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1、XDqV,学点一,学点二,学点三,1.基本事件：试验结果中 称为基本事件.（1）每个基本事件的发生都是 ;（2）因为试验结果是 ，所以基本事件也只有;（3）任意两个基本事件都是互斥的，一次试验只能出现 ，即产生 ;（4）基本事件是试验中不能再分的最简单的随机事件，其他事件都可以用基本事件的和的形式来表示.,不能再分的最简单的随机事件,等可能的,有限个,有限个,一个结果,一个基本事件,2.古典概型的定义：（1）有限性 .（2）等可能性： .我们把具有上述两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型. 3.古典概型的概率公式：P(A)= .应用公式的关键在于 . 4.计算古典概型的概率的基本步
2、骤：（1）计算 ；,试验中所有可能出现的基本事件只有有限个,每个基本事件出现的可能性相等,准确计算事件A所包含的基本事件的个数和基本事件的总数,所求事件A所包含的基本事件个数m,（2）计算 ；（3）应用公式P（A）= 计算概率. 5.随机数的产生方法：一般用试验的方法，如把， ， 等抽样方法，可以 .在计算器或计算机中可以 ， 当作来应用 .,基本事件的总数n,用统计中的抽签法,产生某个范围内的随机数,数字标在小球上,搅拌均匀,应用随机函数产生某个范围的伪随机数,随机数,6.随机模拟法（蒙特卡罗法）：用计算机或计算器模拟试验的方法，具体步骤如下：（1） ； （2） ； （3）计算频率 作为所求
3、概率的近似值.,用计算器或计算机产生某个范围内的随机数，,并赋予每个随机数一定的意义,统计代表某意义的随机数的个数M和总的随机数的个数N,fn(A)=,学点一 古典概型的定义,【分析】考查古典概型的概念.,试判断下列随机试验是否为古典概型,并说明理由. (1)在适宜条件下“种下一粒种子观察它是否发芽”; (2)从市场上出售的标准为5005 g的袋装食盐中任取一袋,测其重量; (3)掷一颗骰子,观察其朝上的点数(此骰子是由一个质地均匀的正方体型塑料刻成的,骰子上的每个眼的大小一样).,【解析】 (1)不是古典概型,因为这个试验的基本事件空间=发芽,不发芽,但“发芽”与“不发芽”这两个基本事件出现
4、的机会一般是不均等的.(2)不是古典概型,因为所测得重量可从495 g,505 g内任取一值,所有可能的结果有无限多个.(3)不是古典概型,由于所刻的每个眼一样大,结果是刻1点的面较“重”,刻6点的面较“轻”,根据物体平衡的稳固性知,出现6点的可能性大于出现1点的,从而六个基本事件的发生不是等可能的.(试想想标准的骰子应如何刻?),【评析】关键看这个试验是否具有古典概型的两个特征 有限性和等可能性.,判断下列命题正确与否. (1)掷两枚硬币,可能出现“两个正面”“两个反面”“一正一反”3种结果; (2)其袋中装有大小均匀的三个红球、两个黑球、一个白球,那 么每种颜色的球被摸到的可能性相同; (
5、3)从-4,-3,-2,-1,0,1,2中任取一数,取到的数小于0与不小于0的可能性相同; (4)分别从3名男同学,4名女同学中各选一名作代表,那么每个 同学当选的可能性相同; (5)5人抽签,甲先抽,乙后抽,那么乙与甲抽到某号中奖签的可能性肯定不同.,解:以上命题均不正确.,(1)应为4种结果,还有一种是“一反一正”.(2)摸到红球的概率为 ,摸到黑球的概率为 ,摸到白球的概率为 .(3)取到小于0的数字的概率为 ,不小于0的数字的概率为 .(4)男同学当选的概率为 ,女同学当选的概率为 .(5)抽签有先有后,但每人抽到某号的概率是相同的,其理由是:假设5号签为中奖签,甲先抽到中奖签的概率为
