静态场及其边值问题的解

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1、静态电磁场及其边值问题的解,本节内容 2.8.1 静电场分析 2.8.2 导电媒质中的恒定电场分析 2.8.3 恒定磁场分析 2.8.4 静态场的边值问题及解的惟一性定理 2.8.5 镜像法 2.8.6 分离变量法,静态电磁场：场量不随时间变化，包括： 静电场、恒定电场和恒定磁场,时变情况下，电场和磁场相互关联，构成统一的电磁场 静态情况下，电场和磁场由各自的源激发，且相互独立,2.8.1 静电场分析,本节内容 2.8.1.1 静电场的基本方程和边界条件 2.8.1.2 电位函数 2.8.1.3 导体系统的电容与部分电容 2.8.1.4 静电场的能量 2.8.1.5 静电力,2.8.1.1 静

2、电场的基本方程和边界条件,2. 边界条件,微分形式：,本构关系：,1. 基本方程,积分形式：,或,或,若分界面上不存在面电荷，即 ，则,在静电平衡的情况下，导体内部的电场为0，则导体表面的边界条件为,或,场矢量的折射关系,导体表面的边界条件,D与E均垂直于导体表面,2.8.1.2 电位函数,由,即静电场可以用一个标量函数的梯度来表示，标量函数 称为静电场的标量电位或简称电位。,1. 电位函数的定义,2. 电位的表达式,对于连续的体分布电荷，由,同理得，面电荷的电位：,故得,点电荷的电位：,线电荷的电位：,3. 电位差,上式两边从点P到点Q沿任意路径进行积分，得,关于电位差的说明,P、Q 两点间

3、的电位差等于电场力将单位正电荷从P点移至Q 点 所做的功，电场力使单位正电荷由高电位处移到低电位处。 电位差也称为电压，可用U 表示。 电位差有确定值，只与首尾两点位置有关，与积分路径无关。,静电位不惟一，可以相差一个常数，即,选参考点,令参考点电位为零,电位确定值(电位差),两点间电位差有定值,选择电位参考点的原则 应使电位表达式有意义。 应使电位表达式最简单。若电荷分布在有限区域，通常取无 限远作电位参考点。 同一个问题只能有一个参考点。,4. 电位参考点,为使空间各点电位具有确定值，可以选定空间某一点作为参考点，且令参考点的电位为零，由于空间各点与参考点的电位差为确定值，所以该点的电位也

4、就具有确定值，即,例 2.8.1.1 求电偶极子的电位.,解 在球坐标系中,用二项式展开，由于 ，得,代入上式，得,表示电偶极矩，方向由负电荷指向正电荷。,将 和 代入上式，解得E 线方程为,由球坐标系中的梯度公式，可得到电偶极子的远区电场强度,电场线微分方程：,等位线方程：,解 选定均匀电场空间中的一点O为坐标原点，而任意点P 的位置矢量为r ，则,若选择点O为电位参考点，即 ，则,在球坐标系中，取极轴与 的方向一致，即 ，则有,在圆柱坐标系中，取 与x 轴方向一致，即 ，而 ，故,例2.8.1.2 求均匀电场的电位分布。,解 采用圆柱坐标系，令线电荷与 z 轴相重合，中点位于坐标原点。由于

5、轴对称性，电位与 无关。 在带电线上位于 处的线元 ，它 到点 的距离 ， 则,例2.8.1.3 求长度为2L、电荷线密度为 的均匀带电线的电位。,在上式中若令 ，则可得到无限长直线电荷的电位。当 时，上式可写为,当 时，上式变为无穷大，这是因为电荷不是分布在有限区域内，而将电位参考点选在无穷远点之故。这时可在上式中加上一个任意常数，则有,并选择有限远处为电位参考点。例如，选择= a 的点为电位参 考点，则有,在均匀介质中，有,5. 电位的微分方程,在无源区域，,6. 静电位的边界条件,设P1和P2是介质分界面两侧紧贴界面的相邻两点，其电位分别为1和2。当两点间距离l0时,导体表面上电位的边界

