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1、第第 22 届全国中学生物理竞赛复赛题届全国中学生物理竞赛复赛题 一、图中的一、图中的AOB是游乐场中的滑道模型，它位于竖直平面内是游乐场中的滑道模型，它位于竖直平面内, ,由两个半径都是由两个半径都是R的的 1/4 圆周连接而成，它们的圆心圆周连接而成，它们的圆心 1 O、 2 O与两圆弧的连接点与两圆弧的连接点O在同一竖直线上在同一竖直线上BO2沿水池沿水池 的水面一小滑块可由弧的水面一小滑块可由弧AO的任意点从静止开始下滑的任意点从静止开始下滑 1若小滑块从开始下滑到脱离滑道过程中，在两个圆弧上滑过的弧长相等，则小滑若小滑块从开始下滑到脱离滑道过程中，在两个圆弧上滑过的弧长相等，则小滑
2、块开始下滑时应在圆弧块开始下滑时应在圆弧AO上的何处？（用该处到上的何处？（用该处到 1 O的连线与竖直线的夹角表示） 的连线与竖直线的夹角表示） 2凡能在凡能在O点脱离滑道的小滑块，其落水点到点脱离滑道的小滑块，其落水点到 2 O的距离如何？的距离如何？ O1 O2 O A B 二、二、如图所示如图所示，O 为为半径半径等于等于 R 的的原来不带原来不带电的电的导体球导体球的球心，的球心，O1、O2、O3为位于球内的为位于球内的 三三个个半径皆为半径皆为 r 的球形空的球形空腔腔的的球心，它们与球心，它们与 O 共面，共面，已知已知 2 321 R OOOOOO在在 OO1、 OO2的连线上
3、距的连线上距 O1、 O2为为 2 r 的的 P1、 P2点点处处分别分别放置带放置带电电量为量为 q1和和 q2的线度很小的导体 （视的线度很小的导体 （视 为点电荷） ，在为点电荷） ，在 O3处放置一带处放置一带电电量为量为 q3的点电荷，设法使的点电荷，设法使 q1、q2和和 q3固定不动在导体球固定不动在导体球 外的外的 P 点点放一个放一个电量为电量为 Q 的的点电荷，点电荷，P 点与点与 O1、O2、O3共面，位于共面，位于OO3的延长线上，到的延长线上，到 O 的距离的距离ROP2 1求求 q3的电势的电势能能 2将带有电量将带有电量 q1、q2的小导体释放，当重新达到静电平衡
4、时，各表面上的电荷分布的小导体释放，当重新达到静电平衡时，各表面上的电荷分布 有何变化？有何变化？ 此时此时 q3的电势的电势能为多少？能为多少？ O1 O2 O3 P P2 P1 O R R r 三、三、 (22分分) 如图所示， 水平放置的横截面积为如图所示， 水平放置的横截面积为S的带有活塞的圆筒形绝热容器中盛有的带有活塞的圆筒形绝热容器中盛有1mol 的的 理想气体其内能理想气体其内能CTU ，C 为已知常量，为已知常量，T 为热力学温度器壁和活塞之间不漏气且存在为热力学温度器壁和活塞之间不漏气且存在 摩擦，最大静摩擦力与滑动摩擦力相等且摩擦，最大静摩擦力与滑动摩擦力相等且皆为皆为 F
5、图中图中 r 为电阻丝，通电时可对气体缓慢加为电阻丝，通电时可对气体缓慢加 热起始时，气体压强与外界大气压强热起始时，气体压强与外界大气压强 p0相等，气体的温度为相等，气体的温度为 T0现开始对现开始对 r 通电，已知当通电，已知当 活塞运动时克服摩擦力做功所产生热量的一半被容器中的气体吸收 若用活塞运动时克服摩擦力做功所产生热量的一半被容器中的气体吸收 若用 Q 表示气体从电阻表示气体从电阻 丝吸收的热量，丝吸收的热量，T 表示气体的温度，试以表示气体的温度，试以 T 为纵坐标，为纵坐标，Q 为横坐标，画出在为横坐标，画出在 Q 不断增加的过不断增加的过 程中程中 T 和和 Q 的关系图线
