《现代控制理论_特征值规范型(4_4)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《现代控制理论_特征值规范型(4_4)（50页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、现代控制理论 4.4 约当规范型 第四节 特征值规范型 清华大学 现代控制理论 课件 (自动化系 石宗英) 2/50 4、特征值规范型 4.1 4.1 对角线规范型对角线规范型 4.2 4.2 特征向量和运动模态特征向量和运动模态 4.3 4.3 模态规范型模态规范型 4.4 4.4 约当规范型约当规范型 4.5 4.5 约当规范型与可控约当规范型与可控/ /可观规范型可观规范型 4.6 Fedeeva4.6 Fedeeva算法和最小多项式算法和最小多项式 清华大学 现代控制理论 课件 (自动化系 石宗英) 3/50 4、特征值规范型 4.1 4.1 对角线规范型对角线规范型 4.2 4.2
2、特征向量和运动模态特征向量和运动模态 4.3 4.3 模态规范型模态规范型 4.4 4.4 约当规范型约当规范型 4.5 4.5 约当规范型与可控约当规范型与可控/ /可观规范型可观规范型 4.6 Fedeeva4.6 Fedeeva算法和最小多项式算法和最小多项式 清华大学 现代控制理论 课件 (自动化系 石宗英) 4/50 4.4 约当规范型 变换为约当规范型。则只能将 的零空间的维数 或 重特征值时，的一个是即，若 规范型。不能将其变换为对角线 则时个线性独立的特征向量不存在当 A AI nAI A ,nA ii ii ii rank 清华大学 现代控制理论 课件 (自动化系 石宗英)
3、5/50 4.4 约当规范型 nm J , J J J J p i i mm i i i i i p ii 1 2 1 R 1 1 1 ：约当规范型的一般形式 清华大学 现代控制理论 课件 (自动化系 石宗英) 6/50 4.4 约当规范型 1 AV JVAV A 对给阵 ，总阵 ， 约当块 约当。规 约当阵 称为 于任意定矩存在非奇异矩使得 除了排列的次序可能不同外,矩是被 唯一 确定的，之范型 清华大学 现代控制理论 课件 (自动化系 石宗英) 7/50 4.4 约当规范型 1 2 1 1 1 ,R 1 ii i i mm i i p i p i i J J JJ J mn ? ii m数
4、的重 清华大学 现代控制理论 课件 (自动化系 石宗英) 8/50 4.4 约当规范型 的总重数。才等于时， 的总重数。只有当不一定等于的阶次 iii iii mnAI mJ 1rank 注： 例： 2 1 2 1 1 2 2 1 1 1 1 1 0 0 00 00 01 0 0 00 00 01 J J A J J A 。时，当Jp,imi211注： 清华大学 现代控制理论 课件 (自动化系 石宗英) 9/50 4.4 约当规范型 变换矩阵的构造？ 约当块的结构？ 2 1问题： 清华大学 现代控制理论 课件 (自动化系 石宗英) 10/50 4.4 约当规范型 p pp mn imiii n
5、n p J J J VVVVVVA vvvV VVVV V i i 2 1 2121 21 21 R R 则 作相应的分块：，假设变换矩阵为 1 VAVJ 清华大学 现代控制理论 课件 (自动化系 石宗英) 11/50 4.4 约当规范型 i i i i imii imii iii i i vvv vvvA JVAV 1 1 1 21 21 即 12 i iiiim Vvvv 清华大学 现代控制理论 课件 (自动化系 石宗英) 12/50 4.4 约当规范型 1 23 12 1 1 212 11 0 ii iii imimi iii iii ii imiimim iiii iii vvAI v
6、vAI vvAI vAI vvAv vvAv vAv 或 也即 清华大学 现代控制理论 课件 (自动化系 石宗英) 13/50 4.4 约当规范型 1 21 32 1 0 ii ii iii iii iimim IA v IA vv IA vv IA vv 清华大学 现代控制理论 课件 (自动化系 石宗英) 14/50 4.4 约当规范型 的广义特征向量。称为， 的特征向量；是对应于 iimi ii i vv v 2 1 12 12 R R i i n m iiiim n n p Vvvv VVVV 则： 清华大学 现代控制理论 课件 (自动化系 石宗英) 15/50 4.4 约当规范型 AI
