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1、 周培源力学竞赛 试题(答案) 第六届第十届 第六届全国周培源大学生力学竞赛试题 出题学校：清华大学 满分：120 分 时间：3 小时 一、声东击西的射击手（30 分） 射击的最高境界，不仅是指哪打哪，还要知道往哪儿指。欢迎来到这个与众不 同的射击场。在这里，共有 10 个小球 i P（号码从 0 到 9） ，你需要把某个小球放在 圆弧的适当位置上，然后静止释放小球即可。 假设系统在同一竖直平面内（如图所示） ，不考虑摩擦。圆弧AB的半径为R， B点与地面的高度为H。均质细杆CD的质量为M，长为0.5LH=，悬挂点C 与B处于同一水平位置，BC距离为S。 小球 i P质量均为m， 不计半径，
2、小球 i P与 CD杆或地面碰撞的恢复因数均为 i e，且满足/9 (0,1,2,9) i eii=。 （1）为使小球 1 P击中杆上D点，试确定静止释放时的，距离S有何限制？ （2）假设某小球击中CD杆上的E点，为使E点尽可能远离D点，试确定该 小球的号码及静止释放时的，此时CE的距离是多少？ （3）假设某小球击中CD杆上的E点，为使悬挂点C处的冲量尽可能小，试 确定该小球的号码及静止释放时的，此时CE的距离是多少？冲量有多大？ O A B C D S H Pi E O A B C D S H Pi E O A B C D S H Pi E O A B C D S H Pi E 二、骄傲自满
3、的大力士（35 分） 有位大力士总是自命不凡，他夫人决定找机会教训他一下。正好附近足球场的 球门坏了一半，剩下的半边球门如图：立柱OA垂直固定于水平地面上，沿x轴方 向，高为2.4mH =，横梁AB平行于地面，沿z轴负方向，长为LH=。立柱和 横梁均为实心圆柱，直径均为0.06mD =。夫人经过计算后想出了主意：和丈夫 比赛，看谁能把球门拉倒。比赛规则是：通过系在横梁B端中点的绳索，只能用 静力拉球门；绳索上有且只有B点系在与地面固定的物体上。绳索的重量不计， 长度不限。球门不计自重，采用第三强度理论，材料的屈服应力57MPa s =。 大力士认为自己肯定不会输，因为他知道两人鞋底与地面摩擦系
4、数都是 0.5=，自己重量为 1 700NG =，夫人重量为 2 510NG =。为了显示自己的大 度，他允许夫人享受一点点优惠条件。于是夫人以B在地面的投影C为圆心，在 地面上画了一个半径0.8mR =的圆圈， 要求丈夫身体在地面的投影不能进该圆圈， 但她自己不受限制。大力士认为这么个小圆圈没什么了不起，就同意了。 大力士抽签先上场，他决定让绳索与xy平面平行，但绳索与地面的夹角不 知多大为好，于是他在不同的角度试了多次，尽管每次都用了最大力气，但是球门 居然纹丝不动，也看不出有明显的变形。而夫人上场后一用力就把球门拉倒了 （1）当大力士让绳索与地面成角度，绳索中的拉力最大为多大？该最大拉
5、力与大力士拉绳的姿势有无关系？ （2）当大力士让绳索与地面成角度，球门中最危险点的坐标值是多少？ （3）在限制条件下，角为多少时大力士最接近把球门拉倒？夫人可能采用 什么方式把球门拉倒？ B C R x y zO A H L B C R x y zO A H L 三、顾此失彼的挑战者（30 分） 魔术正式开始前，魔术师邀请观众上台了解道具，并体验如何让水晶球在板上 平衡，有位观众自告奋勇要挑战魔术师的问题。 魔术师首先介绍道具 （如图所示） ： 两个透明的水晶圆球 1 O和 2 O； 一个滚轴D； 一个透明的水晶平板AB，A端水平固定在墙中，不考虑自重时AB板与水平面平 行。在表演时，滚轴D可