6、并在图中用题给的已知量及普适气体常量的关系图线并在图中用题给的已知量及普适气体常量 R 标出反映图线特征的标出反映图线特征的 各量（不要求写出推导过程） 各量（不要求写出推导过程） p0 r 四、 （四、 （23 分）封闭的车厢中有一点光源分）封闭的车厢中有一点光源 S，在距光源，在距光源 l 处有一半径为处有一半径为 r 的圆孔，其圆心为的圆孔，其圆心为 O1， 光光源一直在发光，并通过圆孔射出车厢以高速源一直在发光，并通过圆孔射出车厢以高速 v 沿固定在水平地面上的沿固定在水平地面上的 x 轴正方向匀速轴正方向匀速 运动，如图所示某一时刻，点光源运动，如图所示某一时刻，点光源 S 恰位于恰
7、位于 x 轴的原点轴的原点 O 的正上方，取此时刻作为车厢的正上方，取此时刻作为车厢 参考系与地面参考系的时间零点在地面参考系中坐标为参考系与地面参考系的时间零点在地面参考系中坐标为 xA处放一半径为处放一半径为 R（R r）的不）的不 透光的圆形挡板，板面与圆孔所在的平面都与透光的圆形挡板，板面与圆孔所在的平面都与 x 轴垂直板的圆心轴垂直板的圆心 O2 、S、 、 、O1都等高，都等高， 起始时刻经圆孔射出的光束会有部分从挡板周围射到挡板后面的大屏幕（图中未画出）起始时刻经圆孔射出的光束会有部分从挡板周围射到挡板后面的大屏幕（图中未画出） 上由于车厢在运动，将会出现挡板将光束完全遮住，即没
8、有光射到屏上的情况不考虑上由于车厢在运动，将会出现挡板将光束完全遮住，即没有光射到屏上的情况不考虑 光的衍射试求：光的衍射试求： 1车厢参考系中（车厢参考系中（所测出的）刚出现这种情况的时刻所测出的）刚出现这种情况的时刻 2地面参考系中（所测出的）刚出现这种情况的时刻地面参考系中（所测出的）刚出现这种情况的时刻 S v R xA O l r O2 O1 五、 （五、 （25 分）一个用绝缘材料制成的扁平薄圆环，其内、外半径分别为分）一个用绝缘材料制成的扁平薄圆环，其内、外半径分别为 a1、a2，厚度可以忽，厚度可以忽 略 两个表面都带有电荷， 电荷面密度略 两个表面都带有电荷， 电荷面密度随离
9、开环心距离随离开环心距离 r 变化的规律均为变化的规律均为 2 0 )( r r ， 0 为已知常量薄圆环绕通过环心垂直环面的轴以大小不变的角加速度为已知常量薄圆环绕通过环心垂直环面的轴以大小不变的角加速度减速转动，减速转动，t = 0 时时 刻的角速度为刻的角速度为 0 将一半径为将一半径为 a0 (a0 vA、vB a1 a2 a0 vB vA B A O 七、 （七、 （25 分）分） 如图所示，在一个劲度系数为如图所示，在一个劲度系数为 k 的轻质弹簧两端分别拴着一个质量为的轻质弹簧两端分别拴着一个质量为 m 的的 小球小球 A 和质量为和质量为 2m 的小球的小球 BA 用细线拴住悬
10、挂起来，系统处于静止状态，此时弹簧长用细线拴住悬挂起来，系统处于静止状态，此时弹簧长 度为度为l现将细线烧现将细线烧断，并以此时为计时零点，取一相对地面静止的、竖直向下为正方向的断，并以此时为计时零点，取一相对地面静止的、竖直向下为正方向的 坐标轴坐标轴 Ox，原点，原点 O 与此时与此时 A 球的位置重合如图试求任意时刻两球的坐标球的位置重合如图试求任意时刻两球的坐标 A B k x O l 第第 22 届全国中学生物理竞赛复赛题参考解答届全国中学生物理竞赛复赛题参考解答 一、一、1如图所示，如图所示，设滑块出发点为设滑块出发点为 1 P，离开点为，离开点为 2 P，按题意要求，按题意要求
