求极限方法与技巧(黄玉芳)

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1、求极限的方法与技巧求极限的方法与技巧 （一）利用极限四则运算法则求极限（一）利用极限四则运算法则求极限 例例 1.1 1.1 求极限 . 分析分析 本题属 型未定式，分子、分母均为有理多项式，往往采用约 分的方法，消去分子与分母的零因式 . 解法解法 1 1 原式 . 解法解法 2 2 见例 1.39. 例例 1.2 1.2 求极限 （其中 为正整数） . 分析分析 这是含根式的 型未定式，应当先将其有理化，再约去分子、 分母中的零因式 . 解解 令 ，则当 时， . 原式 . 例例 1.3 1.3 求极限 . 分析分析 时，它是 型未定式，将分子分母同除以 ，使之变 为适合于极限四则运算法则

2、的函数极限 . 解解 原式 . 例例 1.4 1.4 设 ，则 . （ A ） (B) (C) (D) 解解 分子分母同除以 . 原式 . 故选（ B ） . 例例 1.5 1.5 求极限 . 分析分析 当 时， ， ，故这是 型未定式， 一般采用先通分的方法，然后视通分以后的极限类型再决定下一步应采取的方 法 . 解解 , 故通分以后将变成 型未定式，可约去分子分母中的零因式求极限 . 原式 . 例例 1.6 1.6 求极限 . 分析分析 这是含有根式的 型未定式，可以先将分子有理化，化为 型未定式再求解 . 解解 原式 例例 1.7 1.7 求极限 . 分析分析 这是 型未定式，应当先将分

3、子有理化，变为 型极限， 再作处理 . 解解 原式 . 这里，应当注意的是当函数中含有偶次根式时，若给分子、分母同除以 就应 当看 还是 . 例例 1.8 1.8 求极限 . 分析分析 随着 ，数列 的项数也趋向于无穷， 而极限的运算法则：代数和的极限等于极限的代数和只对有限多个函数成立 . 因此 , 求无穷多项和的极限时应当先利用某些求和公式将其变为有限项再继续 求解 . 解法解法 1 1 使用自然数前 项和公式： ， 原式 . 解法解法 2 2 见例 1.47. 例例 1.9 1.9 求极限 ，其中 , . 分析分析 由于积的极限等于极限的积这一法则只对有限个因子成立， 因此， 应当先用求

4、积公式将其变形 . 解解 多次使用恒等式 化简 . 当 时， ，而 ，故 ，从而 原式 . 例例 1.10 1.10 求极限 ，其中 , ， . 分析分析 分子、分母均为无穷多项的和，应当先求出其和，再求极限 . 解解 利用等比级数求和公式： . 原式 . （二）利用两个重要极限求极限（二）利用两个重要极限求极限 例例 1.11 1.11 求极限 . 分分析析 分子是三角函数的差，应当先将其化成积的形式，再利用重要极 限 . 解法解法 1 1 原式 . 解法解法 2 2 见例 1.40. 例例 1.12 1.12 求极限 . 分析分析 分子是三角函数，应当先将函数变形为重要极限的形式 . 解解

5、 原式 . 例例 1.13 1.13 求极限 . 分析分析 极限中含有反三角函数，由于反三角函数的变形较不方便，故先 作变量替换将其转换为三角函数，再利用重要极限 . 解解 令 ，则 原式 例例 1.14 1.14 求极限 . 分析分析 对于无穷多个因子的积的极限，应当先求出其积，再求极限 . 解解 时， ； 当 时，因为对于充分大的正整数 ，有 成立，所以 ，多次使用倍角公式 ， 化简 注意到 时， , ，故 原式 例例 1.15 1.15 求极限 （ 为正整数） . 分析分析 先将函数变形，然后利用幂的极限等于极限的幂与两个重要极限 公式进行计算 . 解解 原式 . 例例 1.16 1.1

