机器人运动学建模

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1、机器人学 战 强 北京航空航天大学机器人研究所 第三章、机器人的运动学（第三章、机器人的运动学（Kinematics） 机器人运动学研究的是机器人运动学研究的是机器人的工作空间与关节空间之间的影射 关系或机器人的运动学模型（ 机器人的工作空间与关节空间之间的影射 关系或机器人的运动学模型（Model），包括正（），包括正（Forward） 运动学和逆（ ） 运动学和逆（Inverse）运动学两部分内容。）运动学两部分内容。 物料搬运 = = sin cos ly lxl X Y += += )cos(cos )sin(sin 21211 21211 llx lly X Y 1 2 l1 l2

2、? X Z Y ? 平 面 连 杆 机 构 末端位置(几何法): 3-1、 Denavit-Hartenberg ( D-H) 建模方法 ?Denavit J. and R. S. Hartenberg. A kinematic notation for low-pair mech- anisms based on matrices. Journal of Applied Mechanics, 1955: 215-221. ?用齐次变换矩阵齐次变换矩阵描述两个相邻连杆坐标系间的空间位姿关系 , a , d, 3-1-1连杆参数 关节 运动副 高副：两构件之间是线或点接触，如凸轮、齿轮 低副：两

3、构件之间是面接触，如旋转副、移动副、 圆柱副、螺旋副、平面副、球面副 运动副 通常机器人的运动副都是低副机构通常机器人的运动副都是低副机构，由旋转关节或移动关节组成， 每个关节具有一个自由度 1、关节简介 连杆1关节1 连杆2 连杆0 7自由度机器人具有 7个关节和7个连杆 关节2 关节3 连杆3 连杆4 连杆5 连杆6 关节4 关节5 2、连杆与连杆间关系的描述 一个长度不为零的连杆的两端连接了两个关节，连杆的运动学 功能 连杆的运动学 功能在于保持两端关节轴线关节轴线之间固定的几何关系。 1）连杆i-1的长度a(i-1): 关节轴线i-1和关节轴线i 的公法线长度； 2）连杆i-1的扭角

4、(i-1)： ： 关节轴线i-1和关节轴线i的夹角； 指向为从轴线i-1到轴线i。 两关节i和i-1的轴线平行时 (i-1) =0 两关节i和i-1的轴线相交时 a(i-1)=0，指向可任意规定。指向可任意规定。 ( i - 1) a(i - 1 ) i-1关节关节i关节关节 求a(i-1)和和 (i-1) 求a(i-1)和和 (i-1) 50 150 50 i-1i 50 150 50 i-1i 例： o 90 o 45 i-1 i i-1 i （3）连杆i 相对于连杆i-1的偏置di： ： 关节i上的两条公法线ai与ai-1之间的距离，沿关节轴线i测量，如关节 是移动关节，则它是关节变量。

5、 （4）关节角 连杆i 相对于连杆i-1绕轴线i的旋转角度，绕关节轴线i测量，如关节i是 转动关节，则它是关节变量。 i i ( i - 1) a(i - 1 ) d i a i i-1关节关节i关节关节 每一关节 轴线有两 条公法线 与之垂直 3、其他说明 1)为了简化计算（使齐次矩阵简单），习惯约定首末连杆： 0 0 0 0 = = n n aa Z2 Y2 X2 a0a1 Z0 Y0 X0 Z1 X1 Y1 2)每个连杆用4个参数描述，2个描述连杆本身，另2个描述 与相邻连杆的位姿（连接/几何）关系，对于旋转关节， 是关节变量，其他3个固定不变，为连杆参数；对于移动关 节，是关节变量，其

6、他3个为连杆参数。 i d i 相交且平行的两条直线是什么关系？相交且平行的两条直线是什么关系？ 3-1-2 D-H坐标系的建立 为了确定各连杆之间的相对运动和位姿关系，在每个连杆上 固接一个坐标系。基坐标系0、坐标系n、坐标系i。 Z(i - 1) X(i -1) Y(i -1) ( i - 1) a(i - 1 ) Z i Y i X i a i d i i 1、坐标系0和n的规定 Z0轴沿关节轴1的方向，关节变 量1为零时，坐标系0与1重合 关节1是旋转关节时，d0=0, 关节1是移动关节时，0=0 Zn轴沿关节轴n-1的方向，关节变 量n-1为零时，坐标系n-1与n重合 关节n-1是旋

7、转关节时，dn=0, 关节n-1是移动关节时，n=0 2、中间连杆坐标系规定 坐标系i的Z轴与关节轴 i共线，指向不定；X轴与 公垂线重合，指向从i到i+1 当相交时， iii ZZX= +1 原点O取为XZ的交点； 1+ii ZZ 和 相交时，其交点为i原点， 1+ii ZZ 和 平行时，i原点取在使偏置为零处。 i Z(i) X(i) Y(i) (i) a(i) Z i+1 Y i+1 X i +1 a i+1 d i+1 i +1 3、利用连杆坐标系可以明确定义连杆参数为: 1i a :从 1i Z 到 i Z 沿 1i X测量的距离 1 i :从 1i Z 到 i Z 绕 1i X旋转

