电工技术基础动态电路分析

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1、3.1 电容元件 3.2 电感元件 3.3 换路定律与电压和电流初始值的确定 3.4 RC电路的响应 3.5 RL电路的响应 3.6一阶线性电路动态分析的三要素法,第3章 动态电路的分析,重点与难点,理解电容、电感元件上的u-i关系 会分析电容器的串并联电路 3. 理解换路定律，会计算初始值 4. 会分析一阶动态电路的响应 5.掌握一阶动态电路的三要素法,3.1 电 容 元 件 3.1.1 电容器,在电气设备中，广泛用到一种叫电容器的元件。电容器可由两块金属导体中间隔以绝缘介质而组成。电容器两极加上电源后，两极板上会充上等量正负电荷，在两极极板之间建立起电场，储存一定的电场能量。当断开电源后，

2、电容两极板所储存的电量以及极板间所储存的电场继续存在，如图3-1所示。故电容器是一种能够储存电场能量的元件。,图3-1电容器,1. 电容元件是一个理想的二端元件, 它的图形符号如图3-2所示。,(3-1),图3-2 线性电容元件的图形符号,3.1.2 电容元件,3.1.2 电容元件,2. 电容的SI单位为法拉, 符号为F; 1 F=1 CV。常采用微法（F）和皮法（pF）作为其单位。,3.1.3 电容元件的伏安特性,根据电流的定义：,及,电流与该时刻电压的变化率成正比。 若电压不变， i=0。电容相当与开路（隔直流作用）,关联参考方向下：,3.1.4 电容元件的储能,电容元件吸收的电能为：,在

3、电压和电流关联的参考方向下, 电容元件吸收的功率为：,3.1.5 电容元件的联接,1.电容元件的串联及其分压特性,2. 电容元件的并联及其等效,例 3-1,电路如图所示, 已知U=18V，C1=C2=6F, C3=3F。求等效电容C及各电容两端的电压U1，U2，U3。 ,解：2与C3串联的等效电容为,例 3-2：已知电容C1=4F，耐压值U1=150V，电容C2=12F， 耐压值U2=360V。 （1） 将两只电容器并联使用，等效电容是多大？ 最大工作电压是多少？ （2） 将两只电容器串联使用，等效电容是多大？ 最大工作电压是多少？,解（1） 将两只电容器并联使用时, 等效电容为,其耐压值为,

4、（2） 将两只电容器串联使用时, 等效电容为,两端允许加的最大电压Umax时， 可令电容C1先达到耐压值U1 ， 计算在这种情况下电容C2的电压U2，根据 ，得,故假设成立。 这时a、b两端允许加的最大电压为,3.2 电 感 元 件,自感磁链,L称为电感元件的自感系数， 或电感系数，简称电感。,3.2.1电感与电感元件,电感,电感元件图形符号,电感SI单位为亨利, 符号为H; 1 H=1 WbA。通常还用毫亨（mH）和微亨（H）作为其单位, 它们与亨的换算关系为,3.2.2电感元件的伏安特性,3.2.3 电感元件的储能,在电压和电流关联参考方向下, 电感元件吸收的功率为,电感元件吸收的电能为,

5、3.2.4 电感元件的联接,1. 电感元件的串联及其分压特性,L称为n个无耦合电感串联的等效电感， 它等于各电感之和。,当多个电感串联时， 电压的分配与电感成正比。,2. 电感元件的并联及其等效,L为n个无耦合电感并联时的等效电感,3.3 换路定律与电压和电流初始值的确定,1.动态过程：从一种稳定状态转变到另一种稳定状态的中间过程。,现象： L1立即发亮 亮度不变 L2由暗亮 最后定 L3由亮暗 直到熄灭 外因 :电路状态的改变 内因: 有储能元件 换路：电路状态的改变 通电、断电、短路、电 信号突变、电路参数的变化,1)、具有电感的电路 开关接通前 i=0闭合后，i从零逐渐增至Us/R 结论

