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1、多 媒 体 辅 助 教 学 课 件,江油中学 唐秋明制作,等差数列与等比数列,公式,小结,目的,例题,等差数列与等比数列基本公式,等差数列 an-an-1=d(常数) an=a1+(n-1)d a,A,b等差,则A=,等比数列 an/an-1=q(常数) an=a1qn-1 a,G,b等比,则G2=abSn=,na1 (q=1),Sn=,等差数列an,bn的性质:,m+n=k+l,则am+an=ak+al; nk等差,则,等差;,kan+b等差; k1an+k2bn等差; a1+a2+.+an,an+1+an+2+.+a2n,a2n+1+a2n+2+a3n,等差. an等差Sn=cn2+bn
2、(c0) .,等比数列an,bn的性质:,m+n=k+l (m,n,k,lN),则aman=akal; nk等差,则,kan等比; k1ank2bn等比; a1+a2+.+an,an+1+an+2+.+a2n,a2n+1+a2n+2+a3n,等比.公比qn; an等比Sn=c(qn-1) (c0) an等比且an0,则lgan等差;,等比;,例1:四个数,前三个成等比数列,它们的和是19;后三个成 等差数列,和是12,求此四个数.,解法1:,如图:a1,a2,a3,a4,等比 (a2)2=a1a3,等差2a3=a2+a4,已知: a1+a2+a3=19,已知: a2+ a3+ a4 =12,a
3、1+a2+a3=19 (a2)2=a1a3 a2+ a3+ a4 =12 2a3=a2+a4,a1=9 a2=6 a3=4 a4 =2,a1=25 a2=-10 a3=4 a4 =18,或,例1:四个数,前三个成等比数列,它们的和是19;后三个成 等差数列,和是12,求此四个数.,如图:a1,a2,a3,a4,解法2:,a-d,a,a+d,等差,等比a1, a-d,a,已知和为12 =a-d+a+a+d=12,已知三数和为19=,=,或,四数为: 9,6,4,2或 25,-10,4,18.,19,为了便于解方程，应该充分分析条件的 特征,尽量减少未知数的个数, 用最少的未知 数表达出数列的有关
4、项的数量关系，促使复 杂的问题转化为较简单的问题，获得最佳的 解决方法。,归 纳,练习1,练习1,1. 已知等比数列an中,an0, 且a2a4+2a3a5+a4a6=25,则a3+a5= ( ) (A)5 (B)10 (C)15 (D) 20,2.数列an是等差数列,且S10=100, S100=10,则S110= ( ) (A)90 (B)-90 (C)110 (D)-110,3.ABC的三内角成等差数列,三边成等比 数列,则三内角的公差为 ( ) (A)0 (B)150 (C) 300 (D) 450,A,D,A,1. 已知等比数列an中,an0, 且a2a4+2a3a5+a4a6=25
5、,则a3+a5=,a2a4=(a3)2,a4a6=(a5)2,原式=(a3+a5)2=25= a3+a5=5,(an0),提示:,2.数列an是等差数列,且S10=100, S100=10,则S110= ( ) (A)90 (B)-90 (C)110 (D)-110,S10,S20-S10,S30-S20,S110-S100成等差数列,公差100d.,解:, (S20-S10)-S10=100d),S110-S100=S10+(11-1)100d=100+100(-11/5)=-120S110=-120+S100=-110,=10d=-11/5,S110-S100=S10+(11-1)100d
6、,3.ABC的三内角成等差数列,三边成等比 数列,则三内角的公差为( ),解: A+B+C=1800,2B=A+C,b2=ac, B=600, A+C=1200,由正弦定理得:(sin600)2=sinAsinC,故 A=B=C, 公差 d=0.,例2:已知数列an为等差数列,公差d0,an的部分项组成下列数列: 恰好为等比数列,其中k1=1,k2=5,k3=17,求k1+k2+.+kn,即得出新数列的公比:q=3,再由,可解出kn,进而求出,根据数列an是等差数列,通项可写作:,an=a1+(n-1)d,可表示出:a1,a5=a1+4d,a17=a1+16d,再根据a1,a5,a17成等比数
