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1、全等三角形的概念和性质全等三角形的概念和性质 一、一、全等形全等形 形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合.能够完全重合 的两个图形叫做全等形. 一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、 翻折、旋转前后的图形全等.两个全等形的周长相等，面积相等.二、二、全等三角形全等三角形 能够完全重合的两个三角形叫全等三角形. 三、三、对应顶点，对应边，对应角对应顶点，对应边，对应角 1.1. 对应顶点，对应边，对应角对应顶点，对应边，对应角定义定义 两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫 对应角. 在写两个三角形全等时， 通常把对
2、应顶点的字母写在对应位置上， 这样容易找出对应边、 对应角.如下图，ABC 与DEF 全等，记作ABCDEF，其中点 A 和点 D，点 B 和点 E， 点 C 和点 F 是对应顶点；AB 和 DE，BC 和 EF，AC 和 DF 是对应边；A 和D，B 和E， C 和F 是对应角. 2.2. 找对应边、对应角的方法找对应边、对应角的方法 （1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边； （2）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角； （3）有公共边的，公共边是对应边； （4）有公共角的，公共角是对应角； （5）有对顶角的，对顶角一定是对应角； （6）两
3、个全等三角形中一对最长的边（或最大的角）是对应边（或角），一对最短的 边（或最小的角）是对应边（或角），等等. 四、四、全等三角形的性质全等三角形的性质 全等三角形的对应边相等； 全等三角形的对应角相等. 全等三角形对应边上的高相等，对应边上的中线相等，周长相等，面积相等. 例题例题 类型一、全等形和全等三角形的概念类型一、全等形和全等三角形的概念 1、下列每组中的两个图形，是全等图形的为（） AB CD 如图，在 5 个条形方格图中，图中由实线围成的图形与全等的有_. 类型二、类型二、全等三角形的对应边，对应角全等三角形的对应边，对应角 如图，ABNACM，B 和C 是对应角，AB 与 AC
4、 是对应边，写出其他对应边和对应角. 如图，ABDACE，ABAC，写出图中的对应边和对应角. 已知：ABCADE，求证：BAE=DAC ABE与ACD全等，D与E对应， 顶点C与B对应， 写出其他对应角及对应顶点 如图ABDACE，试说明EBD与DCE的关系 三、三、全等三角形性质全等三角形性质 如图所示，RtEBC 中，EBC90，E35.以 B 为中心，将 RtEBC 绕点 B 逆时针 旋转 90得到ABD，求ADB 的度数.AB=3cm，AC=8cm，求 DE 的长. 如图，把ABC 绕 C 点顺时针旋转 35，得到A B C ，A B 交 AC 于点 D，则 AB D 如图，将ABC
5、 绕着点 C 按顺时针方向旋转 20，B 点落在 B 位置，A 点落在 A 位置，若 ACA B ，则BAC的度数是_. 如图，若ABCA1B1C1且A=110 ，B=40.，则C1= 已知ABCDEF。求证：DC=AF 求证：BCEF A BC C1 A1 B1 C O B E A 已知：ADEBCF，AD6，CD5，求 BD 长。 已知：如图 19，ABCDEF，A85，B60，AB8，EH2 （1）求F 的度数与 DH 的长；（2）求证：ABDE 如图 ABBC，ABEECD判断 AE 与 DE 的关系，并证明你的结论 如图，ABCADE， 且10CAD ，25BD ，120EAB ，
6、求DFB 和DGB的度数 如 图 所 示 ，ABCADE，BC的 延 长 线 交DA于F， 交DE于G， 105ACBAED ，15CAD ，30BD ，求1的度数 E A F C D B G A F C B D G E 1 如图所示，ABCD， ， ，在同一直线上，且ABFDCE求证： AFDEBFCEACBD， 如图，点ABCD， ， ，在一条直线上，ABF DCE，你能得出哪些结论? 如图所示，ABCADE，B与D，C与E是对应点 求证：12 如图所示，ADFBCE，30B ，25F ，5cmBC ，1cmCD ， 4cmDF ，求： （1）1的度数； （2）AC的长 如图，已知 ABC
7、 中， 10ABAC 厘米， 8BC 厘米，点D为AB的中点 （1）如果点 P 在线段 BC 上以 3 厘米/秒的速度由 B 点向 C 点运动，同时，点 Q 在线段 CA 上由 C 点向 A 点运动 若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度相等，经过 1 秒后， BPD 与 CQP 是否全等， A F B CD E A B C F E D A D B 1 2 C E 1 E F ABCD 请说明理由； 若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等， 当点Q的运动速度为多少时， 能够使 BPD 与 CQP 全等？ （2） 若点 Q 以中的运动速度从点 C 出发， 点 P 以原来的运动速度从点 B 同时