6、：RL串联电路接通电源瞬间，电流不能跃变。,2. 换路定律,约定换路时刻为计时起点，即t=0 换路前最后时刻记为t=0- 换路前初始时刻记为t=0+ 换路后的一瞬间 ，电感中的电流应保持换路前的原有值而不能跃变。,2)、具有电容的电路,R、C 与电源Vs接通前、Uc=0 闭合后若电源电流为有限值，电源两端电压不能改变,换路后的最初一瞬间（即t=0+时刻）的电流、电压值, 统称为初始值。,3.初始值的计算,例3-3：,在 时开关合上（开关合上前电路已达到稳 态），求电路中所标出物理量的初始值。,开关未合上,电容开路,在 时开关合上（开关合上前电路已达到稳 态），求电路中所标出物理量的初始值。,解

7、：（1）,时：,（2）,时：,例3-3：,在 时开关合上（开关合上前电路已达到稳 态），求电路中所标出物理量的初始值。,例3-4：,（2）,时：,解：（1）,时：,在 时开关从1到2（开关动作前电路已达到稳 态），求电路中所标出物理量的初始值。,例3-5：,解：（1）,时：,（2）,时：,一阶RC电路的零输入响应,3.4 RC电路的响应,只含有一个储能元件的电路称为一阶电路。 零输入响应：动态电路在设有独立源作用的情况下由初始储能激励而产生的响应。,3.4.1 RC电路的零输入响应,根据KVL, uR=uC=Ri, 而i=-C(duC/dt)(式中负号表明iC与uC的参考方向相反)。将i=-C

8、(duC/dt)代入uC=Ri得,由换路定律知： uC(0+)=uC(0-)=U0, 即 将A=U0代入式中, 得,的数值大小反映了电路过渡过程的快慢, 故把叫RC电路的时间常数。,理论上t=时过渡过程结束。,一阶 RC电路的零输入响应波形 (a) uC波形； (b) i波形,=RC S 时间常数 t=(35) 时认为过渡过程基本结束。,表 电容电压及电流随时间变化的规律,例3-6 在如图3-16所示电路中，开关长期闭合在位置1上，如在t0时把它合到位置2后，试求电容上的电压uc和放电电流i。,解： 在t0-时,由公式可得：,3.4.2 RC电路的零状态响应,RC电路的零状态响应,若在一阶电路

9、中, 换路前储能元件没有储能， 即uC（0-）， iL（0-）都为零, 此情况下由外加激励而引起的响应叫做零状态响应。,由KVL有,将各元件的伏安关系代入上式得,上式中=RC,式中, Us为电容充电电压的最大值, 称为稳态分量，,是随时间按指数规律衰减的分量，称为暂态分量。,RC 电路的零状态响应曲线,如图所示电路, 已知Us=220V, R=200, C=1F, 电容事先未充电，在t=0时合上开关S。求 (1） 时间常数; （2） 最大充电电流; （3） uC, uR和i的表达式; （4） 作uC , uR和i随时间的变化曲线; （5） 开关合上后1ms时的uC, uR和i的值。,例3-7,

10、解 （1） 时间常数,（2） 最大充电电流,（3） uC, uR, i的表达式为,（4） 画出uC, uR, i的曲线如图所示。 ,（5） 当 时,一阶RC电路的全响应,一阶电路的全响应：当一个非零初始状态的一阶电路受到激励时， 电路中所产生的响应叫做一阶电路的全响应。,3.4.3 RC电路的全响应,对于线性电路，全响应为零输入响应和零状态响应两者的叠加，所以，电容上电压的表达式为,如图所示电路中, 开关S断开前电路处于稳态。 设已知Us=20V, R1=R2=1k, C=1F。求开关打开后, uC和iC的解析式, 并画出其曲线。,例3-8,解 选定各电流电压的参考方向如图所示。因为换路前电容