6、 ;乙接着抽,其抽中5号签的概率为 ;以此类推,丙抽中5号签的概率为 .,学点二 列举法解古典概型问题,袋中装有6个形状完全相同的小球,其中4个白球,2个红球,从袋中任意取出两球,求下列事件的概率: (1)A:取出的两球都是白球; (2)B:取出的两球一个是白球,另一个是红球.,【分析】本题考查列举法解古典概型.,【解析】设4个白球的编号为1,2,3,4;2个红球的编号为5,6,从袋中的6个小球中任取两个的方法为(1,2),(1,3), (1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4), (3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6)共
7、15种.,(1)从袋中的6个小球中任取两个,所取的两球全是白球的方法总数,即是从4个白球中任取两个的方法总数,共有6种,即为(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4).取出的两个小球全是白球的概率为 .(2)从袋中的6个小球中任取两个,其中一个是红球,而另一个是白球,其取法包括(1,5),(1,6),(2,5),(2,6),(3,5), (3,6),(4,5),(4,6)共8种.取出的两个小球一个是白球,另一个是红球的概率为 .,【评析】列举法可以使我们明确基本事件的构成,此法适合于基本事件比较少的情况;比较多时,可以用后面学习的计算原理完成.列举时要按规律进行,通
8、常采用分类方法列举,这样可以避免重复、遗漏,此题是按1,2,3,4,5分别在第一位进行列举的.,先后抛掷3枚均匀的壹分、贰分、伍分硬币. (1)一共可能出现多少种不同结果? (2)出现“2枚正面,1枚反面”的结果有多少种? (3)出现“2枚正面,1枚反面”的概率是多少?,解:(1)抛掷壹分、贰分、伍分硬币时,各自都会出现正面和反面2种情况,一共可能出现的结果有8种,即(正,正,正),(正,正,反),(正,反,正),(正,反,反),(反,正,正),(反,正,反),(反,反,正),(反,反,反).(2)出现“2枚正面,1枚反面”的结果有3种,即(正,正,反),(正,反,正),(反,正,正).(3)
9、每种结果出现的可能性相等,事件A:出现“2枚正面,1枚反面”的概率P(A)= .,学点三 表格(或坐标)法解古典概型问题,某运动员用杠铃进行锻炼时,需要选取2个质量盘装在杠铃上,有2个装有质量盘的箱子,每个箱子中都装有4个不同的质量盘:2.5 kg、5 kg、10 kg和20 kg,每次都随机地从2个箱子中各取1个质量盘装有杠铃上后,再进行锻炼.(1)随机地从2个箱子中各取1个质量盘,共有多少种可能结果?用表格列出所有可能的结果;(2)计算选取的两个质量盘的总质量分别是下列质量的概率:20 kg;30 kg;不超过10 kg;超过10 kg.,【分析】本题考查表格法解古典概型.,【解析】(1)
10、第一个箱子的质量和第二个箱子的质量都可以从4种不同的质量盘中任意选取,我们用“有序实数对”来表示选取的结果.例如(10,20)表示在一次随机选取中,从第一个箱子取的是10 kg的质量盘,从第二个箱子取的是20 kg的质量盘.,从表中可以看出，随机地从2个箱子中各取1个质量盘的所有可能结果共有16种，由于选取质量盘是随机的，因此这16种结果出现的可能性是相同的，这个试验属于古典概型.,第二个质量,第一个质量,总质量,用A表示事件“选取的两个质量盘的总质量是20 kg”.因为总质量为20 kg的所有可能结果只有1种,所以事件A的,概率P(A)= =0.0625.用B表示事件“选取的两个质量盘的总质