6、6 求极限 . 解解 原式 例例 1.17 1.17 若 ，则 . 解解 , 故 . （三）利用夹逼准则求极限（三）利用夹逼准则求极限 例例 1.18 1.18 求极限 . 分析分析 当我们无法或不易把无穷多项的和变为有限项时，可考虑使用夹 逼准则 . 解解 因为 ， 而 ， , 故 原式 . 例例 1.19 1.19 求极限 . 分析分析 当我们无法或不易把无穷多个因子的积变为有限时，也可考虑使 用夹逼准则 . 解法解法 1 1 因为 . 不等式两端当 时都以为 极限，所以 原式 . 解法解法 2 2 见例 1.51. 例例 1.20 1.20 设 且 ，求极限 解解 因为 ，且 故 , 而

7、 ，故由夹逼准则知 原式 . （四）利用单调有界准则求极限（四）利用单调有界准则求极限 例例 1.21 1.21 设 求 . 有人这样解这道题的：设 ，对式子 两边同时取极 限，得 ，解 之得 . 你认为他这样做对吗？ 解解 这样做是不对的 . 事实上，由递推公式 及 可推知 ，这个数列的极限是不存在的 . 例例 1.22 1.22 设 ，求极限 . 解解 由 ， 易知 . 根据算术平均数与几何平均数的 关系，有 ， 所以，数列 有下界 ，即对一切 有 . 又 ， 所以 ，即数列单调减少 . 由单调有界准则知数列 有极限 . 现设 ，则由极限的保号性知 . 对式子 两边同 时取极限得 解得 ，

8、即 （已舍去负根） . 例例 1.23 1.23 设 ， 求极限 . 分析分析 我们同样用单调有界准则证明数列极限存在. 数列单调增加是容 易看出来的，但其上界却不容易估计。为此，可以先假设，并由 解出，这便是数列的最小上界 . 解解 先用数学归纳法证明数列单调增加 . 由 知 ，假设 成立，则 所以数列 单调增加 . 再证有界性，刚才我们已求得 是数列 的一个上界 , 但这个上界 形式太复 杂，论证不方便，因此，将其适当放大化简为 . 以 为数列的上界，证明就方便多了 . ，假设 ，则 所以 , 数列 有上界 . 由于数列 单调增加有上界，所以极限存在 . 设 ， 则由 解得 （ 为 负根应

9、舍去） . 故 . （五）利用无穷小的性质求极限（五）利用无穷小的性质求极限 例例 1.24 1.24 求极限 . 解解 因为 , 根据无穷小与无穷大的关系知 : 在求此极限时 , 常有读者错误地运算如下 : . 错误的原因在于 : 当分母的极限为零时是不能用关于商的极限法则 的 , 此时必须先求其倒数的极限 , 再据无穷小与无穷大的关系而得到结果 . 例例 1.25 1.25 求极限 . 解解 因为 , 当 时 , 是无穷小 , 是有界函数 , 故 原式 . 例例 1.26 1.26 求极限 . 解解 当 时， ， ， , 故 原式 . 例例 1.27 1.27 求极限 . 解解 令 , 于

10、是 . 当 时 , 并且有 , 故 原式 . ( (六六) ) 利用函数的连续性求极限利用函数的连续性求极限 例例 1.28 1.28 求极限 . 解解 因为初等函数 在 处连续 , 所以 原式 . 例例 1.29 1.29 设 , 若已知 , 则 （ ） . (A)1 ； (B) 2 ； (C) 0 ； (D)3. 解解 因为 为初等函数，而 是 的定义区间内的点，所以 由已知得 ，故 . 故选 (D). 例例 1.30 1.30 求极限 . 分析分析 函数 可看作由 与 复合而成，虽然 在 处不连续，但 ，而函数 在 连续， 所以有如下求解过程 . 解解 原式 . 例例 1.31 1.31

11、 求极限 . 解解 令 ，当 时， , 故 原式 . 例例 1.32 1.32 求极限 . 分析分析 当 时， 与 的极限均不存在，故应先 和差化积，再进一步计算 . 解解 . 由于 . 所以，原式 . 例例 1.33 1.33 求极限 . 解解 原式 因为 . 所以 原式 . ( (七七) ) 利用导数定义求极限（第二章内容）利用导数定义求极限（第二章内容） 例例 1.34 1.34 设 存在，则 ( ). (A) ; (B) ; (C) ; (D) . 解解 因为 存在，所以 原式 . 故选 (B). 例例 1.35 1.35 设函数 在 处可导，求 解解 原式 例例 1.36 1.36

