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1、Probability & Mathematical Statistics,第一章 随机事件及其概率,1.3 条件概率与全概率公式(1),1.3 条件概率与事件的独立性,实例:考察有两个孩子的家庭,假定男女出生率一样,则两个孩子(从大到小排列)的性别为,(男,男),(男,女),(女,男),(女,女),且可能性是一样的,A=“该家庭有一男一女”,B=“该家庭至少有一个女孩”,(男,女),(女,男),(男,女),(女,男),(女,女),P(A)=1/2,若已知该家庭至少有一个女孩,即B已发生,此时A发生的概率?,P(B)=3/4,P(A|B)=2/3,=2/3,这类概率问题称之为条件概率,满足条件
2、即B发生的样本空间:,(男,女),(女,男),(女,女),已知B发生的条件下A发生的有利场合:,(男,女),(女,男),已知B发生的条件下A发生的概率(记为P(A|B)为,巧合吗？,一、条件概率,定义1. 对任意两个事件A,B,若P(B) 0,则称,为已知事件B发生的条件下事件A发生的条件概率,同样，若P(A)0,则有,因而，可以得到,P(AB)=P(A|B)P(B)=P(B|A)P(A),这个公式被称为乘法公式或乘法定理,例题：课本P39 例2 说明：条件概率的三种解法：1、试验法:根据条件概率的直观意义求概率2、缩减样本空间法：在缩减后的样本空间中求事件的概率3、公式法：条件概率公式,例1
3、.甲乙两个城市都位于长江下游，根据100多年来的气象记录，知道一年中的雨天的比例甲市占20%,乙市占18%,两地同时下雨占12%.若以事件A记甲市出现雨天，事件B记乙市出现雨天.,求已知某市下雨，另一城市下雨的概率和至少一个城市下雨的概率.,解:,根据已知条件,有,P(A)=0.2,P(B)=0.18,P(AB)=0.12,已知甲市下雨时乙市下雨的概率,P(B|A)=P(AB)/P(A),=0.12/0.2=0.6,至少有一个城市下雨的概率,=0.2+0.18-0.12=0.26,从以上的结果来看，在下雨这个方面，两个城市是有联系的,P(A B)=P(A)+P(B)-P(AB),已知乙市下雨时
4、甲市下雨的概率,P(A|B)=P(AB)/P(B),=0.12/0.18=0.67,P(AB)=P(A|B)P(B)=P(B|A)P(A),乘法公式,也可推广到有限多个事件的情形：,定理1.,广义乘法公式,二、条件概率的性质,首先，不难验证条件概率P(A|B)具有概率的三个基本性质，即三条公理：,同样,类似于概率，对条件概率也可以由三条公理推导出其余的一些性质:,课本：P40 例题4 注意：问题（2）第一次检测到正品后，第二次 检测是正品的概率。区别于问题：第二次检测到正品的概率？,例2.一袋中有同样大小的硬币10枚,其中7个面值为1角,3个面值为5角.采用不放回取样（即每次取一枚,取后不放回
5、),求:,(1) 第三次才取到面值为5角的硬币的概率;,(2) 前三次中至少有一次取到面值为5角的硬币的概率.,硬币10枚,其中7枚面值为1角,3枚面值为5角,取3次,前三次中至少有一次取到面值为5角的硬币为,解:,第三次才取到5角的硬币为,(1) 根据乘法公式,(2) 根据对偶律,例3.(鲍耶(Plya)模型)一罐中装有a只白球和b只黑球,每次从中任取一球,记下颜色后放回并加入c只与之同颜色的球,如此进行n次，求前m次都取到黑球、后n-m次都取到白球的概率.,解:,所求事件为,根据广义乘法公式,注: c=0即为有放回取球模型;c=-1即为不放回取求模型,从一副扑克中(52张)依次随机抽取3张
6、,已知其中有一张A，求其中恰有2张A的概率,思考:,三、事件的独立性,从条件概率可知，在一般情况下,但在一定条件下，它们也可以相等，即,P(B|A)=P(B),事件A是否发生不影响事件B发生的概率。,定义3.对任意两个事件A,B,如果,P(AB)=P(A)P(B),则称事件A与事件B相互独立.,事实上,如果P(B|A)=P(B),则A,B相互独立,两个事件相互独立的定义,定理1.如果事件A与事件B相互独立,则下列三对事件,也分别相互独立,证明:,实际问题中,往往从事件的实际关系去分析独立性.,四对有一对相互独立，则其余三对也相互独立,例8.甲乙两人同时独立向同一目标射击,已知甲乙击中目标的概率
