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1、运用导数证明不等式专题讲座,深圳市民办学校高中数学教师欧阳文丰,导 言,导数是研究函数性质的一种重要工具。例如求函数的单调区间、求最大（小）值、求函数的值域等等。我们知道函数在某个区间上的导数值大于（或小于）0时，则该函数在该区间上单调递增（或递减）。因而在证明不等式时，根据不等式的特点，有时可以构造函数，用导数证明该函数的单调性,然后再用函数单调性达到证明不等式的目的。即把证明不等式转化为证明函数的单调性。,具体有如下几种形式： 1、直接构造函数，然后用导数证明该函数的增减性；再利用函数在它的同一单调递增（减）区间，自变量越大，函数值越大（小），来证明不等式成立。,例1：x0时,求证；x l
2、n(1+x)0 证明：设f(x)= x ln(1+x)(x0), 则f (x)= x0,f (x)0时,f(x)f(0)=0，即x ln(1+x)0成立。,1：f(x)= x3x, x1,x21,1时，求证：|f(x1)f(x2)| 证明：f (x)=x21, x1,1时,f (x)0, f(x)在1,1上递减.故f(x)在1,1上的最大值为f(1)= 最小值为f(1)= ,即f(x)在 1,1上的值域为 ； 所以x1,x21,1时，|f(x1)| , |f(x2)| , 即有 |f(x1)f(x2)|f(x1)|+ |f(x2)|,变式练习,例2、求证：nN*,n3时，2n 2n+1 证明：
3、要证原式，即需证：2n2n10,n3时成立 设f(x)=2x2x1(x3),则f(x)=2xln22(x3), x3,f (x)23ln320 f(x)在3，+ 上是增函数， f(x)的最小值为f(3)=23231=10 所以，nN*,n3时，f(n)f(3)0, 即n3时,2n2n10成立，,附：通过直接作差构造函数证明。,2、把不等式变形后再构造函数,然后利用导数证明该函数 的单调性，达到证明不等式的目的。,2、已知 ，求证： 分析：欲证 ，只需证函数 和 在 上单调递减即可。 证明： 令 ，其中 则 ，而 所以 在 上单调递减， 即 所以 ；,变式练习,令 ，其中 则 ，所以 在 上单调
4、递减， 即 所以 。 综上所述，,变式练习,【例3】证明：对任意的正整数n， 不等式 都成立. 分析：只需令 ，则问题转化为：当 时，恒有 成立，现构造函数 ，求导即可达到证明。 【绿色通道】令 ， 则 在 上恒正，所以函数 在 上单调递增， 时，恒有 即 ， 对任意正整数n，取,附：通过换元后作差构造函数证明。,3、已知： ，求证 ； 证:令 ，由x0，t1， 原不等式等价于 令f(t)=t-1-lnt， 当 时，有 ，函数f(t)在 递增 f(t)f(1) 即t-1g(1)=0 综上得,变式练习,【例4】已知：a、b为实数，且bae,其中e为自然对数的底，求证：abba. 要证abba,只
5、要证blnaalnb(eab ,即证 ,设f(x)= (xe)， 则f(x)= 0,函数f(x)在(e,+)上是减函数， 又eab, f(a)f(b),即 ,abba.,附：对含有两个变量的不等式，根据“相同结构”可以构造辅助函数。,【例4】已知：a、b为实数，且bae,其中e为自然对数的底，求证：abba. bae, 要证abba,只要证blnaalnb, 设f(x)=xlnaalnx(xe),则 f(x)=lna .xae,lna1,且 1,f(x)0 函数f(x)=xlnaalnx在(e,+)上是增函数， f(b)f(a)=alna-alna=0,即blnaalnb0,blnaalnb,abba.,附：对含有两个变量的不等式，可构造出以其中一个变量为自变量的函数。,4、已知 求证： 分析：,变式练习,证明：令 则 所以， 又因为 ，所以 即,变式练习,即,5、若 ,证明: 解：要证： , 需证： , 设 ， 则需证 要证 时， 。 在 上 在 上是增函数 在 上,变式练习,6、已知函数g(x)=xlnx,设0a时 ，因此F(x)在(a,+)上为增函数。,变式练习,因为F(a)=0,ba, 所以F(b)0, 即 设 , 则 当x0时, ,因此G(x)在(0,+)上为减函数 因为G(a)=0,ba,所以G(b)0.即,从而，当x=a时，F(x)有极小值F(a) ，,变式练习,