12、求极限 解法解法 1 1 当 时 , , 故 原式 解法解法 2 2 注意到 ，根据导数定义： 原式 解法解法 3 3 见例 1.38. （八）利用微分中值定理求极限（第三章内容）（八）利用微分中值定理求极限（第三章内容） 例例 1.37 1.37 求极限 , 其中 . 解法解法 1 1 令 ，于是 , . 对 在区间 上使用拉格朗日中值定理，得到 其中 , . 当 时 , . 故 原式 解法解法 2 2 见例 1.41. 例例 1.38 1.38 求极限 解法解法 1 1 及解法及解法 2 2 见例 1.36. 解法解法 3 3 对函数 在区间 上使用拉格朗日中值定理， 得 到 其中， .

13、当 时， , 故 原式 （九）利用洛必达法则求极限（第三章内容）（九）利用洛必达法则求极限（第三章内容） 例例 1.39 1.39 求极限 解法解法 1 1 见例 1.1. 解法解法 2 2 原式 例例 1.40 1.40 求极限 解法解法 1 1 见例 1.11. 解法解法 2 2 连续使用两次洛必达法则： 原式 例例 1.41 1.41 求极限 ，其中 . 解法解法 1 1 见例 1.37. 解法解法 2 2 令 ，则由于 故 原式 例例 1.42 1.42 求极限 分析分析 这是 型未定式，除了可使用重要极限 求其极限 外，还可把 型变为 “ ” 型 . 于是，问题归结为求 “ ” 型

14、即 型的极限 . 解解 原式 由于 所以 原式 . 例例 1.43 1.43 求极限 分析分析 这是 型未定式， 应当把它先变形为 型或 型未定 式，再使用洛必达法则 . 究竟变为哪种类型，要根据具体情况确定 . 不过，当 有对数函数出现时，应当把对数函数放在分子上 . 解解 原式 例例 1.44 1.44 求极限 解解 原式 由于 . 所以 原式 . ( (十十) ) 利用麦克劳林展开式求极限利用麦克劳林展开式求极限( (第三章内容第三章内容) ) 例例 1.45 1.45 求极限 . 分析分析 这是 型未定式 , 若用洛必达法则求极限 , 运算很繁琐 . 现用泰勒公式求极限 . 解解 由于

15、分母是 , 故将 及 都展开为四阶麦克劳林展开 式 : , , 于是 从而 原式 . 例例 1.46 1.46 求极限 分析分析 这是 时函数的极限 , 先作代换 , 就可转化为 时的极限 , 从而可利用其麦克劳林展开式求极限 , 解解 令 ，于是，当 时， ，故 利用展开式 可得 故 原式 . （十一）利用定积分定义以及性质求极限（第五章内容（十一）利用定积分定义以及性质求极限（第五章内容 ） 例例 1.47 1.47 求极限 . 解法解法 1 1 见例 1.8. 解法解法 2 2 对和式变形 如果要将其看作积分和，应当选被积函数为 . 又由分点 与 当 时分别趋于 0 和 1 知，积分区间应为 . 于是将区间 等 分， 取 为区间 的左端点， 这样， 与函数 相应的积分和正是上式 . 由于函数 在 上连续，故可积，从而 原式 例例 1.48 1.48 求极限 . 解解 从和式 看，若选被积函数为 ，则因分点 与 当 时分别趋于 与 ，故积分区间为 . 将 等分，则有 ，从而有 原式 . 例例 1.49 1.49 求极限 . 分析分析 这是无穷多个因子的积的极限，由于无法将其积表示成有限个因 子，故不妨通过取对数，将其变为无穷多项的和，进而利用定积分求出极限 . 解解 原式 . 例例 1.50