8、出发， 都逆时针沿 ABC 三边运动，求经过多长时间点 P 与点 Q 第一次在 ABC 的哪条 边上相遇？ 如图，已知正方形 ABCD 中，边长为 10 厘米，点 E 在 AB 边上，BE=6 厘米 （1）如果点 P 在线段 BC 上以 4 厘米/秒的速度由 B 点向 C 点运动，同时，点 Q 在线段 CD 上由 C 点向 D 点运动 若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度相等，经过 1 秒后，BPE 与CQP 是否全等，请 说明理由； 若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度不相等， 当点 Q 的运动速度为多少时， 能够使BPE 与CQP 全等？ （2）若点 Q 以中的运动速度从点 C 出
9、发，点 P 以原来的运动速度从点 B 同时出发，都 逆时针沿正方形 ABCD 四边运动， 求经过多长时间点 P 与点 Q 第一次在正方形 ABCD 边上 的何处相遇？ 如图（1），AB=4cm，ACAB，BDAB，AC=BD=3cm点 P 在线段 AB 上以 1cm/s 的 速度由点 A 向点 B 运动，同时，点 Q 在线段 BD 上由点 B 向点 D 运动它们运动的时间为 t（s） （1）若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度相等，当 t=1 时，ACP 与BPQ 是否全等，请 说明理由，并判断此时线段 PC 和线段 PQ 的位置关系； （2）如图（2），将图（1）中的“ACAB，BDAB
10、”为改“CAB=DBA=60”，其他条 件不变设点 Q 的运动速度为 x cm/s，是否存在实数 x，使得ACP 与BPQ 全等？若存 A Q C D B P 在，求出相应的 x、t 的值；若不存在，请说明理由 用用“边角边边角边”判定三角形全等判定三角形全等 1.如图,a,b,c 分别表示ABC 的三边长,则下面与ABC 一定全等的三角形是() 2.如图,在ABC 和DEF 中,B=DEF,AB=DE,添加下列一个条件后,仍然不能说明 ABCDEF,这个条件是() A.A=DB.BC=EF C.ACB=F D.AC=DF 3.如图,点 E,F 在 AC 上,AD=BC,DF=BE,要使ADF
11、CBE,还需要添加的一个条件是 A.A=CB.D=B C.ADBCD.DFBE 4.如图,已知 AB=AE,AC=AD,下列条件中不能判定ABCAED 的是() A.BC=EDB.BAD=EAC C.B=ED.BAC=EAD 5.两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”,如图,四边形 ABCD 是一个筝形,其中 AD=CD,AB=CB, 詹姆斯在探究筝形的性质时,得到如下结论:ACBD;AO=CO= AC;ABDCBD, 其中正确的结论有() A.0 个B.1 个C.2 个 D.3 个 6.如图,点 D,E 分别在线段 AB,AC 上,CD 与 BE 相交于 O 点,已知 AB=AC,现添加以下的
12、哪 个条件仍不能判定ABEACD() A.B=CB.AD=AE C.BD=CED.BE=CD 7.如图,AA,BB表示两根长度相同的木条,若 O 是 AA,BB的中点,经测量 AB=9 cm,则容 器的内径 AB为() A.8 cmB.9 cmC.10 cmD.11 cm 8.如图,已知ABC=BAD,添加下列条件还不能判定ABCBAD 的是() A.AC=BDB.CAB=DBA C.C=DD.BC=AD 9.如图,在ABC 和ABD 中,AC 与 BD 相交于点 E,AD=BC,DAB=CBA.试说明:AC=BD. 10.如图,在ABC 中,AB=AC,D,E 分别是 AB,AC 的中点,且
13、 CD=BE,ADC 与AEB 全等吗? 请说明理由. 提升训练提升训练 11.如图,ABC和ADE都是等腰三角形,且BAC=90,DAE=90,点B,C,D在同一条 直线上.试说明:BD=CE. 12.如图,点 A,B,C,D 在同一条直线上,EAAD,FDAD,AE=DF,AB=DC. 试说明:ACE=DBF. 13.如图,已知 AB=CD,BC=DA,E,F 是 AC 上的两点,且 AE=CF.试说明:BF=DE. 14.如图,点 O 是线段 AB 和线段 CD 的中点.试说明: (1)AODBOC; (2)ADBC. 15.求证:等腰三角形的两底角相等. 已知:如图,在ABC 中,AB
14、=AC. 试说明:B=C. 16.如图,ABC,CDE 均为等腰直角三角形,ACB=DCE=90,点 E 在 AB 上,试说明: CDACEB. 17.如图,四边形 ABCD,四边形 BEFG 均为正方形,连接 AG,CE.试说明: (1)AG=CE; (2)AGCE. 18.如图,已知 A,D,E 三点共线,C,B,F 三点共线,AB=CD,AD=CB,DE=BF,那么 BE 与 DF 之间 有什么数量关系?请说明理由. 利用全等三角形说明边相等利用全等三角形说明边相等 如图,ABC 和ADE 都是等腰三角形,且BAC=90 ,DAE=90 ，B，C，D 在同一条直 线上。求证：BD=CE.
15、 利用全等三角形说明角相等利用全等三角形说明角相等 已知：如图，点 A. B. C.D 在同一条直线上，EAAD，FDAD，AE=DF，AB=DC.求证： ACE=DBF. 如图,在ABC 中,AB=CB,ABC=90 ， D 为 AB 延长线上一点， 点 E 在 BC 边上， 且 BE=BD， 连结 AE、DE、DC. 求证：ABECBD； 若CAE=30 ，求BDC 的度数。 全等三角形的综合运用全等三角形的综合运用 如图，四边形 ABCD 是正方形，BEBF，BE=BF，EF 与 BC 交于点 G. (1)求证：AE=CF； (2)若ABE=55 ，求EGC 的大小。 如图，等边ABC 中，在顶点 A、C 处各有一只蚂蚁，他们同时出发，分别以同样速度由 A 向 B 和由 C 向 A 爬行，经过 t 秒后，他们分别到达 D、E 处请问两只蚂蚁在爬行过程 中， （1）BE 与 CD 有何数量关系
