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1、O二次函数与相似三角形综合题黄陂区实验中学 邓静 教学目标： 1、会求二次函数解析式； 2、根据条件寻找或构造相似三角形，在二次函数的综合题中利用其性质求出线段的长 度，从而得出点的坐标。 教学重点： 1、求二次函数解析式； 2、相似三角形的判定与性质在二次函数综合题中的运用。 教学难点： 根据条件构造相似三角形解决问题。 情感与态度： 1、培养学生积极参与教学学习活动的兴趣，增强数学学习的好奇心和求知欲。 2、使学生感受在数学学习活动中获得成功的体验，锻炼学生克服困难的意志，建立自 信心。 3、培养学生科学探索的精神。 教学过程： 一、复习巩固 如图，抛物线 y=ax2+bx2 与 x 轴交
2、于点 A（1，0） ，B（m，0）两点，与 y 轴交于 C 点，且ACB=90，求抛物线的解析式. 分析：OC2=OAOB 4=1m，m=4 B（4，0） 设抛物线解析式为 y=a(x+1)(x4)代入 C 点（0，2）抛物线解析式为.213222yxx二、新授 例题、如图，直线 y=x+3 与 x 轴、y 轴分别相交于 B、C，经过 B、C 两点的抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴另一交点为 A，顶点为 P，且对称轴是直线 x=2， （1）求抛物线解析式； （2）连结 AC，请问在 x 轴上是否存在点 Q，使得以点 P、B、Q 为顶点的三角形与 ACB 相似，若存在，请求出 Q 点坐标
3、；若不存在，说明理由. （3）D 点为第四象限的抛物线上一点，过点 D 作 DEx 轴，交 CB 于 E，垂足于 H，过 D 作 DFCB，垂足为 F，交 x 轴于 G，试问是否存在这样的点 D，使得DEF 的 周长恰好被 x 轴平分？若能，请求出 D 点坐标；若不能，请说明理由.解 （1）直线与轴相交于点，Q3yx xBABCPOxy 2x 当时，0y 3x 点的坐标为 B(3 0)，又抛物线过轴上的两点，且对称轴为，QxAB，2x 根据抛物线的对称性，点的坐标为 A(10)，过点，易知，3yx QC(0 3)C ， 3c 又抛物线过点，Q2yaxbxc(10)(3 0)AB，经过点(1)(
4、3)ya xxC(0,3) 243yxx（2）连结，由，得，PB2243(2)1yxxx(21)P，设抛物线的对称轴交轴于点，在中，xMRtPBM1PMMB452PBMPBo，由点易得，在等腰直角三角形中，(3 0)(0 3)BC，3OBOCOBC，45ABC o由勾股定理，得3 2BC 假设在轴上存在点，使得以点为顶点的三角形与相似xQPBQ，ABC当，时，BQPB BCAB45PBQABCoPBQABC即，2 23 2BQ3BQ又，点与点重合，的坐标是 3BO QQO1Q(0 0)，当，时，QBPB ABBC45QBPABCoQBPABC即，2 23 2QB2 3QB21P，273333O
5、BOQOBQBQ，的坐标是 2Q703，18045135135PBxBACPBxBACooooQ，点不可能在点右侧的轴上QBx综上所述，在轴上存在两点，能使得以点为顶点的三角形x127(0 0)03QQ，PBQ，与相似 ABC （3）设 D（a，a24a+3） ，则 E（a，a+3）DFEBOC DE：BC=LDEF：LBOC =23 3 2aa 63 2DFEL LDEF=()(a2+3a)21DH+DG= = 1 2DFEL( 21)DH2( 21) (43)aag= ()(a2+3a)1 221=243aa21(3 )2aaa1=2，a2=3(舍) D（2，1）应用变式： 1、在此抛物线
6、上是否存在 P 点？使得1+2=45，若存在，请求出 P 点坐标；若 不存在，请说明理由.分析： （1）延长 CP 与 x 轴交于 E 点，1+2=45=ABC=E+21=E，ExENx又COA 公共OCAOEC OC2=OAOE OC2=9=1OE OE=9 E（9，0） 直线解析式133yx 联立直线与抛物线 P 的坐标为（，）11 316 9 （2）P 点与 A 点重合，P（1，0） ， 综上所述，P 的坐标为（） ， （1，0）.11 16,392、在上题抛物线中，P 为抛物线上一点，PEBC 于 E，且 CE=3PE，求 P 点坐标. 分析：连 AC、PC，证PECOAC，OCA=PCE，PCA=45.延长 CP 交 x 轴于 N，ACBANC，AC2=ABAN，N（6，0） ，联立抛物线，得 P（）.1:32CN yx 7 5,2 4三、小结 点的坐标是综合题的立足点（求解析式） ，又是综合题的制高点（求满足条件的点的 坐标或存在性探求） ，求点的坐标一般历经下面两个关键步骤： （1）定位 （2）计算 四、作业练习1、如图，抛物线A、B 两点（A 点在 B 点左侧） ，交 y 轴于22yxxx 交轴于C（0,2） ，过 A、C 画直线，点 M 在 y 轴右侧的抛物线上，从 M 为圆心的圆与直线 AC 相切，切点为 H，且 CHMAOC,求 M 点坐标.
