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1、第二模块第二模块 函数函数 ( (必修必修1:1:第一章第一章 函数概念函数概念; ;第二章第二章 基本基本 初等函数初等函数();();第三章第三章 函数的应用函数的应用) ) 第四讲第四讲 函数及其表示函数及其表示 回归课本回归课本 1.函数的概念函数的概念 设集合设集合A,B是非空的是非空的数集数集,如果按照某种确定的对应关系如果按照某种确定的对应关系f,使使 对对A中的任意一个数中的任意一个数x,在集合在集合B中中,都有都有唯一确定唯一确定的数的数f(x)和和 它对应它对应,那么就称那么就称f:AB为从集合为从集合A到集合到集合B的一个函数的一个函数,记记 作作y=f(x),xA.其中
2、其中x叫做叫做自变量自变量,自变量的取值范围叫做自变量的取值范围叫做 这个函数的这个函数的定义域定义域.自变量取值自变量取值a,则由法则则由法则f确定的值确定的值y称为称为 函数在函数在a处的函数值处的函数值,记作记作y=f(a).所有函数值构成的集合所有函数值构成的集合 y|y=f(x),xA叫做这个函数的叫做这个函数的值域值域. 2.构成函数的要素构成函数的要素:定义域定义域 对应关系对应关系 值域值域. 3.两个函数的相等两个函数的相等 当两个函数的当两个函数的定义域定义域和和对应关系对应关系都分别相同时都分别相同时,这两个函数这两个函数 才是同一个函数才是同一个函数. 4.常用的函数表
3、示法常用的函数表示法 (1)解析法解析法;(2)列表法列表法;(3)图象法图象法. 5.分段函数分段函数 在函数的定义域内在函数的定义域内,对于自变量对于自变量x的不同取值区间的不同取值区间,有着不同的有着不同的 对应法则对应法则,这样的函数通常叫做分段函数这样的函数通常叫做分段函数. 6.映射的概念映射的概念 设设A B是两个非空集合是两个非空集合,如果按某一个确定的对应关系如果按某一个确定的对应关系f,使对使对 于集合于集合A中的中的任意一个任意一个元素元素x,在集合在集合B中都有中都有唯一确定的唯一确定的 元素元素y与之对应与之对应,那么就称那么就称f为从集合为从集合A到集合到集合B的一
4、个映射的一个映射, 记作记作“f:AB”. 考点陪练考点陪练 2 2 332 .( 1.yx x . 0 ) x A yxB y x C yxD yx 下列函数中与函数相等的是 解析解析:当两个函数的解析式和定义域完全相同时当两个函数的解析式和定义域完全相同时,这两个函数这两个函数 相等相等.同时满足这两个条件的只有同时满足这两个条件的只有A,B中中x0,C中中xR,D中中 xR. 答案答案:A 2.设集合设集合M=x|0x2,N=y|0y2,则在下面则在下面4个图形中个图形中,能能 表示集合表示集合M到集合到集合N的函数关系的有的函数关系的有( ) A. B. C. D. 解析解析:由函数的
5、定义易知成立由函数的定义易知成立,故选故选C. 答案答案:C 2 2 2 3. C.f xx2x1,g tt . ( )1, ( )(1) 4 . ( ) 2t1 D.f n2n1 , ( )2 ,g n2n1 2 A f xxxg xx x x B f xg xx x 下列函数中是相等函数的为 解析解析:A中中f(x)的定义域是的定义域是x|x0, g(x)的定义域是的定义域是x|x0或或x-1,f(x)与与g(x)的定义域不同的定义域不同 ,f(x)与与g(x)不是相等函数不是相等函数. B中中f(x)= 的定义域为的定义域为x|xR,且且x2,g(x)的定义的定义 域为域为R,f(x)与
6、与g(x)的定义域不同的定义域不同, f(x)与与g(x)不是相等函数不是相等函数. C中中f(x)、g(t)虽然自变量用不同的字母表示虽然自变量用不同的字母表示,但定义域但定义域 对应对应 关系都相同关系都相同,所以所以f(x)、g(t)表示相同函数表示相同函数. 2 4 2 x x D中中f(n)、g(n)的对应关系不同的对应关系不同,所以不是相等函数所以不是相等函数. 所以应选所以应选C. 答案答案:C 评析评析:根据函数的三要素根据函数的三要素,从定义域从定义域 值域值域 对应关系等方面对对应关系等方面对 所给的函数进行分析判断所给的函数进行分析判断. 判断两个函数是否相同判断两个函数
7、是否相同,只需判断这两个函数的定义域与对只需判断这两个函数的定义域与对 应关系是否相同应关系是否相同.即使定义域和值域都分别相同的两个函即使定义域和值域都分别相同的两个函 数数,它们也不一定是相等函数它们也不一定是相等函数,因为定义域因为定义域 值域不能唯一地值域不能唯一地 确定函数的对应关系确定函数的对应关系. 此外此外,两个函数是否相同与自变量用什么字母表示无关两个函数是否相同与自变量用什么字母表示无关. 4.已知集合已知集合A=(x,y)|y=f(x),x-1,2,集合集合B=(x,y)|x=0,则则 AB的子集的个数是的子集的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.不确定不确定 解析
