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1、数学建模竞赛讲座,1.如何备战数学建模竞赛 2.竞赛论文剖析,主讲：重庆大学 龚劬,2007.4,数学建模竞赛概况,1 美国大学生数学建模竞赛（MCM）,由美国运筹与管理科学、美国工业与应用数学学会、美国数学学会等多家组织共同举办的一项国际性竞赛 始于1985年 学生三人一组在四天之内合作完成一个实际问题,提交一篇完整的竞赛论文（英文） 参赛者来自美国、中国、加拿大、德国、英国以及印尼等国家或地区 我国于1989年起组织大学生参加MCM 我校从1994年开始组织学生参加MCM,2 部分MCM题目, 飓风来临时的疏散问题（2001B） 核磁共振切片成像(1998A) 信息技术安全问题（2004C
2、) 无线信道分配（2000B） 空中交通控制(2000A) 特技表演(2003A) 机场安全检查(2003C) 风与喷泉(2002A) 灌木蜥蜴问题(2002C) 伽玛刀治疗计划(2003B),数学建模竞赛概况,3 全国大学生数学建模竞赛（CUMCM）,1990年上海市开始组织数学类专业的数学建模竞赛，1991年扩大到其他各专业； 1992年开始组织全国联赛，1994年正式由教育部、中国工业与应用数学学会（CSIAM）共同主办并组织全国的评阅 学生三人一组在三天之内合作完成一个实际问题 参赛者包括全国各重点大学，一般院校和专科学校 我校从1992年开始组织学生参加CUMCM,4 部分CUMCM
3、题目, 长江水质的评价和预测问题(2005A) 彩票中的数学问题 (2002B) 奥运会临时超市网点设计问题(2004A) 电力市场的输电阻塞管理问题（2004B) 出版社的资源配置 （2006A) 艾滋病疗法的评价及疗效的预测(2006B) 钻井布局优化问题（1999B) DNA序列分类问题(2000A) 血管的三维重建问题(2001A) 投资的收益和风险问题（1998A) SARS的传播问题(2003A),5 CUMCM命题思路(摘自谢金星教授讲稿）,实际背景/时代特征（实用性/时代性/趣味性）：,综合性：开拓知识结构，不是单一数学问题,开放性：较大的灵活性，供参赛者发挥其创造能力,少涉及
4、专业知识；适中的数学知识；学生能得到训练,可区分性,一定的亲和力/社会热点问题；激发学生思考问题,基础性(可接受性),5 CUMCM命题思路(摘自谢金星教授讲稿）,中美赛题的比较：开放程度差别还较大两个竞赛的区别：CUMCM的开放程度要适中 （或一题开放些，一题封闭些）,A题 连续模型，B题 离散模型；但不局限于此,2004年5月：CUMCM命题研讨会（上海）设立命题研究课题，开拓题源,好的赛题是提高竞赛水平的关键之一,竞赛论文剖析,论文一般应包括,（1）摘要；（2）问题重述；（3）模型的基本假设； （4） 符号说明（5）问题的分析；（）模型的建立（7）模型的求解；（）结果及其分析（9）模型的
5、检验与推广；（10）模型评价（11）参考文献; (12) 附录 如:2004B.doc,例:长江水质的评价和预测(2005A),摘要 1.问题重述 2.模型的基本假设 3.符号说明 4.长江水质的综合评价4.1 问题的分析4.2 理论分析与算法步骤1) 数据的归一化和综合2) 单个观测点水质评估向量和长江全流域水质的综合评价4.3 水质等级标准的确定4.4 长江水质的综合评价,竞赛论文剖析,5.长江污染源的判定5.1 差分方程反演模型的建立与求界5.2 微分方程反演模型对污染源的判定5.3 含支流的微分方程反演模型 6.回归模型对水质的预测分析6.1 回归模型对问题的求解6.2.模型的改进和预
