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1、线代专题专题讲义线代专题专题讲义 目 录 目 录 第一讲 矩阵 2 专题一：伴随矩阵.2 专题二：逆矩阵.5 专题三：矩阵方程.7 专题四：初等变换与初等矩阵.11 专题五：矩阵的秩.14 专题六：方阵的行列式.18 第二讲 向量和方程组.21 专题一：向量组的线性相关性.21 专题二：向量组的秩和极大线性无关组.26 专题三：矩阵等价和向量组等价.29 专题四：向量空间.33 专题五：方程组解的判定及求解.36 专题六：同解、公共解.41 第三讲 特征值、特征向量及二次型.44 专题一：特征值和特征向量.44 专题二：相似对角化.48 专题三：实对称矩阵.55 专题四：化二次型为标准形.59
2、 专题五：实二次型（实对称矩阵）的正定性.63 专题六：等价、相似、合同.65 第一讲第一讲 矩阵 矩阵 专题一：伴随矩阵 专题一：伴随矩阵 例 1 设A是三阶方阵， * A是A的伴随矩阵， 1 2A =，则 1* (3 )2AA = 答案： 16 27 详解： 1*1111 11 (3 )22 33 AAAA AAA = 3 1 11 22816 332727 AAA = = = = 例 2 设,A B为n阶可逆矩阵,A B 分别为,A B对应的伴随矩阵,分块矩阵 AO C OB = ， 则C的伴随矩阵C= ( ) A A AO OB B B B BO OA A C A BO OB A D
3、B AO OA B 答案：D 详解：由于,A B为n阶可逆矩阵，所以0,0AB。而0 AO CA B OB =，即矩 阵C为n阶可逆矩阵。 1 1 1 1 AOAOAO CC CA B OB OBOB = 1 1 A B AOB AO OA B BOA B = 故应选 D 例 3 设A是n阶可逆矩阵，Aa=，且A的各行元素之和均为b，则A的代数余子式之和 12jjnj AAA+=? 答案： a b 详解：A的代数余子式之和 12jjnj AAA+?即为 * A的第 j 行元素之和。由于A的各行 元素之和均为b，所以 11 11 11 Ab = ? ，两边同时左乘 * A，得 * 11 11 1
4、1 A AA b = ? ，即 * 11 11 11 AbA = ? ，亦即 * 11 11 11 abA = ? 。 由于A为可逆矩阵，故0b。所以， * 11 11 , 11 a A b = ? 即 * A的各行元素之和均为 a b 。 例 4 已知 * 1111 011 , 234 3519 a AA a = 是A的伴随矩阵，若 * ()1r A=，则a= A 3 B 2 C 1 D 1 或 3 答案：D 详解：A是4阶矩阵， 那么由矩阵A和伴随矩阵秩之间的关系： * ,( ), ()1,( )1, 0,( )1, nr An r Ar An r An = = ，可排除 B 选项；又如
5、1 1 1 = ， 2 0 1 = ， 3 1 0 = ， 4 2 2 = ，则 1234 , 与 234 , 均线性相关，且 1 可由 234 , 线性表示，可排 除 D 选项，只有 C 选项为正确答案。 事实上，易证方程组0Ax =与0 A x B = 同解，则( ) A r Ar B = ，因此B的行向量组 可由A的行向量组线性表示，同理可证A的行向量组可由B的行向量组线性表示，因此A 与B的行向量组等价。 例 2 设有向量组(I)： T )2 , 0 , 1 ( 1 =， T )3 , 1 , 1 ( 2 =， T a)2, 1, 1 ( 3 +=和向量组(II)： T a)3, 2
6、, 1 ( 1 +=， T a)6, 1 , 2( 2 +=， T a)4, 1 , 2( 3 +=，试问：当a为何值时，向量组 (I)与(II)等价？当a为何值时，向量组(I)与(II)不等价？ 详解：对矩阵( 321321 ,?)作初等行变换，有 + = 463232 112110 221111 ),( 321321 aaaa? ? ? ? + 111100 112110 111201 aaaa? ? ? (1) 当1a时，有行列式 123 ,10a =+ ，3),( 321 =r，故线性方程组 )3 , 2 , 1( 332211 =+ixxx i 均有唯一解 所以 321 ,可由向量组
