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1、对对 称称 与与 群群（一）从我们的身边而来（一）从我们的身边而来1.1.人们身边充满了对称人们身边充满了对称: : 比如比如: : 雪花图雪花图 鼠标鼠标 窗框窗框一、从哪里来一、从哪里来（二）在我们的认知里（二）在我们的认知里1几何几何对称称（1）平面上的）平面上的对称称（2）空）空间中的中的对称称四面体四面体十二面体十二面体2代数对称代数对称一元n次方程的根的对称多项式：根与系数的关系：3相相邻学科的启示学科的启示物理：光的传播，物体的运动，物理：光的传播，物体的运动，化学：晶体结构，化学：晶体结构，生物遗传生物遗传等等。等等。二、是什么二、是什么F F克莱因于克莱因于18721872年
2、提出（年提出（爱尔朗根纲领爱尔朗根纲领）：）：一种几何学都和一种群相对应。一种几何学都和一种群相对应。 所谓几何学，就是探究在群进行变换时不变的所谓几何学，就是探究在群进行变换时不变的图形性质，即变成了研究群的不变性的学科。图形性质，即变成了研究群的不变性的学科。 克莱因把变换的理论同方程论以及几何学联结克莱因把变换的理论同方程论以及几何学联结在一起。在一起。 如何把各种各样的如何把各种各样的“对称对称” 当中共同的本质抽象当中共同的本质抽象出来，用数学语言理性地描述对称。出来，用数学语言理性地描述对称。 什么是对称的共性？什么是对称的本质？什么是对称的共性？什么是对称的本质？ 下面通过对下面
3、通过对“平面图形的对称平面图形的对称”及及“n n元多项式的元多项式的对称对称”进行分析，继而探索关于进行分析，继而探索关于“对称对称”的统一的本的统一的本质。质。（一）（一） 在运动中看在运动中看 “对称对称” 一般地，圆比正方形更对称些，正六边形比正三角形一般地，圆比正方形更对称些，正六边形比正三角形更对称些，正三角形比等腰三角形更对称些，等腰三角更对称些，正三角形比等腰三角形更对称些，等腰三角形比一般三角形更对称些。形比一般三角形更对称些。正三角形与正方形谁正三角形与正方形谁“更更”对称一些？对称一些？ 让静的平面图形动起来，在运动中看对称。用让静的平面图形动起来，在运动中看对称。用运动
4、的观点去考察事物，研究事物，是常用的方法。运动的观点去考察事物，研究事物，是常用的方法。 可以把平面图形的对称中用到的运动分为三类：可以把平面图形的对称中用到的运动分为三类： 反射；旋转；平移。反射；旋转；平移。（二）从不变性看（二）从不变性看“对称对称”共同的特点是，都保持平面上任意两点间的距离不变。共同的特点是，都保持平面上任意两点间的距离不变。所以，把反射、旋转、平移，或者它们的相继实施，统所以，把反射、旋转、平移，或者它们的相继实施，统称为称为“保距变换保距变换”刚体运动。刚体运动。 变中有不变变中有不变 在在 “刚体运动刚体运动” 下下, ,“不动不动”也是一种也是一种“运动运动”,
5、 ,它可以看它可以看成旋转成旋转0o的的“运动运动”, ,也可以看成平移也可以看成平移 a=0 的的“运动运动”. .这样，这样，任何平面图形都会在某种任何平面图形都会在某种“运动运动”下不变下不变, ,因为它至少在因为它至少在“不动不动”下不变下不变. .如果一种平面图形（例如一般三角形）只在如果一种平面图形（例如一般三角形）只在“不动不动”这种这种“运动运动”下才不变下才不变, ,那么我们就认为该平面图形的对称性最那么我们就认为该平面图形的对称性最差差, ,或者干脆说它或者干脆说它“不对称不对称”. . 由这一观点自然的延伸由这一观点自然的延伸, ,就可以想到描述平面图形对称性强就可以想到
6、描述平面图形对称性强弱的一种量化的方法弱的一种量化的方法. .这就是把所有这就是把所有使某平面图形使某平面图形 K K 不变的不变的“运运动动”放在一起放在一起, ,构成一个集合构成一个集合, ,记为记为S(K) S(K) 并称其为并称其为K K的对称集的对称集. . 把把S(K)S(K)中元素多少作为中元素多少作为K K的对称性的量化的描述。的对称性的量化的描述。逆时针旋转逆时针旋转120度度如果看颜色如果看颜色 它当然变了它当然变了 如果只看形状呢如果只看形状呢? ?例：例：|S(K)|=|S(K)|=8|S(K)|=12|S(K)|=6|S(K)|=1|S(K)|=0抽象观点与具体例子的
7、对照抽象观点与具体例子的对照定性的描述上升为定量的描述定性的描述上升为定量的描述 正三角形与正方形谁更对称一些？正三角形与正方形谁更对称一些？|S(K)|=6|S(K)|=8正方形比正三角形更对称一些正方形比正三角形更对称一些 通过观察几何中的通过观察几何中的 “对称对称”现象，发现现象，发现 其中的其中的“变中有不变变中有不变” 规律，提出将规律，提出将“运动运动”作作为研究对象的设想；把保持不变的运动放到一起，为研究对象的设想；把保持不变的运动放到一起，构成一个集合，称之为构成一个集合，称之为“对称集对称集”，用它来描述的，用它来描述的对称性；最后，我们把集合中元素的个数，作为衡对称性；最