8、的角度 i d:从 1i X 到 i X 沿 i Z测量的距离 i :从 1i X 到 i X 绕 i Z 旋转的角度 Z(i - 1) X(i -1) Y(i -1) ( i - 1) a(i - 1 ) Z i Y i X i a i d i i 4、步骤： 原则：先建立中间坐标系先建立中间坐标系i，后两端坐标系，后两端坐标系0n 1）确定Z轴：找出关节轴线及关节转向采用右手定则确定Z； 2）确定原点：如果两相邻轴线Zi与Zi+1不相交，则公垂线与轴线i的交 点为原点，注意平行时原点的选择应使偏置为零；如果相交则交点 为原点，注意注意:如果重合则原点应使偏置为零； 3）确定X轴：两轴线不相

9、交时，X与公垂线重合，指向从i到i+1； 若两轴线相交，则X是两轴线所成平面的法线X= Zi Zi+1； 注意注意:如果两轴线重合，则X轴与轴线垂直且使其他连杆参数为零； 4）按右手定则确定Y ； 5）当第一个关节变量为零时，规定0与1重合，对于 末端坐标系n，原点与X任选，希望坐标系n使杆参数尽量为零。 5、连杆变换与运动学方程 1）推导相邻连杆坐标系i与i-1的齐次变换矩阵 1i a 1i i d i 四个参数 分成四个基本子变换 （1）绕 1i X转 1i （2）沿 1i X 移 （3）绕转 （4）沿移 1i a i Z i Z i i d Z(i - 1) X(i -1) Y(i -1

10、) ( i - 1) a(i - 1 ) Z i Y i X i a i d i i i 因所有的子变换都是相对于动系的，所以 ),(),(),(),( 111iiii i i dZTransZRotaXTransXRotT = The Denavit-Hartenberg Matrix = 1000 coscossincossinsin sinsincoscoscossin 0sincos i1)(i1)(i1)(ii1)(ii i1)(i1)(i1)(ii1)(ii 1)(iii d d a T i i 1 6、 机器人正向运动学方程 = = = 1000 )()()()()()( 6 0

11、 6 0 6 6 55 5 44 4 33 3 22 2 11 1 0 6 5 5 4 4 3 3 2 2 1 1 0 6 0 PR qTqTqTqTqTqT TTTTTTT 杆0 Y3 杆1 杆2 杆3 杆5 杆4 X0/X1 Y0/Y1 X6 Y6 X5 Y5X4 Y4 X3 X2 Y2 i a(i-1) (i-1) di i 1 0 0 0 1(0) 2 a0 0 0 2(0) 3 a1 -90 0 3(0) 4 (末端 ) 0 0 2 d 0 D-H参数表 例1: Z4 a0a1 Z2 X3 Y2 Z3 X2 Y3 d2 Z1 X1 Z0 Y0 X0 Y1 X4 Y4 4 (末端 )

12、3 2 1 i idi (i-1)a(i-1) 1(0)000 2(0)00a0 3(0)0-90a1 0d200 = 1000 0100 00cossin 0sincos T 22 022 2 1 a = 1000 0 0 0sincos T 0cossin 100 33 133 3 2 a = 1000 100 00 0 T 2 4 3 10 001 d = = = 1000 0010 30100 30001 1000 30100 0010 0001 1000 0010 0100 20001 1000 0100 0010 10001 0,30,20,10 4 3 3 2 2 1 1 0 4

13、 0 321210 TTTTT daa = 1000 0100 00cossin 00sincos T 0 11 11 1 Z4 1020 Z2 X3 Y2 Z3 X2 Y3 30 Z1 X1 Z0 Y0 X0 Y1 X4 Y4 = 1000 0010 30100 30001 4 0T y x z RyRxRz i a(i-1) (i-1)di i 1 0 0 0 1(0) 2 a0 0 0 2(0) 3 a1 -90 2 d 3(0) D-H参数表 例2: a0a1 Z2 X3 Y2 Z3 X2 Y3 d2 Z1 X1 Z0 Y0 X0 Y1 i a(i-1) (i-1) di i 1 0

14、0 0 1(0) 2 a0 0 0 2(0) 3 a1 -90 0 3(0) 4 (末端 ) 0 0 2 d 0 例1的D-H参数表 Y3 X3 Z3 = 1000 0100 00cossin 0sincos T 22 022 2 1 a = 1000 0 0sincos T 0cossin 100 33 2 133 3 2 d a = = 1000 0010 30100 30001 0,30,20,10 3 2 2 1 1 0 3 0 321210 TTTT daa = 1000 0100 00cossin 00sincos T 0 11 11 1 Y3 X3 Z0 Y0 X0 Z1 X1 Y1 Z2 X2 Y2 Z3 例3: i a(i-1) (i-1) di i 1 0 0 a1 1(0) 2 0 -90 0 2(0) 3