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1、 论文成绩学年论文题 目 求最大公因数的常用方法及新方法 姓 名 罗媚 学 号 1409403017 专业年级 2014 级数学与应用数学系 指导教师 游淑军 副教授 2017 年 2 月 2 日求最大公因数的常用方法及新方法 摘要本文重点讲述了运用化简矩阵的方法，求解整数的最大公因数,该方法相对于传统方法更加高效简洁，对于求最大公因数的常用方法，文中介绍了四种，新旧方法对比，展现了数学应用随学术的影响而越来越高端的趋势.文尾总结弘扬了在数学钻研学习中应秉承的孜孜不倦的求新精神.关键词初等变换；矩阵；最大公因数；整数；应用.The commonly and new methods of str
2、ive the greatest common factorAbstractIn this article, we use the method of reducing matrix to solving the greatest common factor of integer. Compared with the traditional method, the method is more efficient and concise. This article introduces four kinds of comparison to solving the greatest commo
3、n factor of integer. Compared the new and commonly methods, the new method shows that the application of mathematics is more and more developed. It uphold the spirit of study assiduously in the end.Key wordsElementary transformation;matrix; greatest common factor; integer; application.1. 前言求解整数的最大公因
4、数有多种方法，其中除本文要讲的矩阵初等运算方法之外还有众多已发现和未发现的等等方法.文中列出四种供参考对照及验算之用分别为求因数法、分解质因数法、短除法、口算法，还可依据数值大小及数目多少挑选更适合条件的不同方法.要掌握矩阵初等运算求解整数最大公因数首先要了解矩阵的各种运算法则，及矩阵定义定理，这些可以通过教材及网络资料查找，其次要明白矩阵初等变换与求解整数最大公因数之间有何联系有何逻辑关系，最后予以运用熟练掌握，运用自如.新方法在最大公因数的计算中有实际意义.2. 求最大公因数的常用方法定义 2.1 一整数被另一整数整除后者即是前者的因数,如 1,2,4都为 8的因数.定义 2.2 若干个数
5、它们公共的因数，就叫公因数.如，12 和 6的公因数有1，2，3，6.定义 2.3 若干个数它们公共的因数中最大的一个，就叫最大公因数.如 6和 12的最大公因数是 6.例 1.1 求 12和 30的最大公因数.方法一 求因数法.分别找出各数的因数，再找出它们的最大公因数.12 的因数有1、2、3、4、6、12,而 30的因数有 1、2、3、5、6、10、15、30,12 和 30的公因数有 1、2、3、6.最大公因数是 6.方法二 分解质因数法.将原数分别分解质因数，找出它们公有的质因数，最大公约数就是它们公有质因数的积.122233023512和 30公有的质因数是一个 2和一个 3，所以
6、最大公因数是 236.方法三 短除法.用它们公有的因数去除，除到商是互质数为止，所有的除数相乘的积就是它们的最大公因数.12和 30的最大公因数是 236.方法四 口算法.用较小的数依次缩小倍数，当商是大数的因数时，这个商就是它们的最大公因数.1226，6 是 30的因数，所以 12和 30的最大公因数是 6.特殊情况需注意，当两数是互质数时，最大公因数是 1.当两数成倍数关系时，最大公因数是较小的那个数.3. 初等变换与求解最大公因数有何联系矩阵是高等代数学中的常见工具，也常见于统计分析等应用数学学科中，矩阵的运算是数值分析领域的重要问题.先由已学知识引用部分定理及定义，如下所示.引理 3.
