与类之间要互斥(保证不重复)；
2、总数要完备(保证不遗漏)，也就是要确定一个合理的分类标准.分步时应按事件发生的连贯过程进行分析，必须做到步与步之间互相独立，互不干扰，并确保连续性.,(2)特殊优先，一般在后：解含有特殊元素、特殊位置的计数问题，一般应优先安排特殊元素，优先确定特殊位置，再考虑其他元素与其他位置，体现出解题过程中的主次思想.,题型探究,例1 用0,1,2,3,4五个数字， (1)可以排成多少个三位数字的电话号码？,解 三位数字的电话号码，首位可以是0，数字也可以重复，每个位置都有5种排法，共有55553125(种).,解答,类型一 排数问题,(2)可以排成多少个三位数？,解 三位数的首位不能为0，但可以有重复数
3、字，首先考虑首位的排法，除0外共有4种方法，第二、三位可以排0，因此，共有455100(种).,解答,(3)可以排成多少个能被2整除的无重复数字的三位数？,解 被2整除的数即偶数，末位数字可取0,2,4，因此，可以分两类，一类是末位数字是0，则有4312(种)排法； 一类是末位数字不是0，则末位有2种排法，即2或4，再排首位，因0不能在首位，所以有3种排法，十位有3种排法，因此有23318(种)排法. 因而有121830(种)排法.即可以排成30个能被2整除的无重复数字的三位数.,解答,引申探究 由本例中的五个数字可组成多少个无重复数字的四位奇数？,解 完成“组成无重复数字的四位奇数”这件事，
4、可以分四步：第一步定个位，只能从1,3中任取一个，有2种方法； 第二步定首位，把1,2,3,4中除去用过的一个还有三个，可任取一个，有3种方法； 第三步，第四步把剩下的包括0在内的还有3个数字先排百位有3种方法，再排十位有2种方法.由分步计数原理知共有233236(个).,解答,对于组数问题，应掌握以下原则： (1)明确特殊位置或特殊数字，是我们采用“分类”还是“分步”的关键.一般按特殊位置(末位或首位)分类，分类中再按特殊位置(或特殊元素)优先的策略分步完成；如果正面分类较多，可采用间接法求解. (2)要注意数字“0”不能排在两位数字或两位数字以上的数的最高位.,反思与感悟,解析 因为四位数
5、的每个数位上都有两种可能性，其中四个数字全是2或3的情况不合题意，所以符合题意的四位数有24214(个).,跟踪训练1 用数字2,3组成四位数，且数字2,3至少都出现一次，这样的四位数共有_个.(用数字作答),答案,解析,14,例2 如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为_.,类型二 抽取(分配)问题,解析 从E点到F点的最短路径有6条，从F点到G点的最短路径有3条， 所以从E点到G点的最短路径条数为6318.,答案,解析,18,解决抽取(分配)问题的方法 (1)当涉及对象数目不大时，一般选用列举法、树
6、状图法、框图法或者图表法. (2)当涉及对象数目很大时，一般有两种方法：直接使用分类计数原理或分步计数原理.一般地，若抽取是有顺序的就按分步进行；若是按对象特征抽取的，则按分类进行；间接法：去掉限制条件，计算所有的抽取方法数，然后减去所有不符合条件的抽取方法数即可.,反思与感悟,跟踪训练2 有四位同学参加三项不同的竞赛. (1)每位学生必须参加且只能参加一项竞赛，有多少种不同结果？,解 学生可以选择竞赛项目，而竞赛项目对于学生无条件限制， 所以每位学生均有3个不同的机会，要完成这件事必须是每位学生参加的竞赛全部确定下来才行，因此需分四步. 而每位学生均有3个不同选择， 所以用分步计数原理可得3
7、3333481(种)不同结果.,解答,(2)每项竞赛只许一位学生参加，有多少种不同的结果？,解 竞赛项目可挑选学生，而学生无选择项目的机会，每一个项目可挑选4位不同学生中的一位. 要完成这件事必须是每项竞赛所参加的学生全部确定下来才行， 因此需分三步，用分步计算原理可得4444364(种)不同结果.,解答,命题角度1 涂色问题 例3 将红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在如图所示“田”字形的4个小方格内，每格涂一种颜色，相邻两格涂不同的颜色，如果颜色可以反复使用，共有多少种不同的涂色方法？,类型三 涂色与种植问题,解答,解 第1个小方格可以从5种颜色中任取一种颜色涂上，有5种不同的涂法. (1)当第
8、2个、第3个小方格涂不同颜色时，有4312(种)不同的涂法，第4个小方格有3种不同的涂法，由分步计数原理可知有5123180(种)不同的涂法. (2)当第2个、第3个小方格涂相同颜色时，有4种涂法，由于相邻两格不同色，因此，第4个小方格也有4种不同的涂法，由分步计数原理可知有54480(种)不同的涂法. 由分类计数原理可得共有18080260(种)不同的涂法.,引申探究 若本例中的区域改为如图所示，其他条件均不变，则不同的涂法共有多少种？,解答,解 依题意，可分两类情况：不同色；同色. 第一类：不同色，则所涂的颜色各不相同，我们可将这件事情分成4步来完成. 第一步涂，从5种颜色中任选一种，有5
9、种涂法； 第二步涂，从余下的4种颜色中任选一种，有4种涂法； 第三步涂与第四步涂时，分别有3种涂法和2种涂法. 于是由分步计数原理可得，不同的涂法为5432120(种).,第二类：同色，则不同色，我们可将涂色工作分成三步来完成. 第一步涂，有5种涂法；第二步涂，有4种涂法；第三步涂，有3种涂法. 于是由分步计数原理得，不同的涂法有54360(种). 综上可知，所求的涂色方法共有12060180(种).,涂色问题的四个解答策略 涂色问题是考查计数方法的一种常见问题，由于这类问题常常涉及分类与分步，所以在高考题中经常出现，处理这类问题的关键是要找准分类标准，求解涂色问题一般是直接利用两个计数原理求
10、解，常用的方法有： (1)按区域的不同以区域为主分步计数，并用分步计数原理计算. (2)以颜色为主分类讨论法，适用于“区域、点、线段”问题，用分类计数原理计算. (3)将空间问题平面化，转化为平面区域的涂色问题. (4)对于不相邻的区域，常分为同色和不同色两类，这是常用的分类标准.,反思与感悟,跟踪训练3 如图所示，将四棱锥SABCD的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端点异色，如果只有5种颜色可供使用，求不同的染色方法总数.,解答,解 由题意，四棱锥SABCD的顶点S，A，B所染的颜色互不相同，它们共有54360(种)染色方法. 当S，A，B染色确定时，不妨设其颜色分别为1,2,3.