6、测结果 7.基于回归模型的预测控制7.1 理论分析7.2 回归模型对污水处理量的预测7.3 二元线性回归模型的建立与求解 8 模型的检验与推广 9 模型的评价 10 参考文献 11 附录,竞赛论文剖析,1 摘要,应包括：（1）用1、2句话说明原题中要求解决的问题；（2）建立了什么模型（在数学上属于什么类型），建模的思想（思路），模型特点；（3）算法思想（求解思路），特色；（4） 主要结果（数值结果，结论）；（5） 模型优点，模型检验，灵敏度分析，有无改进、推广。,竞赛论文剖析,1 摘要,特色和创新之处必须在这里强调（稍夸张地）。 长度：理想长度很难说，必须包括上述要点，但简洁也非常重要。一般掌
7、握在半页至2/3页左右。 是文章最重要的部分。要保证准确、简明、条理清晰，突出特色和创新点。 注：全国评阅时将首先根据摘要和论文整体结构及概貌对论文优劣进行初步筛选。,例如：长江水质的评价和预测 (2005A)长江流域水质状况逐年恶化，严重影响了其在我国社会经济建设中发挥应有的作用,用传统的环境质量指数模式法难以真实的反映水质污染的确切状况。本文引进模糊数学的相关内容并利用各评价因子之间的隶属度建立模糊关系矩阵，从而构造多指标模糊综合指数，这些均可运用Matlab等数学软件包编程得出，定量评价出各观测点的水质污染状况，再运用统计学知识对整个长江水质作出综合评定。此外，考虑到水流量是关于地点和时
8、间连续变化的二元函数,我们同时应用建立微分方程和离散化的方法求出污染物在各地的时间和空间分布,确定了污染源，两种方法异曲同工，相得益彰。在研究前十年长江水质污染的基础上，我们应用曲线拟合的方法，得到相关函数及其图象,可以很直观而较为精确的预测十年之后江水污染状况，提出了控制污染物排放的方案.,模型和方法清楚,简明且准确,同时突出了特色和创新.不足之处是缺主要结果和结论,例如：长江水质的评价和预测 (2005A)本文旨在研究长江过去10年的水质变化情况,以此来预测未来10年长江的水质情况,并对长江的治理提供一些具有可行性的建议和意见。在问题一中，我们从模糊数学的角度出发提出综合污染指数的概念，并
9、运用该指数分析个地区的水质污染情况，得出结论：年较年恶化，年有所好转；在问题二中，我们将个长江干流观测点的水质报告表和基本数据表相结合，用每秒流过观测点的水中所含污染物的量减去上一个观测点的水中所含污染物经过自净后残余的量，即为两个观测点之间污染物增加的量，得出：高锰酸盐和氨氮 的最主要污染源在湖南岳阳 城及其上游地区；在问题三中，我们建立了针对各类水所占评价河长百分比的一次累加拟合模型和时间序列模型，得出结论：年之后，、类水都已不存在，类水仅存.；在问题四中，我们采用多元线性回归，得出长江流量，废水排放总量，类，类，类水占水文年全流域长度百分比之间的线性关系，以问题三中预测数据为基础，以未来
10、年总共要处理的污水为目标，建立线性规划模型并求解。,例如：彩票中的数学问题 (2002B)本问题要求我们建立一种优选的评价准则去评估各种彩票方案的合理性，还要求设计出更好的方案，对管理部门给出合理化建议。对问题一，我们首先分别对“传统型”、“乐透单项型”、“乐透复合型”给出了不同的概率计算方法，计算出了各类彩票方案中各种奖项的中奖率并统计中奖概率总和；其次，通过综合分析建立了评价彩票发行方案合理性的目标函数合理度,它是度量各种因素对彩民吸引力程度的函数。本文通过层次分析法得到模型中涉及到的各因素的权重值，利用题目所给的数据通过向量的标准化得到各种因素的标准值，利用Matlab软件编程对大量的数
11、据进行了处理。得出序号为4的方案为“传统型”的最优方案，序号为7的方案为“乐透型”的最优方案。对问题二，应用问题一中计算出的权重值，建立了合理的彩票发行方案的优化模型，通过Matlab软件编程计算得到：在不同彩票发行类型不同中奖概率和 前提下的彩票发行最优方案，如表所示：由表可知，适当提高的浮动区间，彩票的发行方案更合理，“更好”。,又如：奥运会临时超市网点设计问题(2004A) 我们对2008年即将在北京举行的第29届奥运会比赛主场馆周边地区的临时迷你超市网点进行了设计与优化。将该问题归结为一个带有约束条件的优化问题。首先就问题一，根据奥运会预演数据，分别找出并逐步细化全体观众在出行、用餐及
