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1、高中物理竞赛讲座：万有引力定律高中物理竞赛讲座：万有引力定律 一、开普勒三定律 二、万有引力定律 假设月亮绕地球运动轨迹是一个圆轨道，试利用开普勒定律导出牛顿万有引力定律。 分析与解： 由于地球质量远大于月亮质量， 暂且认为地球不动， 月亮绕地球作圆周运动， 由开普勒第二定律，月亮必作匀速圆周运动。向心加速度 2 V a r 其中V是月亮的速率，r是圆轨道半径。根据开普勒第三定律，月亮运动周期T满足 3 2 T r 2/3 rT 又注意到： 2r V T 所以： 1 2 3 2 1r V r r 2/12/3 1 rr r V 代入向心加速度公式可得： 2 1 a r 2 1 r a 或 2
2、m Fm a r 月 月2 r m amF ? m月为月亮的质量，取比例系数为k，写成等式 2 k FmF r 月地月 显然，k应取决于地球的性质，F 地月指地球对月亮的引力.根据万有引力的普适性， 月亮对地球的引力应当有如下形式 2 k Fm r 月地地 其中 k 取决于月亮的性质，再根据牛顿第三定律，F 地月与F月地大小相等，即 mk km 地 月 因此有：kGm 地，k Gm 月 两式统一写成 2 m m FG r 月地 利用牛顿提出的引力的普适性，任何两个分别具有质量 1 m、 2 m，相距r的质点之间的 引力，总是沿着两质点连线方向，其大小为 12 2 m m FG r 式中G是所有
3、质点都具有相同数值的普适常数（万有引力常数） ，这就是牛顿万有引力 定律。 三、引力势能 若规定的质点A、B相距无穷远时系统的引力势能为零，那么当A、B相距r时系统 的引力势能为： 12 P Gm m E r 四、宇宙速度 第一宇宙速度： 2 max 2 7.9/ MmmV GVgRkm s rr 第二宇宙速度： 2 22 12 0211.2/ 2 MmGM mVGVgRkm s RR 第三宇宙速度： 地球绕太阳公转速度为 e V： 2 2 000 29.7/ sees ee M mVGM GmVkm s RRR 为使地球轨迹上的物体脱离太阳引力，必须有的最小速度为： 2 0 2 42.1/
4、s S GM Vkm s R 若顺着地球公转方向发射所需的最小速度为 20 12.4/ s VVVkm s 为使地面发射的物体脱离太阳必须满足 222 32 111 222 mVmVmV 22 32 16.7/VVVkm s 五、恒星的演化黑洞 大爆炸10万年后温度下降到 3 3 10 K表现由中性原子构成的宇宙尘埃万有引力 使尘埃聚集形成气体形状的星云团星云团进一步聚集引力势能变成内能， 温度升高达到 一定温度开始发光恒星诞生。 恒星进一步收缩当温度达到 7 10 K时氢核聚变聚变能量以电磁波的形式向外辐射 当电磁辐射及热粒运动向外的压力与引力平衡时星体稳定下来主星序阶段 （停留时间最 长，
5、 太阳正处于这一阶段中期） 当核心大部分氢聚集变为氦核后辐射减弱星核再次收 缩，温度更高，氦聚变为碳核类似这一过程周而复始进行出现氧、硅直至铁当各种热核 反应都不发生时恒星进一步收缩当密度增大到一定值时， 电子简并恒星的最终归宿是什 么与恒星的质量有关。 当1.4MMs，则简并电子气的压力可以平衡引力，收缩停止，恒星演变为白矮星 当1.4MMs时，则简并电子气的压力无法平衡引力，至中子被压入原子核内，与质 子结合成中子，使核心中子化，随即恒星发生猛烈爆炸超新星爆炸） ，爆炸后的中心化核 心称为中子星，中子星依靠简并中子气的压力来平衡引力，其质量上限为23Ms。 若质量更大，则没有任何力量能够平
6、衡其引力，它将进一步塌缩到引力半径以下，此时 任何粒子（包括光子）均不能脱离其引力束缚，人们称之为黑洞。 引力半径 2 2GM Vc R 2 2GM r c 称为史瓦西半径 则在这个天体上任何物体都不能逃避其引力束缚 地球的引力半径0.9cm以内 太阳的引力半径：3km以内 假设密度为的物质均匀分布在半径为 r 的球体内，其引力半径为 s r， 则 3 2 24 3 ss G rr c 此式表示所说环境中的光不可能发射到超出 s r的范围 对宇宙： 29328 10/10 s g cmrcm 这就是说我们不可能把光发射到 28 10 cm以外的空间，这个R被称为宇宙半径 六、研究行星运动的基本
7、方程 角动量守恒： 0 1 2 rV 恒量或 2 LmrVmr 机械能守恒： 2 1 2 Mm mVGE r 其中L、E由初始条件决定 由牛顿第二定律： 2 Mm Gma r 其中：0E 为抛物线 0E 为椭圆 0E 为双曲线 例 1：利用行星运动的基本方程研究开普勒第一定律 y C S A P b B x O ca F1F2 如图：在如图：在A、B两点利用上式两点利用上式、 LmrV， 2 1 2 Mm mVGE r 联立上两方程可得：联立上两方程可得： 2 1 2 LMm mGE mrr ， 2 2 0 2 GMmL rr EmE A、B两点的矢径长度为方程的两个根，即有两点的矢径长度为方
