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1、一均值不等式1.（1）若，则 (2)若，则（当且仅当时取“=”）Rba,abba222Rba, 222baabba 2. (1)若，则 (2)若，则（当且仅当时取“=” ）*,Rbaabba 2*,Rbaabba2ba (3)若，则 (当且仅当时取“=” ）*,Rba22baabba 3.若，则 (当且仅当时取“=” ）;若，则 (当且仅当时取“=” ）0x 12xx1x 0x 12xx 1x 若，则 (当且仅当时取“=” ）0x 11122-2xxxxxx即或ba 3.若，则 (当且仅当时取“=” ）0ab2ab baba 若，则 (当且仅当时取“=” ）0ab 22-2ababab bab
2、aba即或ba 4.若，则（当且仅当时取“=” ）Rba, 2)2(22 2bababa 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大” （2）求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用应用一：求最值应用一：求最值例 1：求下列函数的值域（1）y3x 2 （2）yx12x 21x解：（1）y3x 22 值域为，+）12x 266（2）当 x0 时，yx 22；1x当 x0 时， yx = （ x ）2=21x1x值域为（
3、，22，+）解题技巧：解题技巧：技巧一：凑项技巧一：凑项例 1：已知，求函数的最大值。5 4x 14245yxx解：因，所以首先要“调整”符号，又不是常数，所以对要进行拆、凑项，450x1(42)45xxA42x，5,5404xx 11425434554yxxxx 231 当且仅当，即时，上式等号成立，故当时，。15454xx1x 1x max1y评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。技巧二：凑系数技巧二：凑系数例 1. 当时，求的最大值。(82 )yxx 解析：由知，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。 注意到为定值，故
4、只需将凑上一个系数即可。2(82 )8xx(82 )yxx当，即 x2 时取等号 当 x2 时，的最大值为 8。(82 )yxx 评注：本题无法直接运用均值不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用均值不等式求最大值。变式：设，求函数的最大值。230 x)23(4xxy解：230 x023 x29 22322)23(22)23(42 xxxxxxy当且仅当即时等号成立。,232xx 23, 043x技巧三：技巧三： 分离分离例 3. 求的值域。2710(1)1xxyxx 解析一：本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有（x1）的项，再将其分离。当,即时,（当且仅当 x1 时取“
5、”号）。421)591yxx（技巧四：换元技巧四：换元 解析二：本题看似无法运用均值不等式，可先换元，令 t=x1，化简原式在分离求最值。22(1)7(1 +10544=5ttttytttt ）当,即 t=时,（当 t=2 即 x1 时取“”号）。4259ytt评注：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最值。即化为，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用均值不等式来求最值。( )(0,0)( )Aymg xB ABg x技巧五：注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数技巧五：注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应
6、结合函数的单调性。的单调性。例：求函数的值( )af xxx2254xy x 域。解：令，则24(2)xt t2254xy x 22114(2) 4xtttx 因，但解得不在区间，故等号不成立，考虑单调性。10,1ttt1tt1t 2,因为在区间单调递增，所以在其子区间为单调递增函数，故。1ytt 1,2,5 2y 所以，所求函数的值域为。5,2练习求下列函数的最小值，并求取得最小值时，x 的值.（1） （2） (3) 231,(0)xxyxx12,33yxxx12sin,(0, )sinyxxx2已知，求函数的最大值.；3，求函数的最大值.01x(1)yxx203x(2 3 )yxx条件求最
7、值条件求最值1.若实数满足，则的最小值是 .2baba33 分析：“和”到“积”是一个缩小的过程，而且定值，因此考虑利用均值定理求最小值， ba33 解： 都是正数，ba33 和ba33 632332baba当时等号成立，由及得即当时，的最小值是 6ba33 2baba33 1 ba1 baba33 变式：若，求的最小值.并求 x,y 的值44loglog2xy11 xy技巧六：整体代换：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。技巧六：整体代换：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。 。2：已知，且，求的最小值。0,0xy191xyxy