6、条件：,由 和,若介质分界面上无自由电荷，即,常数，,例2.8.1.4 两块无限大接地导体平板分别置于 x = 0 和 x = a 处，在两板之间的 x = b 处有一面密度为 的均匀电荷分布，如图所示。求两导体平板之间的电位和电场。,解 在两块无限大接地导体平板之间，除 x = b 处有均匀面电荷分布外，其余空间均无电荷分布，故电位函数满足一维拉普拉斯方程,方程的解为,利用边界条件，有,处，,最后得,处，,处，,所以,由此解得,2.8.1.3 导体系统的电容与部分电容,电容器广泛应用于电子设备的电路中：,在电子电路中，利用电容器来实现滤波、移相、隔直、旁 路、选频等作用。,通过电容、电感、电

7、阻的排布，可组合成各种功能的复杂 电路。,在电力系统中，可利用电容器来改善系统的功率因数，以 减少电能的损失和提高电气设备的利用率。,电容是导体系统的一种基本属性，是描述导体系统 储存电 荷能力的物理量。,孤立导体的电容定义为所带电量q与其电位 的比值，即,1. 电容,孤立导体的电容,两个带等量异号电荷（q）的 导体组成的电容器，其电容为,电容的大小只与导体系统的几何尺寸、形状和及周围电介质 的特性参数有关，而与导体的带电量和电位无关。,(1) 假定两导体上分别带电荷+q 和q ；,计算电容的方法一：,(4) 求比值 ，即得出所求电容。,(3) 由 ，求出两导体间的电位差；,(2) 计算两导体

8、间的电场强度E；,计算电容的方法二：,(1) 假定两电极间的电位差为U ；,(4) 由 得到 ;,(2) 计算两电极间的电位分布 ；,(3) 由 得到E ;,(5) 由 ，求出导体的电荷q ；,(6) 求比值 ，即得出所求电容。,解：设内导体的电荷为q ，则由高斯定理可求得内外导体间的电场,同心导体间的电压,球形电容器的电容,当 时，,例2.8.1.5 同心球形电容器的内导体半径为a 、外导体半径为b，其间填充介电常数为的均匀介质。求此球形电容器的电容。,例 2.8.1.6 如图所示的平行双线传输线，导线半径为a ，两导线的轴线距离为D ，且D a ，求传输线单位长度的电容。,解 设两导线单位

9、长度带电量分别为 和 。由于 ，故可近似地认为电荷分别均匀分布在两 导线的表面上。应用高斯定理和叠加原 理，可得到两导线之间的平面上任一点 P 的电场强度为,两导线间的电位差,故单位长度的电容为,例2.8.1.7 同轴线内导体半径为a ，外导体半径为b ，内外导体间填充的介电常数为 的均匀介质，求同轴线单位长度的电容。,内外导体间的电位差,解 设同轴线的内、外导体单位长度带电量分别为 和 ，应用高斯定理可得到内外导体间任一点的电场强度为,故得同轴线单位长度的电容为, 2. 部份电容,在多导体系统中，任何两个导体间的电压都要受到其余导体 上的电荷的影响。因此，研究多导体系统时，必须把电容的 概念

10、加以推广，引入部分电容的概念。,在由N个导体组成的系统中，由于电位与各导体所带的电荷之间成线性关系，所以，各导体的电位为,式中：, 自电位系数, 互电位系数,（1） 电位系数,i j 在数值上等于第 j个导体上的总电量为一个单位、而其余 导体上的总电量都为零时，第 i个导体上的电位，即,i j 只与各导体的形状、尺寸、相互位置以及导体周围的介质 参数有关，而与各导体的电位和带电量无关；,具有对称性，即i j = j i 。,i j 0 ；,电位系数的特点：,若已知各导体的电位，则各导体的电量可表示为,式中：, 自电容系数或自感应系数, 互电容系数或互感应系数,（2） 电容系数,i j 在数值上