7、分别为0.8和0.7,求目标被击中的概率.,解:,设A为甲击中目标,B为乙击中目标,C为目标被击中,显然，两人是否击中目标的概率不受对方影响,所以,A与B相互独立,所以,P(C),=P(A)+P(B)-P(AB),=P(A)+P(B)-P(A)P(B),根据不同的概率公式，本问题还有许多种解法,例9.,已知P(A)0,P(B)0,(1)如果事件A,B相互独立，那么A,B是否互不相容?,(2)反之，如果A,B互不相容,那么AB是否相互独立?,解:,(1)如果A,B相互独立,则P(AB)=P(A)P(B)0,所以A,B不是互不相容的,即A,B相容.,(2) 反之,如果A,B互不相容,则P(AB)=
8、0,因而 P(B|A)=P(AB)/P(A)=0,但 P(B)0,所以,故,事件A,B不相互独立,在例9中,如果没有条件P(A)0,P(B)0,情况会怎样?,如果P(A)=0，,P(AB)=P(B)P(A|B)=0,P(A)P(B)=0,所以,P(AB)=P(A)P(B)=0,A,B互不相容且相互独立,一般来说,互不相容和相互独立不是一回事,另外,不可能事件 与任意事件相互独立并且互斥,必然事件 与任意事件相互独立但不互斥,定义4.,设A,B,C为随机事件,若,P(AB)=P(A)P(B),P(AC)=P(A)P(C),P(BC)=P(B)P(C),则称事件A,B,C两两相互独立,定义5.,设
9、A,B,C为随机事件,若,P(AB)=P(A)P(B),P(AC)=P(A)P(C),P(BC)=P(B)P(C),则称事件A,B,C相互独立,P(ABC)=P(A)P(B)P(C),注意:,事件的两两相互独立和相互独立的区别,例10.有一个质地均匀的正四面体的骰子,四面颜色分别为红色、黑色、白色、红黑白三色,随机将骰子抛出,试分析朝下一面的结果.,解:,设A 分别表示骰子朝下的一面有红色、 .,、B 白色,、C 和黑色.,则,P(A)=,1/2,P(B)=,1/2,P(C)=,1/2,P(AB)=,1/4,P(AC)=,1/4,P(BC)=,1/4,P(ABC)=,1/4,P(AB)=P(A
10、)P(B),P(AC)=P(A)P(C),P(BC)=P(B)P(C),所以事件A,B,C两两独立,但不相互独立,定义5.,两个、三个事件的相互独立也可推广到n个事件的情形,成立,则称 相互独立,四、独立试验和Bernoulli试验模型,在n次试验中,如果任何一次试验中事件A发生的概率不受其他各次试验结果的影响,则称这n次试验为相互独立试验,简称独立试验.,如果一个试验在给定的条件下独立重复n次,且满足:,(1)每次试验只有两个可能的结果:,(2)每次试验中事件 发生的概率相等,且,则称这样的试验为n重贝努里(Bernoulli)试验,如果某批产品有a件次品和b件正品,我们采用有放回和不放回抽
11、样方式从中抽n件产品，问正好有k件是次品的概率是多少? (以前出现过该题）,解:,只考虑有放回抽样场合,假设在一次抽样中抽到次品为事件,显然,从这批产品中有放回抽取n个产品的试验为n重Bernoulli试验,在一次试验中,例11.,在n次试验中,事件A恰好发生k次的概率为,可记为,总结,在n重Bernoulli试验中,假设A表示“成功”,每次实验成功的概率为p,那么在n次试验中,恰好成功k次的概率为,上述概率模型称为二项分布,例：一醉汉在漆黑的夜晚开门,他共有n把钥匙,其中只有一把是开这门的,他每次随机地取一把钥匙,即在每次试开时每一把钥匙都等可能被使用,求他在,第k次才开门成功的概率.,解:
12、,根据题意,这是重复试验,每次试验的条件相同,每次试验成功的概率为,总结:,在Bernoulli重复试验中,成功的概率为p,则在第k次才取得首次成功的概率为,即前k-1次失败,最后一次成功.,上述概率模型称为几何分布,应用于首次成功的情形.,例：在Bernoulli试验中,成功的概率为p,求第k次试验恰好成功第r次的概率,解:,第k次试验恰好成功第r次,即,前k-1次有r-1次成功,由二项分布,概率为,前k-1 次成功多少次与第k次是否成功相互独立,故第k次试验恰好成功第r次的概率为,称以上概率模型为Pascal分布,练习：,答案：1、1/3,1,1/2,1/4,2/3 2、0.75 3、0.685,0.685 4、1/(n+1),1/n(n+1) 5、 6、,