6、以根据需要安装在AB板的任意位置，且A与D总在同 一高度。假设水晶板是均质等截面板，长度为l，单位长度重量为q，弯曲刚度为 EI。两均质水晶圆球的半径均为r，重量均为Pql=。 假设表演中板的挠度和转角都是小量，球与板之间有滑动摩擦，但不考虑球与 板的接触变形和滚动摩擦。观众发现，水晶板由于自重而微微弯曲，如果不安装滚 轴D，水晶球在板上可以摆放的任意位置都不能平衡。 魔术师的问题如下： （1）如果把滚轴D安装在AB板的B处，此时AB板由于自重所导致的最大 挠度在何处？ （2） 如果把滚轴D安装在AB板之间的某处， 有可能使水晶球 1 O在板上静止， 且球与板的接触点恰好是B点。 如果不需要具
7、体计算， 如何说明滚轴D是更靠近A 点还是更靠近B点？定性画出此时AB板挠度的示意图。 （3）如果把滚轴D安装在AB板的中点，能否让水晶球 1 O在AD之间某位置 平衡，接触点为 1 C；同时让水晶球 2 O在DB之间某位置平衡，接触点为 2 C。观众 试着摆弄了很久，总是顾此失彼，最终也没有成功。如果你认为本问题有解， 1 AC 和 2 AC的水平距离是多少？如果没有解，如何证明？ AB D O1 O2 AB D O1 O2 四、技高一筹的魔术师（25 分） 魔术正式开始，仍用上一题中的道具（板和球的具体参数见第三题） 。 魔术师首先撤去了滚轴D，观众看到两个水晶球在板上任意位置静止释放，
8、都会从板的B端掉下去。但是细心的观众发现，即使两水晶球放在板的相同位置， 掉下去所需时间却明显不同。 魔术师解释说，虽然两水晶球的尺寸和重量完全相同，但有一个水晶球的表面 涂了透明的新型材料，很光滑。说完在后落下的水晶球 1 O表面贴上了小纸片以示 区别（假设小纸片的尺寸和重量相对水晶球均是小量） 。 只见魔术师对两个水晶球吹了吹，声称已经把魔力注入其中，然后小心地把贴 有纸片的 1 O球静止放在板上（接触点为B点） ，同时让纸片远离接触位置，松手后 水晶球 1 O竟然真的可以一直稳稳地停留在板上B点。 在观众的掌声中，魔术师撤走了 1 O球，把 2 O球拿了起来。 “这个水晶球不太 听话，
9、我的魔力只能管 1 分钟。 ” 魔术师说完把 2 O球转了转， 然后更加小心地把 2 O 球也放在板上（接触点为B点） 。观众发现， 2 O球在B点停留了大约 1 分钟，然 后在没有外界干扰的情况下突然从板上B端掉了下来 （1）根据题目叙述，试判断哪个水晶球涂了新型材料？ （2）水晶球 1 O可在B点一直稳稳地停留，简要叙述其原理，分析其中所涉及 的关键参数，以及各参数应满足的必要条件或关系。 （3）水晶球 2 O只能在B点停留很短的时间，简要叙述其原理，分析其中所涉 及的关键参数，以及各参数应满足的必要条件或关系。 注：第四题解答中所用的参数都应在第三、第四题中提及过。 A B D O1 O
10、2 A B D O1 O2 1 第六届全国周培源大学生力学竞赛试题参考答案参考答案 清华大学航天航空学院 高云峰 一、声东击西的射击手（30 分） （1） 2 arccos 1 2 S HR = ；S的限制为2SHR。 （2） 9 1e =（号码为 9） ；0CE =； 2 2 arccos 1 16 S N HR = ，N为与地面的碰撞次数。 （3） 6 6 9 e =（号码为 6） ； 1 3 CEH=；0 C I =； 2 2 6 arccos 1 4(1) S eHR = + 。 二、骄傲自满的大力士（35 分） （1） 1 cossin G T = + ；大力士拉绳的姿势不影响绳中最
11、大拉力的大小。 （2）危险点坐标() 11 22 0, cos , -sinDD （3）大力士在0=时最接近拉坏球门： 13 56.0Mpa=；夫人进入圆圈内，90=时可以 有 13 57.9MPa= 三、顾此失彼的挑战者（30 分） （1）最大挠度处： 1533 0.58 16 xll = （2）滚轴D更靠近B点；挠度示意图如下： （3）解不存在，证明见解题过程。 四、技高一筹的魔术师（25 分） （1）水晶球 2 O涂了新型材料。 （2）关键参数： 1 tan B ；纸片重量 sin 1 sin B B P G ， （ 3 2 3 B ql EI =） 。 （3）关键参数： 2 tan B
