理论力学点合成运动

《理论力学点合成运动》由会员分享，可在线阅读，更多相关《理论力学点合成运动（60页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、,第八章 点的合成运动,动坐标系：固结于相对于地面运动物体上的坐标系。简称动系（Oxyz） 。,前两章中我们研究点和刚体的运动，都是以地面为参考体。然而在实际问题中，还常常要在相对于地面运动着的参考系上观察和研究物体的运动。如从行驶的汽车上观看飞机的运动，坐在行驶的火车内看下雨的雨点等。,运动学,本章研究同一物体相对于不同参考系的运动及其相互关系。,8-1 相对运动牵连运动绝对运动,一. 坐标系：,静坐标系：固结于地面上的坐标系。简称静系（Oxyz）。,运动学,例如，下雨时，地面上的观察者看雨滴是铅垂向下的，但对正在行进的车上的观察者来说，雨滴则是倾斜向后的。,同一物体的运动对于不同的参考体来

2、说是不同的。,又如，沿直线轨道滚动的车轮，站在地面上的人看轮缘上点M的运动轨迹是一旋轮线，而在行驶着的车中的人看M点，其轨迹则是一个圆。,1. 绝对运动：动点相对于静系的运动。 2. 相对运动：动点相对于动系的运动。 3. 牵连运动：动系相对于静系的运动。,绝对运动中动点的速度与加速度称绝对速度 与绝对加速度 相对运动中动点的速度和加速度称相对速度 与相对加速度 牵连运动中牵连点的速度和加速度称牵连速度 与牵连加速度,运动学,二. 动点：,三. 三种运动及三种速度与三种加速度,在任意瞬时，动坐标系中与动点相重合的点叫牵连点。,所要研究的运动着的点。,运动学,选择对动系、静系都为运动的点，例如主

3、动件与从动件的连接点。,动点对动系有相对运动，且相对运动的轨迹是已知的，或者是能直接看出的。,四. 动点的选择原则：,五. 动系的选择原则：,下面举例说明以上概念：,运动学,绝对运动：直线运动,相对运动：圆弧运动,牵连运动：直线平动,牵连速度 ：,绝对速度 ：,运动学,相对速度 ：,绝对加速度：,运动学,相对加速度：,牵连加速度：,运动学,动点：摆杆上 A1点 动系：圆盘 静系：机架,动点：圆盘上 A点 动系：OA 摆杆 静系：机架,绝对运动：圆周运动 相对运动：直线运动 牵连运动：定轴转动,绝对运动：圆弧运动 相对运动：曲线运动 牵连运动：定轴转动,注意：要指明动点在哪个物体上，且动点不能选

4、在动系上。,运动学,动点：A(在AB杆上) 动系：偏心轮 静系：地面,绝对运动：直线运动 相对运动：圆周运动 牵连运动：定轴转动,若动点A在偏心轮上时,A（在偏心轮上） AB杆 地面,圆周运动（红虚线） 曲线运动（未知） 平动,当t t+t 时ABA B ， MM 也可看成M M M,8-2 点的速度合成定理,点的速度合成定理将建立动点的绝对速度、相对速度和牵连速度之间的关系。,运动学,设有一动点M按一定规律沿着固连于动系Oxyz 的曲线AB运动, 而曲线AB同时又随同动系Oxyz 相对静系Oxyz运动。, 点的速度合成定理是瞬时矢量式，共包括大小、方向 六个元素，已知任意四个元素，就能求出其

5、它两个。,即在任一瞬时动点的绝对速度等于其牵连速度与相对速度的矢量和，这就是点的速度合成定理。,运动学,将上式两边同除以t，取t 0时的极限，得,说明：, 点的速度合成定理适用于牵连运动（动系的运动）为任何运动的情况。,应用举例,运动学,例1 桥式吊车。已知：小车水平运行，速度为v平，物块A相对小车垂直上升的速度为v。求物块A的运行速度。,运动学,动点：物块A动系：小车静系：地面,相对运动：直线；相对速度 vr =v 方向 牵连运动：平动； 牵连速度 ve=v平 方向 绝对运动：曲线；绝对速度 va 的大小、方向待求。,解：,选取,运动学,作出速度平行四边形如图示，则物块A的速度大小和方向为,

