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1、数学(一)试题 第1页(共13页) 2002 年全国硕士研究生入学统一考试 数学一试题 一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.把答案填在题中横线上.) (1) e xx dx 2 ln = . (2)已知函数( )yy x由方程016 2 xxyey确定,则(0) y = . (3)微分方程0 2 yyy满足初始条件 00 1 1, 2 xx yy 的特解是 . (4)已知实二次型 323121 2 3 2 2 2 1321 444)(),(xxxxxxxxxaxxxf经正交变换 xPy可化成标准型 2 1 6yf ,则a= . (5)设随机变量X服从正态分布 2 (
2、,)(0)N ,且二次方程04 2 Xyy无实根的概 率为 1 2 ,则 . 二、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目 要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.) (1)考虑二元函数),(yxf的下面 4 条性质: ),(yxf在点),( 00 yx处连续; ),(yxf在点),( 00 yx处的两个偏导数连续; ),(yxf在点),( 00 yx处可微; ),(yxf在点),( 00 yx处的两个偏导数存在 若用“PQ”表示可由性质P推出性质Q,则有 (A) . (B) . (C) . (D) . (2)设0(1,2,3,) n
3、unL,且lim1 n n n u ,则级数 1 1 1 11 ( 1)() n n nn uu (A) 发散. (B) 绝对收敛. (C) 条件收敛. (D) 收敛性根据所给条件不能判定. 新浪微博：考研猎人 微信公众号：kylieren QQ212400799三方同步更新最新免费考研资料 2017考研猎人免费分享计划：课程全程免费更新。视频分享QQ群： 532585392 数学(一)试题 第2页(共13页) (3)设函数( )yf x在(0,)内有界且可导,则 (A) 当0)(lim xf x 时,必有0)(lim xf x . (B) 当)(limxf x 存在时,必有0)(lim xf
4、 x . (C) 当 0 lim( )0 x f x 时,必有 0 lim( )0 x fx . (D) 当 0 lim( ) x fx 存在时,必有 0 lim( )0 x fx . (4)设有三张不同平面的方程 123iiii a xa ya zb,3 , 2 , 1i,它们所组成的线性方程组的系 数矩阵与增广矩阵的秩都为,则这三张平面可能的位置关系为 (5)设 1 X和 2 X是任意两个相互独立的连续型随机变量,它们的概率密度分别为 1( ) f x和 2( ) f x, 分布函数分别为 1( ) F x和 2( ) F x,则 (A) 1( ) f x 2( ) f x必为某一随机变量
5、的概率密度. (B) 1( ) f x 2( ) fx必为某一随机变量的概率密度. (C) 1( ) F x 2( ) F x必为某一随机变量的分布函数. (D) 1( ) F x 2( ) F x必为某一随机变量的分布函数. 三、(本题满分 6 分) 设 函 数)(xf在0x 的 某 邻 域 内 具 有 一 阶 连 续 导 数 , 且(0)0,(0)0f f , 若 ( )(2 )(0)af hbfhf在0h时是比h高阶的无穷小,试确定ba,的值. 新浪微博：考研猎人 微信公众号：kylieren QQ212400799三方同步更新最新免费考研资料 2017考研猎人免费分享计划：课程全程免费
6、更新。视频分享QQ群： 532585392 数学(一)试题 第3页(共13页) 四、(本题满分 7 分) 已知两曲线)(xfy 与 x t dtey arctan 0 2 在点(0,0)处的切线相同,写出此切线方程,并求极限 ) 2 (lim n nf n . 五、(本题满分 7 分) 计算二重积分dxdye D yx ,max 22 ,其中10 , 10| ),(yxyxD. 六、(本题满分 8 分) 设函数)(xf在(,) 内具有一阶连续导数,L是上半平面(y0)内的有向分段光滑曲线, 其起点为(ba,),终点为(dc,).记 22 2 11 ()() 1, L x Iy f xy dxy
7、 f xydy yy (1)证明曲线积分I与路径L无关; (2)当cdab 时,求I的值. 七、(本题满分 7 分) (1) 验 证 函 数 3333 69 ( )1() 3!6!9!(3 )! n xx y xx n LL满 足 微 分 方 程 x eyyy ; (2)利用(1)的结果求幂级数 3 0(3 )! n n x n 的和函数. 八、(本题满分 7 分) 设有一小山,取它的底面所在的平面为xOy坐标面,其底部所占的区域为 2 ( , )|Dx yx 2 75yxy,小山的高度函数为),(yxhxyyx 22 75. (1)设),( 00 yxM为区域D上一点,问),(yxh在该点沿