11、11P O、 22P O与竖直与竖直 方向的夹角相等，设其为方向的夹角相等，设其为，若离开滑道时的速度为，若离开滑道时的速度为 v，则滑块，则滑块 在在 2 P处脱离滑道的条件是处脱离滑道的条件是 cos 2 mg R m v ( (1) ) 由机械能守恒由机械能守恒 2 2 1 )cos1 (2vmmgR ( (2) ) ( (1) )、( (2) )联立解得联立解得 5 4 cos 或或 2536 5 4 arccos ( (3) ) 2设设滑滑块刚能在块刚能在 O 点离开滑道的条件是点离开滑道的条件是 mg R m 2 0 v （4） v0为滑块到达为滑块到达 O 点的速度，由此得点的速
12、度，由此得 Rg 0 v （5） 设到达设到达 O 点的速度为点的速度为 v0的滑块在滑道的滑块在滑道 OA 上的出发点到上的出发点到 1 O的连线与竖直的夹角为的连线与竖直的夹角为 0 ，由，由 机械能守恒，有机械能守恒，有 2 00 2 1 )cos1 (vmmgR （6） 由（由（5） 、 （） 、 （6）两式解得）两式解得 3 0 （7） 若滑块到达若滑块到达 O 点时的速度点时的速度 0 vv ， 则对， 则对 OB 滑道来说， 因滑道来说， 因 O 点可能提供的最大向心力为点可能提供的最大向心力为 mg， 故滑块将沿半径比故滑块将沿半径比 R 大的圆周的水平切线方向离开大的圆周的水
13、平切线方向离开 O 点对于点对于 0 vv 的滑块，其在的滑块，其在 OA 上上 出发点的位置对应的出发点的位置对应的角必大于角必大于 0 ，即，即 0 ，由于，由于2 max ，根据机械能守恒，到达，根据机械能守恒，到达 O 点的最大速度点的最大速度 Rg max 2v （8） O1 O2 O A B P1 P2 由此可知，能从由此可知，能从 O 点离开滑道的点离开滑道的滑块滑块速度是速度是 v0到到 max v之间所有可能的值，也就是说，之间所有可能的值，也就是说，从从 3至至2下滑的下滑的滑块都将在滑块都将在 O 点离开滑道 以速度点离开滑道 以速度 v0从从 O 点沿水平方向滑出滑道的
14、滑块，点沿水平方向滑出滑道的滑块， 其落水点至其落水点至 2 O的距离的距离 tx 00 v （9） 2 2 1 gtR （10） 由（由（5） 、 （） 、 （9） 、 （） 、 （10）式得）式得 Rx2 0 （11） 当当滑块以滑块以 max v从从 O 点沿水平方向滑出滑道时，其落水点到点沿水平方向滑出滑道时，其落水点到 2 O的距离的距离 tx maxmax v （12） 由（由（8） 、 （） 、 （10） 、 （） 、 （12）式得）式得 Rxmax2 （13） 因此，凡能从因此，凡能从 O 点脱离滑道的滑块，其落水点到点脱离滑道的滑块，其落水点到 2 O的距离在的距离在R2到到
15、R2之间的所有可能之间的所有可能 值值即即 RxR22 （14） 天星天星 教育网教育网 二、二、1由由静电感应静电感应知知空空腔腔 1、2 及及 3 的表面分别出现的表面分别出现电量电量为为 1 q、 2 q和和 3 q的面电的面电 荷荷，由电荷守恒，由电荷守恒定律可知，在导体球的外表面呈现出电量定律可知，在导体球的外表面呈现出电量 321 qqq由静电屏蔽可知，由静电屏蔽可知， 点电荷点电荷 q1及感应电荷及感应电荷（ 1 q）在空在空腔外腔外产生的电场为零产生的电场为零；点电荷点电荷 q2及感应电荷及感应电荷（ 2 q）在在 空空腔外腔外产生的电场为零产生的电场为零；点电荷点电荷 q3及感应电荷及感应电荷（ 3 q）在空在空腔外腔外产生的电场为零产生的电场为零因此，因此， 在导体球外没有电荷时，球表面的在导体球外没有电荷时，球表面的电量电量 321 qqq作球对称分布作球对称分布 当当球外球外 P 点处点处放置放置电荷电荷 Q 后后，由于静电感应，球面上的总电量仍为由于静电感应，球面上的总电量仍