8、错解错解：，且， 故 。0,0xy191xy1992212xyxyxyxyxymin12xy错因：解法中两次连用均值不等式，在等号成立条件是，在等号成立条件是即,取等号的2xyxyxy1992xyxy19 xy9yx条件的不一致，产生错误。因此，在利用均值不等式处理问题时，列出等号成立条件是解题的必要步骤，而且是检验转换是否有误的一种方法。正解正解：，190,0,1xyxy199106 1016yxxyxyxyxy 当且仅当时，上式等号成立，又，可得时， 。9yx xy191xy4,12xymin16xy变式： （1）若且，求的最小值Ryx,12 yx yx11(2)已知且，求的最小值Ryxb
9、a,1yb xayx 技巧七、已知技巧七、已知x x，y y为正实数，且为正实数，且x x 2 21 1，求，求x x的最大值的最大值. .y y 2 22 21 1y y 2 2分析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式ab。a 2b 22同时还应化简中y2前面的系数为 ， xx x1y 2121y 22下面将x，分别看成两个因式：x 即xx 341y 22342技巧八：已知技巧八：已知a a，b b为正实数，为正实数，2 2b bababa a3030，求函数，求函数y y的最小值的最小值. .1 1a ab b分析：这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化为一元
10、函数问题一是通过消元，转化为一元函数问题，再用单调性或基本不等式求解，对本题来说，这种途径是可行的；二是直接用基本二是直接用基本不等式，对本题来说，因已知条件中既有和的形式，又有积的形式，不能一步到位求出最值，考虑用基本不等式放缩后，再通过解不等式的途径进行。法一：a， abb 302bb1302bb12 b 230bb1由a0 得，0b15令tb+1，1t16，ab2（t）34t282t 234t31t16t16t ab18 y 当且仅当t4，即b3，a6 时，等号成立。1 18 法二：由已知得：30aba2b a2b2 30ab22 ab2 ab令u 则u22u300， 5u3 ab222
11、3，ab18，yab21 18点评：本题考查不等式的应用、不等式的解法及运算能力；如何由已知不等式abba 2）（Rba,出发求得的范围，关键是寻找到之间的关系，由此想到不等式，这样将230abab）（Rba,ababba与abba 2）（Rba,已知条件转换为含的不等式，进而解得的范围.abab变式：变式：1.已知a0，b0，ab(ab)1，求ab的最小值。2.若直角三角形周长为 1，求它的面积最大值。技巧九、取平方技巧九、取平方5、已知x，y为正实数，3x2y10，求函数 W的最值.3x2y解法一：若利用算术平均与平方平均之间的不等关系，本题很简单ab2a 2b 22 2 3x2y223x
12、2y5解法二：条件与结论均为和的形式，设法直接用基本不等式，应通过平方化函数式为积的形式，再向“和为定值”条件靠拢。W0，W23x2y210210()2()2 10(3x2y)203x2y3x2y3x2y W2 205变式: 求函数的最大值。152152 ()22yxxx 解析：注意到与的和为定值。21x52x22( 2152 )42 (21)(52 )4(21)(52 )8yxxxxxx 又，所以0y 02 2y当且仅当=，即时取等号。 故。21x52x3 2x max2 2y评注：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用均值不等式创造了条件。 总之，我们利用均值不等式求最值时，一定要
13、注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用均值不等式。应用二：利用均值不等式证明不等式应用二：利用均值不等式证明不等式1已知为两两不相等的实数，求证：cba,cabcabcba2221）正数a，b，c满足abc1，求证：(1a)(1b)(1c)8abc例 6：已知 a、b、c，且。求证：R1abc1111118abc分析：不等式右边数字 8，使我们联想到左边因式分别使用均值不等式可得三个“2”连乘，又，可由此变形1121abcbc aaaa 入手。解：a、b、c，。同理，。上述三个不等式两边均为正，分别R1abc1121abcbc aaaa 121ac bb 121ab
14、 cc 相乘，得。当且仅当时取等号。1112221118bcacab abcabcAA1 3abc应用三：均值不等式与恒成立问题例：已知且，求使不等式恒成立的实数的取值范围。0,0xy191xyxymm解：令，,0,0,xyk xy191xy991.xyxy kxky1091yx kkxky。 ， 10312kk 16k,16m 应用四：均值定理在比较大小中的应用：应用四：均值定理在比较大小中的应用：例：若，则的大小关系是 .)2lg(),lg(lg21,lglg, 1baRbaQbaPbaRQP,分析： 1 ba0lg, 0lgba（21Qpbabalglg)lglgRQP。QababbaRlg21lg)2lg(2010 年高考均值