8、平面上什么方向的方向导数最大? 新浪微博：考研猎人 微信公众号：kylieren QQ212400799三方同步更新最新免费考研资料 2017考研猎人免费分享计划：课程全程免费更新。视频分享QQ群： 532585392 数学(一)试题 第4页(共13页) 若记此方向导数的最大值为),( 00 yxg,试写出),( 00 yxg的表达式. (2)现欲利用此小山开展攀岩活动,为此需要在山脚下寻找一上山坡最大的点作为攀登的起点. 也就是说,要在D的边界线 22 75xyxy上找出使(1)中),(yxg达到最大值的点.试确定攀登 起点的位置. 九、(本题满分 6 分) 已知四阶方阵),( 4321 A
9、, 4321 ,均为4维列向量,其中 432 ,线性无 关, 321 2,如果 4321 ,求线性方程组Ax的通解. 十、(本题满分 8 分) 设,A B为同阶方阵, (1)若,A B相似,证明,A B的特征多项式相等. (2)举一个二阶方阵的例子说明(1)的逆命题不成立. (3)当,A B均为实对称矩阵时,证明(1)的逆命题成立. 十一、(本题满分 7 分) 设维随机变量X的概率密度为 1 0,cos, ( )22 0, x x f x 其他. 对X独立地重复观察次,用Y表示观察值大于 3 的次数,求 2 Y的数学期望. 十二、(本题满分 7 分) 设总体X的概率分布为 X 0 1 2 3
10、P 2 )1 (2 2 21 其中 1 (0) 2 是未知参数,利用总体X的如下样本值 新浪微博：考研猎人 微信公众号：kylieren QQ212400799三方同步更新最新免费考研资料 2017考研猎人免费分享计划：课程全程免费更新。视频分享QQ群： 532585392 数学(一)试题 第5页(共13页) 3,1,3,0,3,1,2,3, 求的矩估计值和最大似然估计值. 2002 年考研数学一试题答案与解析 一、填空题 (1)【分析】 原式 2 ln1 1. lnln e e dx xx (2)【分析】 方程两边对x两次求导得 6 620, y e yxyyx 2 6 12 20. yy
11、e ye yxyy 以0x 代入原方程得0y ,以0xy代入得0,y ,再以0xyy代入得 (0)2.y (3)【分析】 这是二阶的可降阶微分方程. 令( )yP y(以y为自变量),则 . dydPdP yP dxdxdy 代入方程得 2 0 dP yPP dy ,即0 dP yP dy (或0P ,但其不满足初始条件 0 1 2 x y ). 分离变量得 0, dPdy Py 积分得 lnln,PyC即 1 C P y (0P 对应 1 0C ); 由0x 时 1 1, 2 yPy得 1 1 . 2 C 于是 新浪微博：考研猎人 微信公众号：kylieren QQ212400799三方同步
12、更新最新免费考研资料 2017考研猎人免费分享计划：课程全程免费更新。视频分享QQ群： 532585392 数学(一)试题 第6页(共13页) 1 ,2, 2 yPydydx y 积分得 2 2 yxC. 又由 0 1 x y 得 2 1,C 所求特解为1.yx (4)【分析】 因为二次型 T x Ax经正交变换化为标准型时,标准形中平方项的系数就是二次型矩阵 A的特征值,所以6,0,0是A的特征值. 又因 iii a ,故600,2.aaaa (5)【分析】 设事件A表示“二次方程04 2 Xyy无实根”,则1640AXX 4.依题意,有 1 ( )4. 2 P AP X 而 4 4141(
13、),P XP X 即 4141 4 1(),(),0.4. 22 二、选择题 (1)【分析】 这是讨论函数( , )f x y的连续性,可偏导性,可微性及偏导数的连续性之间的关 系.我们知道,( , )f x y的两个偏导数连续是可微的充分条件,若( , )f x y可微则必连续,故选(A). (2)【分析】 由 1 lim10 1 n n u n n 充分大时即,N nN时 1 0 n u ,且 1 lim0, n n u 不妨认为 ,0, n n u因而所考虑级数是交错级数,但不能保证 1 n u 的单调性. 按定义考察部分和 111 111 11 1111 ( 1)()( 1)( 1)
14、nnn kkk n kkk kkkk S uuuu 新浪微博：考研猎人 微信公众号：kylieren QQ212400799三方同步更新最新免费考研资料 2017考研猎人免费分享计划：课程全程免费更新。视频分享QQ群： 532585392 数学(一)试题 第7页(共13页) 1 1 11 111 ( 1)11( 1)1 ( 1)(), kn nn l kl kln n uuuuu 原级数收敛. 再考察取绝对值后的级数 1 1 11 () n nn uu .注意 1 1 11 1 2, 1 1 nn nn uunnn uun n 1 1 n n 发散 1 1 11 () n nn uu 发散.因此选(C). (3)【分析】 证明(B)对:反证法.假设lim( )0 x fxa ,则由拉格朗日中值定理, (2 )( )( )()fxf xfxx (当x时, ,因为2xx);但这与(2 )( )(2 )( )2fxf xfxf xM矛盾 ( ).f xM (4)【分析】 因为( )( )23r Ar A
