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1、第二章 平面体系的几何组成分析,Last Edit: 2009.7.27,2/73,本章主要内容：,1 几何构造分析的几个概念； 2 平面几何不变体系的组成规律; 3 体系的几何组成分析举例; 4 平面杆件体系的计算自由度; 5 体系的几何特征与静力特征的关系。 课后作业,3/73,本章引言,一个结构要能够承受各种可能的载荷，首先其几何构造应当合理，本身应当是几何稳固的，即其几何形状保持不变。 因此，从几何构造来看，一个结构应是一个几何形状不变的体系，简称 几何不变体系。,进行几何构造分析的目的，就是把杆件结构看成一个杆件体系，检查它是不是一个几何不变体系。,在平面体系的几何构造分析中，最基本
2、的规律是三角形规律。规律本身简单浅显，但规律的应用变化无穷，因此本章遇到的困难不在于学懂，而在于运用。,4/73,2-1 几何构造分析的几个概念,5/73,2-1 几何构造分析的几个概念,一、几何不变体系和几何可变体系,几何构造分析中，不考虑由于材料应变而发生的变形。,几何不变体系：在不考虑材料应变的条件下，体系的位置和形状是不能改变的；,几何可变体系：在不考虑材料应变的条件下，体系的位置和形状是可以改变的；,6/73,2-1 几何构造分析的几个概念,二、刚片,在几何组成分析中，可能遇到各种各样的平面物体，不论其具体形状如何，凡本身为几何不变者，则均可把它看作为刚片。,7/73,2-1 几何构
3、造分析的几个概念,三、自由度,平面内一点有两种独立运动方式(两个坐标x, y可以独立地改变),一点在平面内有两个自由度,一个刚片在平面内有三种独立运动方式(三个坐标x, y, q 可以独立地改变),一个刚片在平面内有三个自由度,8/73,2-1 几何构造分析的几个概念,三、自由度,一般来说，如果一个体系有 n 个独立的运动方式，则这个体系有 n 个自由度。 一个体系的自由度，等于这个体系运动时可以独立改变的坐标的数目。,普通机械中使用的机构有一个自由度，即只有一种运动方式； 一般工程结构都是几何不变体系，其自由度为零。 凡是自由度大于零的体系就是几何可变体系。,9/73,2-1 几何构造分析的
4、几个概念,四、约束,约束是指限制物体或体系运动的各种装置，可以分为外部约束和内部约束两种。,外部约束：体系与基础之间的联系，也就是支座； 内部约束：体系内部各杆之间或结点之间的联系，比如铰结点，刚结点和链杆等。,10/73,2-1 几何构造分析的几个概念,四、约束,一个刚片在平面内有三个自由度 ( xA, yA, q ),若增加一根支杆把 A 点与基础相连,则A点的坐标 xA, yA 相互不独立，则此刚片还剩下两个运动独立几何参数 (xA , q )或 ( yA , q )。故此刚片的自由度变为2。,结论：一根支杆可抵销一个自由度，即相当于一个约束。,11/73,2-1 几何构造分析的几个概念
5、,四、约束,互不相连的两个刚片在平面内有几个自由度？,6个,用铰A连接,则还剩下四个运动独立几何参数,xA, yA, q1, q2,仅连接两个刚片的铰称为 单铰,结论：一个单铰相当于两个约束，抵销两个自由度。,12/73,2-1 几何构造分析的几个概念,四、约束,互不相连的三个刚片用铰A连接,其自由度由9减少为5 xA, yA, q1, q2, q3,连接多于2个刚片的铰称为复铰,由此类推： 连接n个刚片的复铰，相当于n-1个单铰或2(n-1)个约束。,例如连接10个刚片的复铰，相当于18个约束，而体系的自由度应为31018=12,13/73,2-1 几何构造分析的几个概念,四、约束,2个单铰