7、n ii rank 1 定义： 出现的次数中，特征值分组 的约当块的块数对应 个数的线性独立特征向量的对应 的降秩数特征矩阵则 ip i i ii , AI 21 1 清华大学 现代控制理论 课件 (自动化系 石宗英) 16/50 4.4 约当规范型 1 rankrankrank iii IAVIA VIJ 1 2 1 rankrank rank ii p p ij j J J IJI J IJ 清华大学 现代控制理论 课件 (自动化系 石宗英) 17/50 4.4 约当规范型 100 010 00 1 000 ij ij ij ij ij IJ 注意 清华大学 现代控制理论 课件 (自动化系
8、 石宗英) 18/50 4.4 约当规范型 1 1 1 rank rank1 rank ijij ijj ijij ijj ii p iji j JIJ IJm JIJ IJm IJn 如果 不是 的特征值，则非奇异，即 如果 是 的特征值，那么奇异，且 如果 有个约当子块,则 清华大学 现代控制理论 课件 (自动化系 石宗英) 19/50 4.4 约当规范型 AIn ii rank 1 定义： 出现的次数中，特征值分组 的约当块的块数对应 个数的线性独立特征向量的对应 的降秩数特征矩阵则 ip i i ii , AI 21 1 清华大学 现代控制理论 课件 (自动化系 石宗英) 20/50
9、4.4 约当规范型 0 12 2 12 iiii i iii vAIvAI AI vvAI ，得左乘 由 阶的约当块的块数的大于或等于对应 令 2 rankrank rank 2 1 2 2 i ii iii AIAI AIn 的个数。其中包括 个线性独立的向量，由此可解得 1 2 rank i i v AIn 清华大学 现代控制理论 课件 (自动化系 石宗英) 21/50 4.4 约当规范型 2 11 2 2 1 rankrank rank rank iii i p ij j IAVIA VVIA V IJ IJ 清华大学 现代控制理论 课件 (自动化系 石宗英) 22/50 4.4 约当规
10、范型 2 2 2 2 2 2 2 21000 21 20 00 10 21 2 ij ijij ijij ijij ij ij ijij ij IJ 因 清华大学 现代控制理论 课件 (自动化系 石宗英) 23/50 4.4 约当规范型 2 2 1 2 2 12 1 rank rank2 rank ijij ijj ijj ijj ii i p ijii j JIJ IJm JJ IJm IJn 2 如果 不是 的特征值，则非奇异，即 如果 是 的特征值，且 的维数2，则 如果 有个约当子块,其中维数2的约当子块的 数目为，则 清华大学 现代控制理论 课件 (自动化系 石宗英) 24/50 4
11、.4 约当规范型 阶的约当块的块数的大于或等于对应 的个数向量 可解出线性独立的由 依次类推，令 k v vAI AIAI i ikik ik k i k i k iik 1 1 0 rankrank 清华大学 现代控制理论 课件 (自动化系 石宗英) 25/50 4.4 约当规范型 200000 012000 0503000 000200 000120 000012 . A 例： 62detAI 33-62rank 11 AIn 块的约当块共有对应32 清华大学 现代控制理论 课件 (自动化系 石宗英) 26/50 4.4 约当规范型 例： 21-32rank2rank 2 12 AIAI
12、块阶的约当块共有的大于或等于对应222 222个 阶阶约当块有或以上的 12rank2rank 32 13 AIAI 块阶以上的约当块有阶或133 个。阶的约当块各阶和阶、有因此，1321A 清华大学 现代控制理论 课件 (自动化系 石宗英) 27/50 4.4 约当规范型 200000 020000 012000 000200 000120 000012 对应的约当规范型为： 例： 清华大学 现代控制理论 课件 (自动化系 石宗英) 28/50 4.4 约当规范型 1 1 1 1 111 1111 112111 11 111 112 111 11211 1 2 10 1 2 j i i Arj, ,r IA v v ,v ,v,Vi, , VVVV vvv 变换矩阵的构成： 假设 有 个相异的特征值 由求得个线性独立的向量 构成子矩阵的 第一列。对应 有个约当块。 1 1 V 1 2 V 1 1 V 清华大学 现代控制理论 课件 (自动化系 石宗英) 29/50 4.4 约当规范型