11、等于第 j个导体上的电位为一个单位1v、而其余导体接地时，第 i 个导体上的电量，即,i j 只与各导体的形状、尺寸、相互位置以及导体周围的介质 参数有关，而与各导体的电位和带电量无关；,具有对称性，即i j = j i 。,i i 0 、 ；,电容系数的特点：,将各导体的电量表示为,式中：,（3） 部分电容, 导体 i 与导体 j 之间的部分电容, 导体 i 与地之间的部分电容,Ci i 在数值上等于全部导体的电位都为一个单位时，第 i 个导 体上的电量；,Ci j 只与各导体的形状、尺寸、相互位置以及导体周围的介质 参数有关，而与各导体的电位和带电量无关；,具有对称性，即Ci j = Cj

12、 i 。,Ci j 0 ；,Ci j 在数值上等于第 j 个导体的电位为一个单位、其余 导体都接地时，第 i 个导体上的电量；,部分电容的特点：,在多导体系统中，把其中任意两个导体作为电容器的两个电极，设在这两个电极间加上电压U，极板上所带电荷分别为 ，则比值 称为这两个导体间的等效电容。,（4）等效电容,如图所示，有三个部分电容,导线 1 和 2 间的等效电容为,导线 1 和大地间的等效电容为,导线 2 和大地间的等效电容为,2.8.1.4 静电场的能量,如果充电过程进行得足够缓慢，就不会有能量辐射，充电过程中外加电源所做的总功将全部转换成电场能量，或者说电场能量就等于外加电源在此电场建立过

13、程中所做的总功。,静电场能量来源于建立电荷系统的过程中外源提供的能量。,静电场最基本的特征是对电荷有作用力，这表明静电场具有 能量。,任何形式的带电系统，都要经过从没有电荷分布到某个最终电荷分布的建立(或充电)过程。在此过程中，外加电源必须克服电荷之间的相互作用力而做功。,1. 两个点电荷系统W静的计算,33,q1与q2相距r12 . 设相距时系统能量为零,q1固定, 移动q2 :,q1 q2,q2固定, 移动q1:,两点电荷体系静电能,2.点电荷系的相互作用能,q4,q3,q2,q1,2.点电荷系的相互作用能,将q1从无穷远移到p1处，外力不做功,将q2从无穷远移到p2处， 外力做功为,20

14、05-1-25,华侨大学信息学院 王华军,37,2.点电荷系的相互作用能,2018/11/15,华侨大学信息学院 王华军,37,将q3从无穷远移到p3处，外力做功为,将q4从无穷远移到p4处，外力做功为,2005-1-25,华侨大学信息学院 王华军,38,2.点电荷系的相互作用能,2018/11/15,华侨大学信息学院 王华军,38,显然有,2005-1-25,华侨大学信息学院 王华军,39,3. 连续分布电荷的静电能,2018/11/15,华侨大学信息学院 王华军,39,2005-1-25,华侨大学信息学院 王华军,40,4.书上的证明过程,2018/11/15,华侨大学信息学院 王华军,4

15、0,2005-1-25,华侨大学信息学院 王华军,41,2018/11/15,华侨大学信息学院 王华军,41,全过程 系统能量总量：,同样若为面分布电荷，系统能量：,外力所作的功,2005-1-25,华侨大学信息学院 王华军,42,2018/11/15,华侨大学信息学院 王华军,42,双导体系统被充电后导体1带电荷q，导体2带电荷q，电位为1和2。,5. 电场能量密度,从场的观点来看，静电场的能量分布于电场所在的整个空间。,电场能量密度：,电场的总能量：,对于线性、各向同性介质，则有,由于体积V 外的电荷密度0，若将上式中的积分区域扩大到整个场空间，结果仍然成立。只要电荷分布在有限区域内，当闭合面S 无限扩大时，则有,故,推证：,例2.8.1.8 半径为a 的球形空间内均匀分布有电荷体密度为的电荷，试求静电场能量。,