6、,1个单铰,1个单铰,14/73,2-1 几何构造分析的几个概念,四、约束,单刚结点,两个互不相连的刚片，若用刚结点连接，则两者被连为一体成为一个刚片，自由度由6减少为3。,一个单刚结点相当于3个约束。,复刚节点,三个互不相连的刚片，若用刚结点连接，自由度由9减少为3。,由此类推: 连接 n 个刚片的复刚结点，它相当于n1个单刚结点或3(n 1)个约束。,15/73,2-1 几何构造分析的几个概念,四、约束,平面内互不相连的两个点A, B, 共有4个自由度。,用长为 l 的链杆将其相连,A, B成为同一刚片上的两个点，则自由度成为3。,一个链杆相当于1个约束,若用数学表达式，则应满足以下条件：
7、,4个坐标参数必须受到上述条件的限制，故只有3个独立运动几何参数。,16/73,2-1 几何构造分析的几个概念,五、多余约束,如果在一个体系中增加一个约束，而体系的自由度并不因此而减少，这种约束称为多余约束。,无多余约束,有1个多余约束,只有非多余约束才对体系的自由度有影响，而多余约束对体系的自由度没有影响。,17/73,2-1 几何构造分析的几个概念,六、瞬变体系,两根链杆彼此共线,1、从微小运动的角度看，这是一个可变体系。,左图两圆弧相切，A点可作微小运动； 右图两圆弧相交，A点被完全固定。,18/73,2-1 几何构造分析的几个概念,六、瞬变体系,2、当A点沿公切线发生微小位移后，两根链
8、杆不再共线，因而体系就不再是可变体系。,本来是几何可变，经微小位移后又成为几何不变的体系称为瞬变体系。,可变体系分为瞬变体系和常变体系，如果一个几何可变体系可以发生大位移，则称为常变体系。,19/73,2-1 几何构造分析的几个概念,六、瞬变体系,3、对于A点增加两根共线的链杆后，仍然具有1个自由度。可见在链杆1和2这两个约束中有一个是多余约束。,一般来说，在任一瞬变体系中必然存在多余约束。,20/73,2-1 几何构造分析的几个概念,七、瞬铰,点O: 瞬时转动中心,此时刚片I 的瞬时运动情况与刚片I在O点用铰和基础相连的运动情况完全相同。,从瞬时微小运动来看，两根链杆所起的约束作用相当于在链
9、杆交点处的一个铰所起的约束作用，这个铰称为 瞬铰,在体系运动的过程中，瞬铰的位置随之变化。,用瞬铰替换对应的两个链杆约束，这种约束的等效变换只适用于瞬时微小运动。,21/73,2-1 几何构造分析的几个概念,八、无穷远处的瞬铰,如果用两根平行的链杆把刚片I和基础相连，则其瞬铰在无穷远处瞬时平动。,在几何构造分析中应用无穷远瞬铰的概念时，采用影射几何中关于点和线的四点结论：,1 每个方向有一个点； 2 不同方向有不同的点； 3 各点都在同一直线上，此直线称为线； 4 各有限点都不在线上。,22/73,2-2 平面几何不变体系的组成规律,23/73,2-2 平面几何不变体系的组成规律,一、一个点和
10、一个刚片之间的联结方式,一个点和一个刚片（或基础）之间联结后即无多余约束又是几何不变的整体,几何不变 无多余约束,几何不变 有多余约束,几何可变,规律1 一个刚片与一个点用两根链杆相连，且三个铰不在同一直线上，则组成几何不变的整体，并且没有多余约束。,24/73,2-2 平面几何不变体系的组成规律,二、两个刚片之间的联结方式,几何不变 无多余约束,规律2 两个刚片用一根链杆和一个铰相联结，且三个铰不在同一直线上，则组成几何不变的整体，并且没有多余约束。,几何不变 无多余约束,25/73,2-2 平面几何不变体系的组成规律,二、两个刚片之间的联结方式,几何不变 无多余约束,规律3 两个刚片用三个
11、链杆相连，且三链杆不交于同一点，则组成几何不变的整体，并且没有多余约束。,几何不变 无多余约束,26/73,2-2 平面几何不变体系的组成规律,三、三个刚片之间的联结方式,几何不变 无多余约束,规律4 三个刚片两两相连，且三个铰不在同一直线上，则组成几何不变的整体，并且没有多余约束。,几何不变 无多余约束,27/73,2-2 平面几何不变体系的组成规律,小结,如果三个铰不共线，则一个铰接三角形的形状是不变的，而且没有多余约束，这个基本规律可称为三角形规律。,28/73,2-2 平面几何不变体系的组成规律,关于三链杆不共点（三铰不在一直线上）的条件,三链杆相交于同一点O,刚片II相对于基础 I