12、购物方面的基本特点，及其随不同性别和年龄的变化所反映的规律。对问题二，把人流量看成由入场时的人流量和出场时的人流量两部分组成，入场时的人流是由交通工具停靠点到达各看台经过的路径产生，出场时的人流是由看台到达各用餐地点所经过的路径产生。求解时采用Floyd算法找出由任意交通工具停靠点和到达看台及看台到任意就餐地点的最短路径，求解出每条路径上20个商区的人流分量，然后对每个商区的人流分量进行求和，得到每个商区总的人流量，并计算出人流量分布的百分比。对问题三即迷你超市的设计方案，先建立购物欲望的数学模型，同时为了兼顾人流量和购物欲望两方面，我们提出消费人流量的概念。然后把最大商业赢利作为目标函数，以
13、消费人流量作为约束条件，建立整数线性规划模型，用Lindo软件可很快求解出各商区不同大小比例的MS 个数，即合理的临时迷你超市网点设计方案。最后就问题四，我们从建立的购物欲望模型的正确性、购物欲望模型中的衰减因子、大小MS容量的比例以及2004年雅典奥运会的具体情况出发，讨论其科学性。还根据雅典奥运会的一些基本信息对北京奥运会的迷你超市的设计提出一些建设性的参考意见。模型主要使用了 Lindo和Matlab 两个数学软件来求解。,又如：电力市场的输电阻塞管理问题（2004B)本文研究了电力市场输电阻塞的管理问题。为了能在发生输电阻塞时制定出既安全又经济的调度计划，本文定义了安全度函数和堵塞费用
14、函数（两者都是关于机组出力的函数），并设计了合理简明的堵塞费用计算方法。本文还从安全和经济角度出发，构造了综合安全度和堵塞费用的目标函数，从而把一个多目标规划问题转化为了以机组出力为决策变量的单目标非线性规划问题，并分别利用MATLAB优化工具箱函数和模拟退火算法对问题进行了求解。对于问题，本文利用SPSS软件采用多元回归分析的逐步回归方法，算出各机组出力与相应线路有功潮流的线性关系表达式及其系数矩阵，并通过方差分析，回归系数分析对模型进行了检验。对于问题2，本文设计的堵塞费用，除考虑电力市场规则外，对序内、序外容量出力部分均较公平地进行了部分补偿。对于问题3，本文建立了相应的优化模型，计算出
15、各机组的出力分配方案和相应的清算价格，当负荷需求为982.4MW时清算价格为305元/MWh，负荷需求为1052.8MW时清算价格为356元/MWh，初始分配预案见问题4、5的第一种方案。问题4,5是本文研究的核心，即讨论当出现输电堵塞时的各种处理对策，在解决问题4时，本文的一大特色是引入了常数，该值表示在出力分配预案未进行调整时由安全隐患带来的经济损失，它刻画了网方对线路安全的重视程度，通过调节值的大小可以找到安全度不同的调节方案（见下表）。最终能使调整后的出力方案不再发生堵塞，较好的解决了问题4；对于问题5，无论怎样调整方案均不能使堵塞完全消失，根据输电堵塞原则(2)进行调整（方案见下表）
16、，最终使每条线路上潮流的绝对值超过限值的百分比达到尽可能的小。根据本文的模型，第4、5问均未出现需要拉闸限电的情况。,电力市场的输电阻塞管理问题（续)最后对问题5进行了延伸，讨论了当不得不拉闸限电时如何调节出力分配，使模型有更广的使用范围。,问题4的调节方案,问题5的调节方案,竞赛论文剖析,2 问题重述,不是题目的完整拷贝 根据自己的理解，用自己的语言清楚简明地阐述背景、条件和要求。 例：长江水质评价和预测 (2005A)长江水质污染程度日趋严重，拯救“癌变”长江已迫在眉睫。通过记录长江沿线17个观测站（地区）近两年多主要水质指标的检测数据，以及干流上7个观测站近一年多的基本数据（站点距离，水流量和水流速）。同时考虑江河的自净能力，设定主要污染物的降解系数介于0.10.5之间，建立数学模型，对长江近两年多的水质情况做出定量的综合评价，并分析各地区污染状况，找出干流近一年多主要污染源。并预测未来10年长江水质的变化。在此基础上，对解决长江水质污染问题提出可行性建议和意见。,