11、量是30 kg”.从表中可以看出,总质量为30 kg的所有可能结果共有2种,所以事件B的概率P(B)= =0.125.用C表示事件“选取的两个质量盘的总质量不超过10 kg”.总质量不超过10 kg,即总质量为5 kg,7.5 kg,10 kg之一,从表中容易看出,所有可能结果共有4种,所以事件C的概率P(C)= =0.25.,用D表示事件“选取的两个质量盘的总质量超过10 kg”.总质量超过10 kg,即选取的总质量为12.5 kg,15 kg, 20 kg,22.5 kg,25 kg,30 kg,40 kg之一,从表中可以看出,所有可能结果共有12种,所以事件D的概率P(D)= =0.75
12、.,【评析】单独看本题不简单,但通过形象、直观地表格将16种结果列举出来后问题就简单了,列举时常用的还有坐标轴等,另外不借助图表直接列举时,必须按某一顺序做到不重复、不遗漏.,pxKLF,从标有1,2,3,7的7个小球中取出一球,记下它上面的数字,放回后再取出一球,记下它上面的数字,然后把两数相加得和.求取出的两球上的数字之和大于11或者能被4整除的概率.,解:所求事件可记作两事件的并, 但两事件不互斥,不能用互斥事件的 加法公式求解,但用表格可一一列出 基本事件个数.由图知,基本事件总数 为77=49个.而满足条件的基本个数 为16.故所求事件的概率为 .,一个随机试验如果有下面两个特征:(
13、1)有限性在一次试验中,可能出现的结果只有有限个,即只有有限个不同的基本事件;(2)等可能性每个基本事件发生的可能性是均等的,则称这样的试验为古典概型.一个试验是否为古典概型,在于这个试验是否具有古典概型的两个特征有限性和等可能性;并不是所有的试验都是古典概型.,1.如何理解古典概型?,j,2.如何求解古典概型问题?,(1)解决古典概型问题的关键是分清基本事件个数n与事件A中所包含的基本事件数m,因此需要注意以下三个方面:第一,本试验是否为等可能性的;第二,本试验的基本事件有多少个;第三,事件A是什么,只有清楚了这三方面的问题, 解题才不至于出错.(2)求古典概型应按下面四个步骤进行:,第一步
14、，仔细阅读题目,弄清题目的背景材料,加深理解题意;第二步，判断本试验的结果是否为等可能事件,设出所求事件A;第三步，分别求出在一次试验中基本事件的总数n和事件A中所包含的基本事件数m;第四步，利用公式P(A)= 求出事件A的概率.,3.如何理解有放回抽样与无放回抽样?,在古典概型的概率计算中,将涉及两种不同的抽取方法,下面以例子来说明.设袋内装有n个不同的球,现从中依次摸球,每次摸一只,则有两种摸球的方法:(1)有放回的抽样每次摸出一只后,仍放回袋中,然后再摸一只,这种摸球的方法称为有放回的抽样.显然,对于有放回的抽样,依次摸出的球可以重复,且摸球可无限地进行下去.(2)无放回的抽样每次摸出一
15、只后,不放回原袋中,在剩下的球中再摸一只,这种摸球方法称为无放回的抽样.显然,对于无放回的抽样,每次摸出的球不会重复出现,且摸球只能进行有限次.,1.学习古典概型的意义古典概型在概率理论中占有重要地位,是初学概率知识的必不可少的内容,其主要意义在于:(1)有利于理解概率的有关概念.当研究这种概率模型时,频率的稳定性容易得到验证.频率的稳定值与理论上算出的概率值的一致性容易得到验证.从而概率值的存在将易于被接受.(2)有利于计算事件的概率.在古典概型范围内研究问题,避免了进行大量的重复试验,而且在计算概率时大量运用了前面所学的知识,并能对这些知识加以巩固、强化和提高. (3)这种概型的实际应用较多(例如对产品的检验等),因而学习这种概型有助于运用所学知识解决某些实际问题.,2.用集合的观点去审视概率在一次试验中,等可能出现的n(例如n=5)个结果可组成一个集合I,这n个结果就是集合I的n个元素.各个基本事件都对应于集合I的含有1个元素的子集,包含m(例如m=3)个结果的事件A对应于I的含有m个元素的子集A.从集合的角度看,事件A的概率是I的子集A的元素个数card(A)与集合I的元素个数card(I)的比值,即P(A)=.,
