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1、专题学习,-几何证明中常见的“添辅助线”方法,知识回顾：,一般三角形 全等的条件：,定义（重合）法；,1.SSS；,2.SAS；,3.ASA；,4.AAS.,5,直角三角形 全等特有条件：,HL.,包括直角三角形,不包括其它形状的三角形,方法指引,证明两个三角形全等的基本思路：,（1）：已知两边-,找第三边,(SSS),找夹角,（SAS),(2):已知一边一角-,已知一边和它的邻角,找是否有直角,(HL),已知一边和它的对角,找这边的另一个邻角(ASA),找这个角的另一个边(SAS),找这边的对角 (AAS),找一角(AAS),已知角是直角，找一边(HL),(3):已知两角-,找两角的夹边(A
2、SA),找夹边外的任意边(AAS),1.连结,目的:构造全等三角形或等腰三角形,适用情况:图中已经存在两个点X和Y,语言描述:连结XY,注意点:双添-在图形上添虚线在证明过程中描述添法,1.如图,AB=AD,BC=DC,求证:B=D.,连接AC,构造全等三角形,连线 构造全等,连线 构造全等,2.如图,AB与CD交于O,且AB=CD, AD=BC，OB=5cm,求OD的长.,连接BD,构造全等三角形,A,C,B,D,O,拓展题,3.如图,已知A=D,AB=DE,AF=CD,BC=EF. 求证:BCEF,目的:构造直角三角形,得到斜边相等,适用情况:图中已经存在一条线段MN和垂直平分线上一个点X
3、,语言描述:连结XM和XN,注意点:双添-在图形上添虚线在证明过程中描述添法,2.中线延长一倍,1.已知，如图AD是ABC的中线，,延长AD到点E，使DE=AD， 连结CE.,思考：若AB=3,AC=5 求AD的取值范围？,倍长中线,证明：延长AD至E，使DE=AD，连接BE，CEAD为ABC的中线 （已知）BD=CD （中线定义）在ACD和EBD中BD=CD （已证）1=2 （对顶角相等）AD=ED （辅助线作法）ACDEBD （SAS）BE=CA（全等三角形对应边相等）在ABE中有：AB+BEAE（三角形两边之 和大于第三边）AB+AC2AD。 （ （常延长中线加倍，构造全等三角形）,2.
4、练习；如图1，AD是ABC的中线，AB=3,AC=5，求中线AD的取值范围。,例、如图，AD为ABC的中线， ADB、ADC的平分线交AB、AC于E、F。 求证：BE+CFEF分析：本题中已知D为BC的中点，要证BE、CF、EF间的不等关系，可利用点D将BE旋转，使这三条线段在同一个三角形内。,3、截长补短法,1.已知在ABC中 , C=2B, 1=2 求证:AB=AC+CD,A,D,B,C,1,2,在AB上取点E使得AE=AC,连接DE,截长,F,在AC的延长线上取点F使得CF=CD,连接DF,补短,2.如图所示，已知ADBC， 1=2，3=4， 直线DC经过点E交AD于点D， 交BC于点C
5、。 求证：AD+BC=AB,E,F,在AB上取点F使得AF=AD,连接EF,截长补短,目的:构造直角三角形,得到距离相等,适用情况:图中已经存在一个点X和一条线MN,语言描述:过点X作XYMN,注意点:双添-在图形上添虚线在证明过程中描述添法,4.角平分线上点向两边作垂线段,1.如图,ABC中, C =90o,BC=10, BD=6,AD平分BAC,求点D到AB的距离.,过点D作DEAB于点E,E,角平分线上的点向角两边做垂线段,角平分线上点向两边作垂线段,典例:如图,梯形中, A= D =90o,BE、CE均是角平分线,求证:BC=AB+CD.,A,C,D,过点E作EFBC,构造了: 全等的直角三角形且距离相等,B,F,思考:你从本题中还能得到哪些结论?,E,线段与角求相等，先找全等试试看。 图中有角平分线，可向两边作垂线。 线段垂直平分线，常向两端把线连。 线段计算和与差，巧用截长补短法。 三角形里有中线，延长中线=中线。 想作图形辅助线，切莫忘记要双添。,小结,