12、可绕点O作瞬时转动。 瞬变体系,29/73,2-2 平面几何不变体系的组成规律,关于三链杆不共点（三铰不在一直线上）的条件,由图可知，O1,O2,O3均是点,而根据影射几何: 各点都在同一直线上,因此，三个虚铰在同一直线上。刚片II可以相对于基础I在垂直链杆的方向上作瞬时移动(绕无穷远的一点作瞬时转动)。,30/73,2-2 平面几何不变体系的组成规律,四、体系的装配,上述四种基本组成规律也可归纳为三种基本装配格式：,固定一个结点的装配格式简单装配格式,固定一个刚片的装配格式 联合装配格式,固定两个刚片的装配格式 复合装配格式,31/73,2-2 平面几何不变体系的组成规律,四、体系的装配,多
13、次应用上述基本组成规律或基本装配格式，可以组成各种各样的几何不变且无多余约束的体系。 装配的过程通常有两种：,1 从基础出发进行装配 取基础作为基本刚片，将周围某个部件按照基本装配格式固定到基本刚片上，形成一个扩大的基本刚片。 2 从内部刚片出发进行装配 先在体系内部选取一个或几个刚片作为基本刚片，将其周围的部件按照基本装配格式进行装配，形成一个或几个扩大的基本刚片，最后将扩大的基本刚片和基础装配，形成整个体系。,32/73,2-2 平面几何不变体系的组成规律,四、体系的装配,1 从基础出发进行装配-【例2-1】,33/73,2-2 平面几何不变体系的组成规律,四、体系的装配,1 从基础出发进
14、行装配-【例2-2】,34/73,2-2 平面几何不变体系的组成规律,四、体系的装配,1 从基础出发进行装配-【例2-3】,35/73,2-2 平面几何不变体系的组成规律,四、体系的装配,2 从内部刚片出发进行装配-【例2-4】,36/73,2-2 平面几何不变体系的组成规律,四、体系的装配,2 从内部刚片出发进行装配-【例2-5】,37/73,2-3 体系的几何组成分析举例,38/73,2-3 体系的几何组成分析举例,【例2-6】对图所示体系作几何组成分析,实铰(I II) 实铰(I III) 虚铰(II III),连接三个刚片I(基础) II III的三个铰 不在一直线上。 故为几何不变体
15、系，且无多余约束。,39/73,2-3 体系的几何组成分析举例,【例2-7】利用无穷瞬铰的概念，分析图示各三铰拱的几何组成,若(I III)和(II III)的连线与刚片I和刚片II连接的两个链杆平行，则三铰共线，体系是瞬变的。 注：每个方向有一个点；,如果两者并不平行，则体系几何不变，且无多余约束。,40/73,2-3 体系的几何组成分析举例,【思考及讨论2-1】以下是几何不变体系还是几何瞬变体系？,几何瞬变,提示： 各点都在同一直线上,几何不变且无多余约束,提示 各有限点都不在线上,41/73,2-3 体系的几何组成分析举例,【例2-8】分析如图所示体系的几何构造,基础 刚片I,刚片II,
16、刚片III,连接三个刚片I(基础) II III的三个铰 不在一直线上。 故为几何不变体系，且无多余约束。,42/73,2-3 体系的几何组成分析举例,课堂练习:分析如图所示体系的几何构造,43/73,2-3 体系的几何组成分析举例,解答:几何瞬变,44/73,2-4 平面体系的计算自由度,45/73,2-4 平面体系的计算自由度,运用三角形规律可以对常见的体系进行构造分析，并定量回答以下两个问题： 1) 体系是否几何可变？自由度 S 是多少？ 2) 体系有无多余约束？多余约束的个数 n 是多少？,复杂的体系往往并不是按照三角形规律组成的，为了对它们进行构造分析，求出其 S 和 n，引进计算自由度W 的概念，然后根据 W 来得出关于 S 和 n 的一些定性结论。,46/73,2-4 平面体系的计算自由度,一、自由度 S 的计算方法,设 体系中各个约束均不存在， 在此情况下计算各部件的自由度总和 a ; 在全部约束中确定非多余约束 c ; 则有：,(2-1),此公式应用比较困难，事先必须区分清楚哪些是多余约束，那些不是，这个问题涉及到体系的