6、由速度合成定理：,相对速度vr = ? 方向/O1B,运动学,例2 曲柄摆杆机构。已知：OA= r 、 、 OO1=l，图示瞬时，OAOO1 。求：摆杆O1B的角速度1。,解：取OA杆上A点为动点，摆杆O1B为动系，基座为静系。,绝对速度va = r ，方向 OA,牵连速度ve = ? 方向O1B,由速度合成定理 作出速度平行四边形 如图所示。,（翻页请看动画）,运动学,例3 圆盘凸轮机构 已知：OCe , , （匀角速度） 图示瞬时, OCCA 且 O、A、B三点共线。 求：从动杆AB的速度。,解：动点取直杆上A点，动系固结于圆盘，静系固结于基座。,绝对速度 va = ? 待求，方向/AB,

7、相对速度 vr = ? 未知，方向CA,牵连速度 ve = OA =2e, 方向 OA,由速度合成定理 作出速度平行四边形 如图所示。,运动学,运动学,动点、动系和静系须分别属于三个不同的物体，否则绝对、相对运动中就缺少一种运动，不能成为合成运动。 动点相对动系的运动（即相对运动）轨迹易于直观判断（除已知绝对运动和牵连运动求解相对运动的问题外）。,由上述例题知求解合成运动的速度问题的一般步骤为：,动点、动系和静系的选择原则：,恰当地选择动点、动系和静系是求解合成运动问题的关键。,选取动点、动系和静系。,对三种运动及其速度进行分析。,根据速度平行四边形，求出未知量。,根据速度合成定理 作出速度平

8、行四边形。,运动学,例4 已知： 凸轮半径 r , 图示时速度 v ，q = 300 ；杆OA靠在凸轮上。 求：杆OA的角速度。,分析：相接触的两个物体的接触点位置在各自物体上都随时间而变化，因此若选两物体的接触点为动点，则相对运动的分析会较困难。根据上述动点、动系和静系的选择原则，在此情况下，可选择满足上述两条原则的非接触点为动点。,解：取凸轮上C点为动点, 动系固结于OA杆上, 静系固结于基座。,绝对运动： 直线运动， 绝对速度： va =v ，方向 相对运动： 直线运动， 相对速度： vr 未知，方向 OA 牵连运动: 定轴转动, 牵连速度：,运动学,根据速度合成定理 作出速度平行四边形

9、如图所示。,8-3 牵连运动为平动时点的加速度合成定理,两边对 t 求导：,运动学,设有一动点M按一定规律沿着固连于动系Oxyz 的曲线AB运动, 而曲线AB同时又随同动系Oxyz 相对静系Oxyz平动。,由速度合成定理,注意到牵连运动为平动，故,其中， 为动系坐标轴的单位矢量，由于动系为平动，故其方向不变是常矢量，所以 。,运动学,即牵连运动为平动时，动点的绝对加速度等于牵连加速度与相对加速度的矢量和。 牵连运动为平动时点的加速度合成定理,又可写为：,运动学,例5 图示曲柄滑道机构中，曲柄长OA0.1m，绕O轴转动。当 时，其角速度 w 1 rad/s，角加速度 a 1 rad/s2，求导杆

10、AB的加速度和滑块A在滑道中的相对加速度。,取OA上的A点为动点，导杆AB为动系，定系固连在地面上。,2）分析三种运动和三种加速度。, 绝对运动：即动点A的圆周运动，绝对加速度可分解为切向加速度和法向加速度 ，大小为,解： 1）选取动点和动系。,运动学,方向如图 b）所示。, 相对运动 即沿滑道的往复直线运动，故相对加速度 的方向为水平，大小为未知。, 牵连运动 即导杆的直线平动，动点A的牵连加速度 为铅垂方向，大小为待求。,作加速度合成图，如图b）。,3）根据牵连运动为平动时的加速度合成定理,运动学,求出的 为正值，说明图示方向即为实际方向，而 即为导杆AB在此瞬时的平动加速度。,代入,将其