8、程的两个根，即有 A rac， B rac 由韦达定理得：由韦达定理得： 2 AB GMm rra E 2 222 2 AB L rracb mE 由以上两式可得出重要结论由以上两式可得出重要结论 2 GMm E a 此式表明行星运动的机械能与椭圆轨道的半长轴有关，与半短轴无关此式表明行星运动的机械能与椭圆轨道的半长轴有关，与半短轴无关 椭圆方程： 22 22 2 1 2 2 xy GMm L E mE 将机械能 2 GMm E a 代入式可得 2 1 22 MmGMm mVG ra 11 2 2 VGM ra A GM ac V aac B GM ac V aac c GM V a 且 2
9、cAB VVV 在轨道上任一点P处由牛顿第二定律可得： 2 2 cos GMmV m r 22 cos r V GM 易得. .ABC三点的曲率半径分别为 2 A b a ， 2 B b a ， 2 C a b 例 2：太空站的质量为M，与它对接在一起的人造卫星的质量为m，它们沿圆轨道绕 地球运动，轨道半径为R的n倍，地球质量为Me，在某一瞬间，人造卫星与太空站脱离， 卫星发动机立即点火， 经短暂喷射后卫星获得较大的速度， 沿其原来运动方向进入椭圆轨道。 如果当人造卫星绕地球一周时，刚好能在原处与已绕行N周的太空站对接，那么，卫星点 火后获得的速度应为多大？ Va Vb 解：a表示近地点到地心
10、时距离， a V表示卫星在近地点时的速度，以b表示远地点到 地心的距离，它表示卫星在远地点时的速度。 由开普勒第二定律得： 11 22 ab aVbV 由机械能守恒定律有： 22 11 22 ee ab GM mGM m mVmV ab 可解得： 2 e a GM b V a ab 由开普勒第三定律得： 3 2 23 2 ab T a T N 将题述anR代入可解得 2 3 21bNnR 所以： 2 3 2 e a NGM V nR 例 3：在宇宙空间某惯性系中有两个质点A、B，它们的质量分别为m、M。开始时， A、B相距为 0 L，A的速度为零。B沿AB直线背离A的方向的初速度为 0 V，另
11、外施加 一个沿 0 V方向的变力F使B做匀速运动，求： （1）A、B间距离的最大值为多少？ （2）从开始到A、B间距离最大的过程中，变力F所做的功是多少？ 解：以B为参考系，则此参考系也是惯性系，在此参考系中，开始时A具有速度 0 V离 开B，达到A离B最远时（设此时A、B相距L） ，A相对于B的速度为零，由能量关系 应有 2 0 0 1 2 GMmMm mVG LL 0 2 00 2 2 GML L GMLV 需要说明的是，由上式可见本题只有在 00 2/VGML时才有解，若 00 2/VGML，则A、B间距离将一直增加而不会有最大值。 （2）回到题中惯性系，由功能关系得： 2222 000
12、0 0 111 222 MmGMm WMVmVGMVmV LL 例 4：两颗人造卫星绕地球沿同一椭圆轨道同向运动，它们通过轨道上同一点的时间差 半个周期，已知轨道近地点离地心的距离是地球半径的 2 倍，卫星通过近地点时的速度 12 3/ 4VGMR，式中M为地球质量，G为万有引力常量。卫星上装有同样的角度测量 仪，可以测出卫星与任意两点的两条连线间的夹角。试设计一种测量方案，利用这两个测量 仪测定太空中某星体与地心在某时刻的距离（最后要求用测得的量和地球半径R表示结果） 解：如图，卫星绕地球运动的轨道为一椭圆，地心位于此椭圆的一个焦点上，设待测卫 星于C处， 依题意当一卫星位于A时， 另一卫星
13、位于B， 只要此刻两卫星分别测出图中 1 、 2 ，就可以测出此时卫星c与地心的距离OC。 令 A rOA， B rOB， A V、 B V分别表示卫星在A、B点的速度，m表示卫星的质量， 由两个守恒方程可得： AABB mr Vmr V 22 11 22 AB AB MmMm mVGmVG rr 其中2 A rR且 3 4 A GM V R 可解得6 B rR，8ABR 在ABC中由正弦定理可得 1 12 sin sin BCAB 在BOC中，用余弦定理可得 2 112 2 1212 16sin24sincos 29 sinsin OCR 例 5： 新发现一行星， 其半径为6400km， 且
14、由普通水形成的海洋覆盖着它的所有表面， 海洋的深度为10km，宇航员对行星进行探测时发现，当把试验用的样品浸入行星海洋的不 同深度时， 各处的自由落体加速度以相当高的精确度保持不变， 试求此行星表面处的自由落 体加速度。 解：以R表示此星球（包括水层）的半径，M表示其质量，h表示其表面海洋的深度， 0 R表示除海洋表层外星球的半径，则有 0 RhR。以表示水的密度，则海水总质量为： 33223 0 444 33 333 mRRR hRhh 由于Rh，略去上式中h的高次项 2 4mR h 故海洋底面和星球表面的重力加速度可表示为 0 2 0 G Mm g R ， 2 GM g R 依题有 0 g
15、g得 22 0 MMm RR 考虑到 0 RRh，整理可得： 2 Rm M h 所以星球表面的重力加速度为 2 2 22.7/ 2 GMGM gG Rm s RRh 例 6：一物体自地面以第一宇宙速度竖直上抛，达最高点以返回地面上的抛出点，求此 物体运动的时间。已知地球半径6400 E Rkm，设此过程中地球静止不动。 ab R 解：设此物上升的最高点离地面距离为h，由机械能守恒及第一宇宙速度表达式得： 2 1 1 2 E EE M mMm mVGG RRh 2 1 E E GM V R 解得 E hR 物体运动的路径可以看成是在地球引力作用下的一个退化了的椭圆的一部分， 地球中心 焦点、半长轴等于 E R。 这个运动路径是退
