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1、考前强化练5解答题组合练(A)1.已知数列an是等差数列,且a1,a2(a1a2)分别为方程x2-6x+5=0的两根.(1)求数列an的前n项和Sn;(2)在(1)中,设bn=Snn+c,求证:当c=-12时,数列bn是等差数列.2.(2018河北唐山一模,理17)已知数列an为单调递增数列,Sn为其前n项和,2Sn=an2+n.(1)求an的通项公式;(2)若bn=an+22n+1anan+1,Tn为数列bn的前n项和,证明:Tn0),斜率为k(k0)的直线l经过C的焦点,且与C交于A,B两点满足OAOB=-34.(1)求抛物线C的方程;(2)已知线段AB的垂直平分线与抛物线C交于M,N两点
2、,R为线段MN的中点,记点R到直线AB的距离为d,若d|AB|=22,求k的值.6.已知抛物线C1:x2=y,圆C2:x2+(y-4)2=1的圆心为点M.(1)求点M到抛物线C1的准线的距离;(2)已知点P是抛物线C1上一点(异于原点),过点P作圆C2的两条切线,交抛物线C1于A,B两点,若过M,P两点的直线l垂直于AB,求直线l的方程.参考答案考前强化练5解答题组合练(A)1.(1)解 解方程x2-6x+5=0得其两根分别为1和5,a1,a2(a1a2)分别为方程x2-6x+5=0的两根,a1=1,a2=5,等差数列an的公差为4,Sn=n1+n(n-1)24=2n2-n.(2)证明 当c=
3、-12时,bn=Snn+c=2n2-nn-12=2n,bn+1-bn=2(n+1)-2n=2,bn是以2为首项,公差为2的等差数列.2.(1)解 当n=1时,2S1=2a1=a12+1,所以(a1-1)2=0,即a1=1,又an为单调递增数列,所以an1.由2Sn=an2+n得2Sn+1=an+12+n+1,所以2Sn+1-2Sn=an+12-an2+1,整理得2an+1=an+12-an2+1,所以an2=(an+1-1)2.所以an=an+1-1,即an+1-an=1,所以an是以1为首项,1为公差的等差数列,所以an=n.(2)证明 bn=an+22n+1anan+1=n+22n+1n(
4、n+1)=12nn-12n+1(n+1),所以Tn=1211-1222+1222-1233+12nn-12n+1(n+1)=1211-12n+1(n+1)12.3.(1)证明 取BC中点为N,AD中点为P,连接MN,NP,MP.MPAE,AE平面ABE,MP平面ABE,MP平面ABE,同理NP平面ABE.又MPNP=P,MN平面ABE.边AB上存在这样的点N,且BNBC=12.(2)解 以A为原点,以AD为y轴,以AB为z轴建立空间直角坐标系.则A(0,0,0),B(0,0,4),C(0,22,2),D(0,22,0),E(2,2,0).DEAE,DEAB,DE平面ABE.平面ABE的一个法向
5、量为DE=(2,-2,0).设平面BCE的一个法向量为n=(x,y,z),BC=(0,22,-2),BE=(2,2,-4),nBC=22y-2z=0,nBE=2x+2y-4z=0,令y=1,则x=3,z=2,n=(3,1,2),cos=DEn|DE|n|=22223=66,由图知二面角A-BE-C的平面角的余弦值为-66.4.(1)证明 PD平面ABCD,PDAC.又ABCD是菱形,BDAC,故AC平面PBD,平面EAC平面PBD,(2)解 连接OE,因为PD平面EAC,所以PDOE,所以OE平面ABCD,又O是BD的中点,故此时E为PB的中点,以O为坐标原点,射线OA,OB,OE分别为x,y
6、,z轴建立空间直角坐标系,设OB=m,OE=h,则OA=3m,A(3m,0,0),B(0,m,0),E(0,0,h),向量n1=(0,1,0)为平面AEC的一个法向量,设平面ABE的一个法向量为n2=(x,y,z),则n2AB=0且n2BE=0,即-3mx+my=0,my-hz=0,取x=1,则y=3,z=3mh,则n2=1,3,3mh.cos 45=|cos|=|n1n2|n1|n2|=31+3+3m2h2,解得hm=62,故PDAD=(2h)(2m)=hm=62.5.解 (1)由已知,l的方程为y=kx+p2,设A(x1,y1),B(x2,y2),由x2=2py,y=kx+p2得:x2-2
7、pkx-p2=0,(*)x1x2=-p2,y1y2=x122px222p=p24,OAOB=x1x2+y1y2=-p2+p24=-3p24,由已知得:-3p24=-34,p=1,抛物线方程C:x2=2y.(2)由第(1)题知,p=1,C:x2=2y,l:y=kx+12,方程(*)即:x2-2kx-1=0,x1+x2=2k,x1x2=-1.设AB的中点D(x0,y0),则x0=12(x1+x2)=k,y0=kx0+12=k2+12,所以AB的中垂线MN的方程:y-k2+12=-1k(x-k),即1kx+y-k2-32=0.将MN的方程与C:x2=2y联立得:x2+2kx-2k2-3=0,设M(x
8、3,y3),N(x4,y4),则Rx3+x42,y3+y42.x3+x42=-1k,y3+y42=-1kx3+x42+k2+32=1k2+k2+32.R点到AB:kx-y+12=0的距离d=k2+1k2+2k2+1.|AB|=k2+1|x1-x2|=k2+1(x1+x2)2-4x1x2=k2+14k2+4=2(1+k2),所以d|AB|=k2+1k2+2k2+12(1+k2)=k2+12k2,由已知得:k2+12k2=22,得k=1.6.解 (1)由题意可知,抛物线的准线方程为y=-14,所以圆心M(0,4)到准线的距离是174.(2)设P(x0,x02),A(x1,x12),B(x2,x22
9、),由题意得x00,x01,x1x2.设过点P的圆C2的切线方程为y-x02=k(x-x0),即y=kx-kx0+x02.则|kx0+4-x02|1+k2=1,即(x02-1)k2+2x0(4-x02)k+(x02-4)2-1=0.设PA,PB的斜率为k1,k2(k1k2),则k1,k2是上述方程的两根,所以k1+k2=2x0(x02-4)x02-1,k1k2=(x02-4)2-1x02-1.将代入y=x2,得x2-kx+kx0-x02=0,由于x0是此方程的根,故x1=k1-x0,x2=k2-x0,所以kAB=x12-x22x1-x2=x1+x2=k1+k2-2x0=2x0(x02-4)x02-1-2x0,kMP=x02-4x0.由MPAB,得kABkMP=2x0(x02-4)x02-1-2x0x02-4x0=-1,解得x02=235,即点P的坐标为235,235,所以直线l的方程为y=3115115x+4.8