12、 =；初始角速度 0 150 sin B g r 。 A B DA B D 第七届全国周培源大学生力学竞赛试题 第七届全国周培源大学生力学竞赛试题 出题学校：西北工业大学出题学校：西北工业大学 满分：满分：120 分分 时间：时间：3 小时小时 一、小球在高脚玻璃杯中的运动一、小球在高脚玻璃杯中的运动(20 分分) 一半球形高脚玻璃杯， 半径 r =5cm， 其质量 m1=0.3 kg， 杯底座半径 R =5 cm， 厚度不计，杯脚高度 h =10 cm。如果有一个质量1 . 0 2 =mkg 的光滑小球自杯子的 边缘由静止释放后沿杯的内侧滑下，小球的半径忽略不计。已知杯子底座与水平 面之间的
13、静摩擦因数 fs = 0.5。试分析小球在运动过程中： （1）高脚玻璃杯会不会 滑动； （2）高脚玻璃杯会不会侧倾（即一侧翘起） 。 二、杂耍圆环二、杂耍圆环(40 分分) 1.杂技演员将一个刚性圆环沿水平地面滚出，起始圆环一跳一跳地向前滚 动，随后不离开地面向前滚动，为什么？ 2.杂技演员拿出一个匀质圆环，沿粗糙的水平地面向前抛出，不久圆环又自 动返回到演员跟前。设圆环与地面接触瞬时圆环中心 O 点的速度大小为 0 v，圆 环的角速度为 0 ，圆环半径为 r，质量为 m，圆环与地面间的静摩擦因数为 s f， 不计滚动摩阻，试问： （1）圆环能自己滚回来的条件是什么？ （2）圆环开始向回滚动直
14、到无滑动地滚动，在此运动过程中，圆环所走过 的距离是多少？ （3）当圆环在水平地面上无滑动地滚动时，其中心的速度大小为 v1，圆环 平面保持在铅垂平面内。试分析圆环碰到高为 h(h 2 r 方向如图所示。 （2）距离： s 2 02 21s 8g )v-(r )(g 2 1 s f ttf = （3）圆环能不脱离接触地爬上台阶所应满足的条件为 ：g)hr (4r)h2r(vhg4r 222 1 2 ， max nN=，则表示作用力在右边；如果 min 1n=， max nN=， 木条垂直推时 受力图，2 分 1 分 3 分， 任意一个 均可以 1 分 1 分，对 A 点 取矩也可以。 注：按不
15、同的 摆法，N 个小 球可能把木条 平 均 分 为 Q 段，QN、N 1、 N1， 均 可以。 9 则表示作用力在中间。 设作用力在左边，则 min 1n=，杆转动后 AC 部分 n 个小球运动，有 maxminmax (1)nnnn=+= （45） 则 AC 长度/nL Q=，把和 n 代入（44） ，得 22 max max 2 42 nQ num nQ = （, 1, 1QN or Nor N=+） （46） 由于小球运动的号码是整数，所以上式还需要取整数。最后得到作用力的位置在 , 1num num+号码的小球之间。 （3）沿 AB 方向的推力 1 FMg=；垂直 AB 推时，从（42）和（43）中还可以解出 22 2 ( (2 )(2 )MgLaLaL F L + = （47） 把 F1 与 F2 的比值算出来，设 22 2 1 (2 )(2 )LaLLaF FL + =，可以得到 21, 10.414, 1= （48） 即0, 21)0, 0.414)=是不可能出现的。因此魔术师根据值的范围就可以肯定观众 的数据有否有问题。若 21, 2 22)0.414, 0.828)=时，观众故意报错一半就会被 发现。若2 22, 10.828, 1=时，观众故意报错一半不会被发现， 五、对称破缺的太极图（20 分） 【解】 ： （1）由于惯性矩和惯性积的定义：