8、解析:函数函数f(x)定义在定义在-1,2上上,所以由函数定义知当所以由函数定义知当x=0时有唯时有唯 一的一的y与之对应与之对应,即直线即直线x=0与函数图象有唯一交点与函数图象有唯一交点,故故AB 中有一个元素中有一个元素,有有2个子集个子集.故选故选C. 答案答案:C 5.已知映射已知映射f:AB,其中集合其中集合B=-2,0,4,10,集合集合B中的元素都中的元素都 是集合是集合A中的元素在映射中的元素在映射f下的对应元素下的对应元素,且对任意的且对任意的aA, 在在B中和它对应的元素是中和它对应的元素是(a+1)(a-2),那么集合那么集合A中元素的中元素的 个数最多可能是个数最多可
9、能是( ) A.4 B.6 C.8 D.10 解析解析:当当(a+1)(a-2)=10时时,得得a=4,-3;当当(a+1)(a-2)=4时时,得得a=3,- 2;当当(a+1)(a-2)=0时时,得得a=2,-1;当当(a+1)(a-2)=-2时时,得得a=0,1, 所以根据映射的定义知集合所以根据映射的定义知集合A中元素最多可能有中元素最多可能有4,-3,3,- 2,2,-1,0,1,一共一共8个个,故选故选C. 答案答案:C 类型一类型一 函数的基本概念函数的基本概念 解题准备解题准备:(1)函数是指两个非空数集函数是指两个非空数集A B之间的一种对应关之间的一种对应关 系系,它要求集合
10、它要求集合A中的任意一个数中的任意一个数,在集合在集合B中都有唯一的数中都有唯一的数 f(x)与之对应与之对应;(2)两个函数相等是指函数的三要素相同两个函数相等是指函数的三要素相同,由由 于函数的值域是由定义域和对应关系唯一确定于函数的值域是由定义域和对应关系唯一确定,因此只需因此只需 判定定义域与对应关系是否相同即可判定定义域与对应关系是否相同即可. 【典例典例1】 (1)函数函数y=f(x),xD与直线与直线x=2交点个数为交点个数为 _. 2p:f xx1f x ;q:f xx1f xx1 ,pq_ 1,1 1 _ . , () 1 xx x x 已知命题与 是相等函数 命题与是 相等
11、函数 则命题是命题 填“真”或“假” 解析解析 (1)当当x=2D时时,根据函数定义根据函数定义A中任何一个自变量在中任何一个自变量在 B中都有唯一元素和它对应中都有唯一元素和它对应,即有且只有一个交点即有且只有一个交点;当当x=2 D时时,无交点无交点. (2)命题命题p中两函数的定义域不同中两函数的定义域不同,p是假命题是假命题,命题命题q中两函数中两函数 对应关系不同对应关系不同,q也是假命题也是假命题,所以所以pq是假命题是假命题. 反思感悟反思感悟 两个函数的定义域两个函数的定义域 值域和对应关系中有一个不值域和对应关系中有一个不 同同,它们就不表示相等的函数它们就不表示相等的函数.
12、 答案答案 (1)0个或个或1个个 (2)假假 类型二类型二 求函数的解析式求函数的解析式 解题准备解题准备:求函数解析式的常用方法有求函数解析式的常用方法有:(1)配凑法配凑法;(2)换元法换元法 ;(3)待定系数法待定系数法;(4)消元法等消元法等. 3 3 21 (),f x ; 2 ()f x ; 3 ()f x, 3f x12f x12x17,f x ; 4 () 11 2 1, 1 2 (f x,f x .)3 fxx xx flgx x f xfx x 【典例 】配凑法已知求 换元法 已知求 待定系数法已知是一次函数 且满足 求 方程思想已知满足求 3 3 3 3 1f f xx
13、3x(x2x2). 2f t 3f xaxb a0 ,3f x12f x1 3a 1111 3, 222 1(1 x3a3b2ax ), 2a2baxb5a2x17, a2,b7,f x , 11 2 2x7. ( )(1). 1 xxxx xxxx t txlg xtt f xlgx x 解 或 令则 设则 11 3 133 2( ), 1 (0). 4 2f x,x, 23f x6x f x2x fx xx ff x xxx x x 把中的 换成得 得 类型三类型三 分段函数分段函数 解题准备解题准备:(1)对于分段函数对于分段函数,一定要明确自变量所属的范围一定要明确自变量所属的范围,以
14、以 便于选择与之相应的对应关系便于选择与之相应的对应关系; (2)分段函数体现了数学的分类思想分段函数体现了数学的分类思想,相应的问题处理应分段相应的问题处理应分段 解决解决. 2 22, ( 3f xf 21, f(f_ 1),2 ( 5)_. x tx logt xx 【典例 】设且则 的值为 分析分析 先根据先根据f(2)=1求出解析式中参数求出解析式中参数t的值的值,再进一步求再进一步求 的值的值. (5)f f 2 t 2 tt 33 log 4 33 2 3 2 3 x2f xlogx1 ,f 21, log211,log 31,t3.f 2 3 ,2, ( 5)( 5)1 (1),2 x floglog 4, log 42,f(f(f log 42 32 4 . 5)8. xx logxx 解析由于当 时且 所以解得这时 于是 且所以 答案答案 8 反思感悟反思感悟 对于分段函数给定自变量求函数值时对于分段函数给定自变量求函数值时,应根据自应根据自 变量的范围变量的范围,利用相应的解析式直接求解利用相应的解析式直接求解