7、列,又可得:(a5)2=a1a17,于是可解出d=(1/2)a1.将解出的d代入a1,a5,a17,分析:,例2:已知数列an为等差数列,公差d0,an的部分项组成下列数列: 恰好为等比数列,其中k10,k2=5,k3=17,求k1+k2+.+kn,解:,an为等比数列,设其首项为a1,则an=a1+(n-1)d,故(a1+4d)2=a1(a1+16d),(a1)2 +8a1d+16d2=(a1)2 +16a1d,例2:已知数列an为等差数列,公差d0,an的部分项组成下列数列: 恰好为等比数列,其中k10,k2=5,k3=17,求k1+k2+.+kn,故,又q=3,d=(1/2)a1,归 纳
8、,1.本题是一个综合型的等差、等比数列问题，在解题过程中，分清那一步是用等差数列条件，那一步是用等比数列条件是正确解题的前提。 2。仔细观察，找到两个数列序号间的联系，是使问题得解的关键。,练习2,练习2,1.如果a,b,c成等差数列,而 a.c.b三数成等比数列,则a:b:c=_2.若数列1,2cos,22cos2,23cos3,前100项之和为0,则的值为 _,1:1:1或4:1:(-2),2k(2/3)(kZ),1.如果a,b,c成等差数列,而 a.c.b三数成等比数列,则a:b:c=_,a,b,c等差,2b= a+c,b= (a+c)/2,a.c.b等比,c2=ab,代,入,得:,c2
9、=a(a+c)/2,解得: a=c或 a= -2c,1:1:1或4:1:(-2),解:,2.若数列1,2cos,22cos2,23cos3,前100项之和为0,则的值为 _,解:,经观察知,该数列是等比数列,首项为1,公比为2cos,它的前100项和:,Cos= - 1/2,=2k(2/3),kZ.,例3.已知数列an中,a1a2,若存在常数p, 使得对任意自然数n均有Sn=pnan成立. (1)求p (2)证明an成等差数列,分析:本题已知Sn,需求p及an,所以必 须根据公式 求出 a1,an.,因为条件中有a1a2,又可推测知:,本题需同时求a1,a2,才可利用a1a2排除增根.,故第一
10、问的解答从计算a 1,a2开始:,例3.已知数列an中,a1a2,若存在常数p, 使得对任意自然数n均有Sn=pnan成立. (1)求p (2)证明an成等差数列,（1）令n=1，s1=pa1，,因为S1=a1，故a1=pa1，a1=0或p=1,若p=1，则由n=2时，S2=2a2，即a2+a2=2a2,所以a1=a2，这与a1a2矛盾,故p1,所以a1=0，则由n=2，得a2=2pa2,因为a10，a20，p=1/2,解:,例3.已知数列an中,a1a2,若存在常数p, 使得对任意自然数n均有Sn=pnan成立. (1)求p (2)证明an成等差数列,(2)根据已求得的p=1/2,Sn=(1
11、/2)nan,由等差数列定义,满足an-an-1=d(常数) 的数列是等差数列,所以第一步求通项,第二步“作差”.,证明:,n2时,an=Sn-Sn-1=(1/2)nan-(1/2)(n-1)an-1,解得: (2-n)an=(1-n)an-1,例3.已知数列an中,a1a2,若存在常数p, 使得对任意自然数n均有Sn=pnan成立. (1)求p (2)证明an成等差数列,由(1)可得a1=0,a2-a1=a2,练习3,练习3,1. 数列 则 是该数列的第_项. 2.数列an对任意自然数n都满 足 且a3=2,a7=4,则a15=_,11,16,教学目的,1。系统掌握等差、等比数列定义与性质，
12、灵活应用等差、等比数列的定义与性质。 2。通过对问题的讨论，提高分析解决问题的能力。,小 结,对等差等比综合问题 1。要正确分清题目究竟是等差还是等比，不能混淆。 2。掌握设元的技巧； 3。要掌握分析数列问题的基本思想方法：抓两头，凑中间。,习题分析:,6.三数成等比数列,若将第三数减去32,则成等差数列,若再将等差数列的第二个数减去4,又成等比数列,原来三个是:_.,习题分析:,7.数列an各项均为正数,前n项和为An,数列bn的前n项和为Bn,且满足Bn=-n(n-1),bn=log2an,求An.,习题分析:,8.已知等差数列an的首项a1=1,前n项和为145,求a2+a4+a8+,习题分析:,9.设Sn是等差数列an的前n项和,已知(1/3)S3与(1/4)S4的等比中项为(1/5)S5,而(1/3)S3与(1/4)S5的等差中项为1,求等差数列an的通项.,