8、后，我们把集合中元素的个数，作为衡量平面图形的对称性强弱的一个量化指标。量平面图形的对称性强弱的一个量化指标。（三）（三）n n 元多项式的对称元多项式的对称 仿照研究仿照研究“平面图形的对称平面图形的对称”时的方式，把时的方式，把“n n元元多项式的对称多项式的对称”，也从直观的感觉，抽象为数学的叙，也从直观的感觉，抽象为数学的叙述。述。 n 元多项式：元多项式： 考虑考虑n3构成构成三三元多项式。有两方面要素：元多项式。有两方面要素：一方面是一方面是“构成元素构成元素”及系数；另一方面是他们间的“运算”加法和乘法。三元多项式谁比谁更对称一些谁比谁更对称一些? “n 元置换元置换” 或简称或
9、简称“置换置换” n3 的时候的时候共有共有6个个“3元置换元置换” 描述描述三元多项式对称性强弱的一种量化的方法元多项式对称性强弱的一种量化的方法. . 这就是把所有使这就是把所有使三元多项式不变的元多项式不变的“3元置换元置换”放在一放在一起起, , 构成一个集合，记为构成一个集合，记为S(f),称为称为f的的“对称集对称集”. . S(f)中元素个数中元素个数|S(f)|是对是对f的对称性的量化描述的对称性的量化描述. . “n元置换元置换”一共有一共有n! !个。如果个。如果f是是n 元多项元多项式，则式，则S(f)是全体是全体n! !个个n元置换所构成集合的元置换所构成集合的子集合，
10、所以子集合，所以|S(f)| n！. .当当|S(f)| =n！时，！时，任一任一n元元置置换都将保持换都将保持f不变，这时不变，这时f称为称为n元元对称多项式。对称多项式。（四）（四） 集合上的可逆变换，子集的对称变换集合上的可逆变换，子集的对称变换 1 1集合上的可逆变换集合上的可逆变换 把讨论把讨论“平面图形的对称平面图形的对称”及及“n元多项式的对元多项式的对称称”中形成的数学思想综合起来，用中形成的数学思想综合起来，用“子集的对称子集的对称”的语言来统一地描述任一客观事物的的语言来统一地描述任一客观事物的“对称对称”。 设设M M是一个集合，则是一个集合，则M M到自身的一个映射称为
11、到自身的一个映射称为“M M上的一个变换上的一个变换”；M M到自身的一个可逆映射称到自身的一个可逆映射称为为“M M上的一个可逆变换上的一个可逆变换”。2子集的对称变换子集的对称变换“变变”是指集合是指集合M上有特点的一些可逆变换上有特点的一些可逆变换, ,每个可每个可逆变换逆变换 都都“改变改变”了集合了集合M中的元素和子集中的元素和子集. .这里的这里的“不变不变”, ,是指对于是指对于M的一个具体的子集的一个具体的子集N, ,有些有些 在整体上在整体上保持保持N不变不变, ,即即 称这样的称这样的 为为“N的对称变换的对称变换”. .把所有这样的把所有这样的“对称变换对称变换”放到一起
12、放到一起, ,构成一个集合构成一个集合, ,记记为为称为称为“N的对称集的对称集”. .3. 3. 对称变换群对称变换群任一客观事物都可以看作某一个集合任一客观事物都可以看作某一个集合M M的子集的子集 MN“子集子集N N的对称变换的对称变换” “子集子集N N的对称集的对称集S(N)S(N)” 子集子集N N的对称集的对称集S(N)S(N)，是一个具有代数结构的集合。，是一个具有代数结构的集合。S(N)S(N)中有运算，且有规律。中有运算，且有规律。S(N)中任意两个元素中任意两个元素 , , 相继作用的相继作用的结果仍保持结果仍保持N整体不变，故整体不变，故 仍在仍在S(N)中中, ,称
13、之为称之为S(N)中的运算满足封闭律中的运算满足封闭律( (一般说一般说“运算运算”, ,就隐含封闭就隐含封闭, ,为强调为强调, ,单列一条单列一条) )；S(N)中任意三个元素中任意三个元素 ， ， 的运算，的运算， 是先做是先做 的运算还是先做的运算还是先做 的运算，的运算，效果是一样的，称之为效果是一样的，称之为S(N)中的运算满足结合律；中的运算满足结合律；S(N)中总有一个特殊的元素即恒等变换，中总有一个特殊的元素即恒等变换，它如同数的乘法中的它如同数的乘法中的1与任何元素作运算都保与任何元素作运算都保持该元素不变，称之为持该元素不变，称之为S(N)中的运算满足幺中的运算满足幺元（
14、单位元）律元（单位元）律; ;对对S(N)中任一元素中任一元素 ，S(N)中一定有一个中一定有一个元素元素 使与使与 相继作用的效果，恰相当于相继作用的效果，恰相当于中的恒等变换，即不动，中的恒等变换，即不动， 称称 为为 的逆元，的逆元，这称为这称为S(N)中的运算满足逆元律中的运算满足逆元律; ;此时，此时，N N的对称集的对称集S(N) S(N) 叫作叫作“N N的对称变换群的对称变换群”. .（五）（五） 群的定义群的定义设设G是一个带有运算是一个带有运算“ ”的非空集合，且其中的的非空集合，且其中的运算满足以下四个条件，则称运算满足以下四个条件，则称 G； 是一个群是一个群结合律结合律： 有有封闭律封闭律： 有有幺元律幺元律：存在：存在 ，使，使 ，有，有 ，称，称 为幺元；为幺元；逆元律逆元律： ，存在，存在 ，使，使 称称b为为a的逆元。的逆元。 群群GG； 也简记为也简记为G G 三、到哪里去三、到哪里去