11、上电流iC（0-）=0, 故有,换路前电容上电压为,将上述数据代入公式得,uC , iC随时间的变化曲线如图所示。,3.5 RL电路的响应,RL电路的零输入响应,3.5.1 RL电路的零输入响应,由KVL得,一阶RL电路的零输入响应波形,一阶RL电路零状态响应电路,3.5.2 RL串联电路的零状态响应,由KVL有: uR+uL=Us。 根据元件的伏安关系得,解微分方程得,一阶RL电路零状态响应波形,3.5.3 RL电路的全响应,电路的全响应为,RL电路的全响应,全响应零状态响应零输入响应,全响应稳态分量暂态分量,如图所示电路, 已知Us=100V, R0=150, R=50, L=2H, 在开

12、关S闭合前电路已处于稳态, t=0时将开关S闭合, 求开关闭合后电流i和电压UL的变化规律。,(a) 电路图； (b) 零输入； (c) 零状态,例3-8,解法1 全响应=稳态分量+暂态分量 开关S 闭合前电路已处于稳态, 故有,当开关S 闭合后, R0被短路, 其时间常数为,电流的稳态分量为,电流的暂态分量为,全响应为,由初始条件和换路定律知,故,即,所以,例8.8（三）,解法2 全响应=零输入响应+零状态响应 电流的零输入响应如图 (b)所示, i(0+)=I0=0.5A。于是,电流的零状态响应如图 (c)所示, i(0+)=0。所以,全响应,稳态值, 初始值和时间常数, 我们称这三个量为

13、一阶电路的三要素, 由三要素可以直接写出一阶电路过渡过程的解。 此方法叫三要素法。 设 f（0+）表示电压或电流的初始值，f（）表示电压或电流的新稳态值,表示电路的时间常数, f（t）表示要求解的电压或电流。这样, 电路的全响应表达式为,3.6一阶线性电路动态分析的三要素法,(1) 画出换路前（t=0-）的等效电路。求出电容电压uC（0-）或电感电流iL(0-)；,(2) 根据换路定律uC(0+)=uC(0-), iL(0+)=iL(0-), 画出换路瞬间（t=0+）时的等效电路, 求出响应电流或电压的初始值i(0+)或u(0+), 即f(0+)。,(3) 画出t=时的稳态等效电路（稳态时电容

14、相当于开路, 电感相当于短路）, 求出稳态下响应电流或电压的稳态值 i()或u(), 即f()。,(4) 求出电路的时间常数。=RC或L/R, 其中R值是换路后断开储能元件C或L, 由储能元件两端看进去, 用戴维南或诺顿等效电路求得的等效内阻。 ,(5) 根据所求得的三要素, 代入公式即可得响应电流或电压的动态过程表达式。,归纳出用三要素法解题的一般步骤,如图（a）所示电路, 已知R1=100, R2=400, C=125F, Us=200V, 在换路前电容有电压uC(0-)=50V。求S闭合后电容电压和电流的变化规律。 解 用三要素法求解: (1) 画t=0- 时的等效电路，如图 (b)所示

15、。由题意已知uC(0-)=50V。 (2) 画t=0+时的等效电路, 如图 (c)所示。由换路定律可得uC(0+)=uC(0-)=50V。(3) 画t=时的等效电路, 如图 (d)所示。,例 3-9,(4) 求电路时间常数,(5) 由三要素公式得,电路如图（a）所示, 已知R1=1, R2=1, R3=2, L=3H, t=0时开关由a拨向b, 试求iL和i的表达式, 并绘出波形图。 (假定换路前电路已处于稳态。 ) 解 (1) 画出t=0- 时的等效电路, 如图 (b)所示。因换路前电路已处于稳态, 故电感L相当于短路, 于是,例3-10,(2) 由换路定律,得,(3) 画出t=0+时的等效电路, 如图 (c)所示, 求i(0+)。对3V电源R1、R3回路有,对节点A有,将上式代入回路方程, 得,即,(4) 画出t=时的等效电路，如图 (d)所示,求iL(), i()。,本章小结,1.电容元件 2.电感元件 3.换路定律与电压和电流初始值的确定 4.RC电路的响应 5. RL电路的响应 6.一阶线性电路动态分析的三要素法,