11、 若C染2，则D可染3或4或5，有3种染法；若C染4，则D可染3或5，有2种染法；若C染5，则D可染3或4，有2种染法. 由分类计数原理知，当S，A，B染法确定时，C，D有7种染法. 由分步计数原理得，不同的染色方法有607420(种).,命题角度2 种植问题 例4 将3种作物全部种植在如图所示的5块试验田中，每块种植一种作物，且相邻的试验田不能种同一种作物，则不同的种植方法共有_种.,答案,解析,42,解析 分别用a、b、c代表3种作物，先安排第一块田，有3种方法，不妨设放入a，再安排第二块田，有2种方法b或c，不妨设放入b，第三块也有2种方法a或c. (1)若第三块田放c：,第四、五块田分
12、别有2种方法，共有224(种)方法.,(2)若第三块田放a：,第四块有b或c2种方法， 若第四块放c：,第五块有2种方法；,若第四块放b：,第五块只能种作物c，共1种方法. 综上，共有32(2221)42(种)方法.,按元素性质分类，按事件发生过程分步是计数问题的基本思想方法，区分“分类”与“分步”的关键，是验证所提供的某一种方法是否完成了这件事情，分类中的每一种方法都能完成这件事情，而分步中的每一种方法不能完成这件事情，只是向事情的完成迈进了一步.,反思与感悟,跟踪训练4 从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，求有多少种不同的种植方法
13、.,解答,解 方法一 (直接法)若黄瓜种在第一块土地上，则有326(种)不同的种植方法. 同理，黄瓜种在第二块、第三块土地上，均有326(种)不同的种植方法. 故不同的种植方法共有6318(种). 方法二 (间接法)从4种蔬菜中选出3种，种在三块地上，有43224(种)，其中不种黄瓜有3216(种)，故不同的种植方法共有24618(种).,当堂训练,1.用0,1,2,3组成没有重复数字的四位数，其中奇数有_个.,答案,2,3,4,5,1,解析,解析 个位数只能是1或3，所以有2种选择，首位不能为0，则有2种选择，剩下的2个数字，百位有2种选择，十位数字只有1种选择，由分步计数原理，奇数有222
14、18(个).,8,2.在2,3,5,7,11这五个数字中，任取两个数字组成分数，其中假分数的个数为_.,答案,2,3,4,5,1,解析,解析 当分子为11时，分母可为2,3,5,7，所以可构成4个假分数； 当分子为7时，分母可为2,3,5，所以可构成3个假分数； 当分子为5时，分母可为2,3，所以可构成2个假分数； 当分子为3时，分母可为2，所以可构成1个假分数. 由分类计数原理可得，假分数的个数为432110.,10,3.有5名同学被安排在周一至周五值日，每人值日一天.已知同学甲只能在周三值日，那么这5名同学值日顺序的安排方案共有_种.,答案,2,3,4,5,1,解析,解析 安排同学甲周三值
15、日，其余4名同学的安排方案分四个步骤完成：第一步，安排第一位同学，有4种方法； 第二步，安排第二位同学，有3种方法； 第三步，安排第三位同学，有2种方法； 第四步，安排第四位同学，有1种方法.根据分步计数原理知，这5名同学值日顺序的安排方案共有432124(种).,24,4.如图所示，在A，B间有四个焊接点，若焊接点脱落，则可能导致电路不通.今发现A，B之间线路不通，则焊接点脱落的不同情况有_种.,答案,2,3,4,5,1,解析,13,解析 按照焊点脱落的个数进行分类： 第一类：脱落一个焊点，只能是脱落1或4，有2种情况； 第二类：脱落两个焊点，有(1,4)，(2,3)，(1,2)，(1,3)
16、，(2,4)，(3,4)，共6种情况； 第三类：脱落三个焊点，有(1,2,3)，(1,2,4)，(1,3,4)，(2,3,4)，共4种情况； 第四类：脱落四个焊点，只有(1,2,3,4)1种情况. 于是焊点脱落的情况共有264113(种).,2,3,4,5,1,5.如图，用4种不同的颜色涂入图中的矩形A，B，C，D中，要求相邻的矩形涂色不同，则不同的涂法有_种.,2,3,4,5,1,答案,解析,解析 A有4种涂法，B有3种涂法，C有3种涂法，D有3种涂法，共有4333108(种)涂法.,108,规律与方法,1.分类计数原理与分步计数原理是两个最基本、也是最重要的原理，是解答后面将要学习的排列、组合问题，尤其是较复杂的排列、组合问题的基础. 2.应用分类计数原理要求分类的