7、11 已知矩阵 ，通过将其中两行位置交换，或用 乘以某 ( )行再加减到另一行上的两种初等变换转化矩阵 为矩阵 .其中 ， =111 s1, ，即将 进行初等变换得到 ， ,=111 s1 A=B (1,2, , ,其中 均为整数（并且不 )=(1, 2, ,) =1,2, =1,2, 、 全为 0）,从此（ , , , ）是指 , , , 的最大公因数 .1 2 1 2 以下进行证明，一次行初等变换情况结论符合上述要求即以上成立. 证明初等变换方法需了解以下定义.整数矩阵2 ,若 为整数，则矩阵 称为整数矩阵.=（ ） 矩阵 的整数初等行（列）变换3 交换 的两行（列） ；用1 乘某一行 （
8、列）; 某一行（列）乘上整数 加到另一行（列）上.X先分两种情况讨论.2 12 303 6 152 5第一，若 是由 经交换 两行所得，那么这个理论正确； ,第二，假使 是由 的第 行加上 的第 行的 倍而得到的矩阵，那么, X,所以当整数 整除 时， 也整除 （整除性质）,又当 =,=+ 时 整除 ，所以 整除 ，即 整除 .综上所述,得 , =+ 1,2,与 , , , 的公因数集合相同,得 , , , 1 2 (1,2, )=(1, 2, ,), .=1,2, =1,2,4. 求 、 的最大公因数 、 .1 2 (1 2 )引理 4.11 设 、 , 为 矩阵,1 2 =1 1 0 02
9、 0 1 00 0 0 01 (+1)若 经矩阵初等变换化为 = ,则（ , , , ）= （即 120 00 1 2 , , , 的最大公因数为 ） ，并且 .1 2 =11+22+证明 化为 的过程是以矩阵初等变换规律为工具严格进行的，矩阵 的整 数初等行（列）变换即交换 的两行（列） 、用1 乘某一行（列） 、某一行（列）乘上整数 加到另一行（列）上得到的新矩阵与原矩阵相等.X所以 化为 的过程只有繁杂的步骤不同，所以 结果是显然成立的，而 =引理 3.1 中.=111 s1=111 s1（ , ）=( , , , ), 其中 ， 均为整1,2, 1 2 =1,2,=1,2, 数（并且不
10、全为 0）, 同理可推出引理 4.1 中（ ,0,0）=（ 、 = ,所以 1 2 ) （ , , , ）= ,得证即 , , , 的最大公因数为 . 所以 1 2 1 2 下证 . =11+22+设存在元素均为整数的 级矩阵 、 、 ,使 , （ ）, C1 C2 C C1C2C= A,=( ),其中 =（ , , , ）, =（ , , , ）, 为 级单位矩阵，再令 , A 1 2 1 2 = = ,则 为整数， 且 )= （ ）= （ ,C1C2C C（ Cij） Cij ,=1,2,(, CA, CA）=（ , ）, 于是 = ， = = 从而 = + + += C CA A C 1
11、2 iCi11Ci22， = ， = ， = ，即 = ,Ci 1Ci1 2Ci2Ci i=1. 所以 =11+22+5. 利用矩阵初等变换求整数最大公因数方法步骤已知不为 0 整数集 , , , 列矩阵 = 经过行初等变1 2 , 1 1 0 02 0 1 00 0 1换可化为 = , , , 的最大公因数是 ,且 120 00则 12 . =11+22+6. 应用解题例 6.1 求整数 54 和 178 的公因数.解 先列出矩阵再进行初等变换过程如下，541 01780 154 1 0163 16 103163 12 33 44 23 52 33 40 8913可得 =2，再用前文介绍的短
12、除法检验得知结果正确.所以 例 6.2 求整数 28、46、-33 的最大公因数，并求满足 =28 +46 -33 的整d 1 2 3数 、 、 .1 2 3解 先列矩阵 = 对其进行若干次初等变换28 1 0 046 0 1 0-330 0 1 10 2 -1 03 2 1 3-5 1 0 1 0 4 -1 2-2 3 1 4-5 1 0 1 1 -4 -4 -90 -5 -7 -140 -4 1 -3 所以 28、46 、-33 的最大公因数为 1，并且 、 、 分别等于（-4） 、 （-1 2 34） 、 （-9 ）.经代入验算答案正确.7.小结 数学世界博大精深，解一个问题可以同时运用不同的方法，各有利弊.针对每种条件下的问题选取最适合最省力的方法去解决，就是我们作为学生学习众多知识的原因，也是一票学者孜孜不倦秉实求新的原因.运用矩阵初等变换求解整数的最大公因数是众多数学问题中冰山一角，想寻求新的方法解决数学问题应首先掌握好已学的知识，再温故知新秉持刻苦奋进的精神去探索摸寻. 参考文献 1黎前修 . 用