7、(I)线性表示。 同样，行列式 123 ,60 =，3),( 321 =r，故 321 ,可由向量组(II)线性表 示，因此向量组(I)与(II)等价 (2) 当1a= 时，有 101000 112110 111201 202000 112110 111201 ),( 321321 ? ? ? ? ? ? ? 由于),(),( 1321321 ?rr，线性方程组 1332211 =+xxx无解，故 向量 1 不能由 321 ,线性表示。因此，向量组(I)与(II)不等价。 例 3 设 1234 , 线性无关，则与 1234 , 等价的向量组是 （ ） A 12233441 , + B 1223
8、4123 , + C 12233441 , + D 12233441 , + 答案：D 详解：由于 1234 , 线性无关，所以 1234 (,)4r =。由于等价向量组秩相等，所以 与 1234 , 等价的向量组的秩也应该为 4。 选项 A：()() 122334411234 1001 1100 , 0110 0011 += 由于 1001 1100 0 0110 0011 = ， 所以 12233441 (,)4r + ，故 1 EA的特征值是 11 10 =，所以矩 阵 1 EA正定。 例 2 设,A B均为m n实矩阵，且()r ABn+=，证明： TT A AB B+为正定矩阵。 详
9、解： 因 TT A AB B+为n阶实矩阵， 且( )()() TTT TTTTTT A AB BA AB BA AB B+=+=+， 故 TT A AB B+为n阶实对称矩阵。 任取n维非零的列向量x，则有 () ()() TTTTTTTTT xA AB B xx A Axx B BxAxAxBxBx+=+=+ 因()r ABn+=，故齐次线性方程组()0AB x+=只有零解，所以当0x ，必有 ()0AB x+，这也表明Ax与Bx不能全为零。不妨设0Ax，令 12 ( ,)T m Axa aa=?， 代入式得 () 222 12 ()()()0 TTTTTT m xA AB B xAxAx
10、BxBxAxAxaaa+=+=+?， 故实对称矩阵 TT A AB B+为正定矩阵。 例 3 二次型 222 123121323 44224xxxtx xx xx x+正定，则t 答案：( 2,1)t 详解：二次型正定，则二次型的矩阵 11 42 124 t At = 的顺序主子式应全大于 0，即 10, 2 1 40( 2,2), 4 t tt t = 2 11 424480( 2,1), 124 t tttt = + 可见( 2,1)t 时，二次型正定。 例 4 n阶实对称矩阵A正定的充要条件是 （ ） A 二次型 T x Ax的负惯性指数为零 B 存在可逆矩阵P使得 1 P APE =
11、C 存在n阶矩阵C使得 T AC C= D A的伴随矩阵 * A与E合同 答案：D 详解： 选项 A 是必要非充分条件， 这是因为( )r fpqn=+。 当0q =时， 有( )r fpn=， 此时有可能pn 详解：由于 1101 0 (1,0,1)000 1101 T A = ，( )1r A =，所以A的特征值为2,0,0， 从而矩阵kEA+的特征值为2, ,kk k+，那么B的特征值为 2, ( 2), (2)kk kk k+。 所以，B正定的充要条件是 2 0, (2)0kk k+，因此，k的取值范围是2k 。 例 1 设A是 3 阶实对称矩阵， 将矩阵A的 1,2 两行互换后再 1
12、,2 两列互换得到的矩阵是B， 试判断A与B是否等价、相似、合同？ 详解：矩阵A经过初等变换得到矩阵B，故A与B必等价。 用初等矩阵描述，有 010010 100100 001001 AB = ，因为 1 010010010010 100100 , 100100 001001001001 T = 所以，A与B既相似又合同。 例 2 已知矩阵 112 121 211 A = 与二次型 22 13 3 T x Bxxax=+的矩阵B合同，则a 答案：0a； 21 30 12 =； 210 120300 00 Att t = ， 所以0t 时，A为正定矩阵。 （2）A与B等价 A与B是同型矩阵，且( )( )r Ar B= 由于 123123123 456036012 333036000 B = ， ( )2r B =，因此，( )2r A =时，矩阵A与B等价。 由于 210120120 120210030 000000 A ttt = ， 0t=