11、分别投影到x 和h 轴上,得,最后得:,注意：不要将加速度合成定理的投影式写成“投影的代数和为零”的平衡式。,解：取顶杆AB上的A点为动点，动系与凸轮固连。,运动学,例6 已知：凸轮半径 求：j =60o时, 顶杆AB的加速度。,请看动画,运动学,由速度合成定理,做出速度平行四边形,如图示。,相对速度vr = ? , 方向CA； 相对加速度art = ? 方向CA, 方向沿CA指向C,绝对速度va = ? , 方向 AB ；绝对加速度aa= ?, 方向 AB，待求。,牵连速度ve=v0 , 方向 ； 牵连加速度 ae=a0 , 方向,运动学,因牵连运动为平动， 故有,作加速度矢量图如图示，将上

12、式投影到法线 n 上，得,整理得,8-4 牵连运动为转动时点的加速度合成定理,上一节我们证明了牵连运动为平动时点的加速度合成定理，那么当牵连运动为转动时，上述的加速度合成定理是否还适用呢？下面我们来分析一特例。,运动学,设如图圆盘以匀角速度 绕定轴顺时针转动，盘上圆槽内一点M以大小不变的相对速度 vr 沿槽作圆周运动，那么M点相对于静系的绝对加速度应是多少呢？,相对运动为匀速圆周运动，,（方向如图）,由速度合成定理可得出,运动学,选点M为动点，动系固结与圆盘上， 则M点的牵连运动为匀速转动。,（方向如图）,即绝对运动也为匀速圆周运动，所以,方向指向圆心点。,运动学,可见，当牵连运动为转动时，动

13、点的绝对加速度 并不等于牵连加速度 和相对加速度 的矢量和。那么它们之间的关系是什么呢？ 2 vr 又是怎样出现的呢？它是什么呢？下面我们就来讨论这些问题，推证牵连运动为转动时点的加速度合成定理。,分析上式：,还多出一项 2 vr 。,运动学,速度分析,可以看出，经过Dt 时间间隔，牵连速度和相对速度的大小、方向都发生了变化。,设杆OA在图示平面内以匀角速度 绕轴O转动，套筒M（可视为点M）沿直杆作变速运动。取套筒M为动点，动系固结于杆OA上，静系固结于机架。,运动学, 相对速度：由 作速度矢量三角形， 在 矢量上截取 长度后， 分解为 和,其中 在Dt内相对速度大小的改变量，它与牵连转动无关

14、。 在Dt内由于牵连转动而引起的相对速度方向的改变 量，与牵连转动的 的大小有关 。, 牵连速度：由 作速度矢量三角形， 在 矢量上截取 长度后，将 分解为 和 ，,Dt 时间间隔内的速度变化分析,运动学,其中: 表示Dt内由于牵连转动而引起的牵连速度方向的改变量，与相对运动无关。 表示Dt内由于相对运动而引起的牵连速度大小的改变量，与相对速度 有关。,加速度分析,上式中各项的物理意义如下：,运动学,第一项正是 t 瞬时动点的牵连加速度 。,第三项恰是瞬时动点的相对加速度 。,第二项大小：,该项为由于相对运动的存在而引起牵连速度的大小改变的加速度。,第四项大小：,这一项表明由于牵连转动而引起相对速度方向改变的加速度。,运动学,最后，有加速度合成定理,即牵连运动为转动时，动点的绝对加速度等于牵连加速度、相对加速度和科氏加速度三者的矢量和。,或写成,一般情况下，科氏加速度可以表示为,由于第二项和第四项表示的加速度的大小、方向都相同，可以合并为一项，用 表示，称为科氏加速度。,方向：按右手螺旋法则确定。,（常见）,运动学,例7 矩形板ABCD以匀角速度 绕固定轴 z 转动，点M1和点M2分别沿板的对角线BD和边线CD运动，在图示位置时相对于板的速度分别为 和 ，试计算点M1 、 M2的科氏加速度大小, 并标明方向。,