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1、教育一对一辅导教案教育一对一辅导教案 学生姓名学生姓名性别性别年级年级高三学科学科数学 授课教师授课教师上课时间上课时间 年年 月月 日日 第（第（ ）次课）次课 共（共（ ）次课）次课 课时：课时： 课时课时 教学课题教学课题 高频考题：导数综合应用高频考题：导数综合应用 考纲考纲 1利用导数研究函数的单调性、极(最)值，并会解决与之有关的方程(不等式)问题； 2会利用导数解决某些简单的实际问题。 知识回顾知识回顾 知 识 梳 理 1生活中的优化问题 通常求利润最大、用料最省、效率最高等问题称为优化问题，一般地，对于实际问题，若函数在 给定的定义域内只有一个极值点，那么该点也是最值点 2利用
2、导数解决生活中的优化问题的一般步骤 3导数在研究方程(不等式)中的应用 研究函数的单调性和极(最)值等离不开方程与不等式；反过来方程的根的个数、不等式的证明、 不等式恒成立求参数等，又可转化为函数的单调性、极值与最值的问题，利用导数进行研究 辨 析 感 悟 1函数最值与不等式(方程)的关系 (1)(教材习题改编)对任意 x0，ax2(3a1)xa0 恒成立的充要条件是 a.() 1 5，) (2)(2011辽宁卷改编)已知函数 f(x)ex2xa 有零点，则 a 的取值范围是(，2ln 22() 2关于实际应用问题 (3)实际问题中函数定义域要由实际问题的意义和函数解析式共同确定() (4)若
3、实际问题中函数定义域是开区间，则不存在最优解() (5)(2014贵阳调研改编)已知某生产厂家的年利润 y(单位：万元)与年产量 x(单位：万件)的函数关 系式为 y x381x234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为 9 万件() 1 3 感悟提升 1两个转化 一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题注意分类讨论与 数形结合思想的应用； 二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理，如(2) 2两点注意 一是注意实际问题中函数定义域，由实际问题的意义和解析式共同确定，如(3) 二是在实际问题中，如果函数在区间内只有一个极值点，那么可直接根据实际意义
4、判定是最大值 还 是最小值，如(4)若在开区间内有极值，则一定有最优解。 典例分析典例分析 考点一 导数在方程(函数零点)中的应用 【例 1】 (2013北京卷)已知函数 f(x)x2xsin xcos x. (1)若曲线 yf(x)在点(a，f(a)处与直线 yb 相切，求 a 与 b 的值； (2)若曲线 yf(x)与直线 yb 有两个不同交点，求 b 的取值范围 审题路线 (1)由导数的几何意义，知 f(a)0 且 f(a)b，解方程得 a，b 的值(2)两曲线的交点 问题，转化为方程 x2xsin x cos xb0.通过判定零点个数来求解 解 由 f(x)x2xsin xcos x，
5、得 f(x)2xsin xx(sin x)sin xx(2cos x) (1)因为曲线 yf(x)在点(a，f(a)处与直线 yb 相切，所以 f(a)a(2cos a)0，bf(a) 解得 a0，bf(0)1. (2)设 g(x)f(x)bx2xsin xcos xb. 令 g(x)f(x)0x(2cos x)0，得 x0. 当 x 变化时，g(x)，g(x)的变化情况如下表： x(，0)0(0，) g(x) 0 g(x)1b 所以函数 g(x)在区间(，0)上单调递减，在区间(0，)上单调递增，且 g(x)的最小值为 g(0) 1b. 当 1b0 时，即 b1 时，g(x)0 至多有一个实
6、根，曲线 yf(x)与 yb 最多有一个交点，不 合题意 当 1b1 时，有 g(0)1b4b2b1b0. yg(x)在(0,2b)内存在零点， 又 yg(x)在 R 上是偶函数，且 g(x)在(0，)上单调递增， yg(x)在(0，)上有唯一零点，在(，0)也有唯一零点 故当 b1 时，yg(x)在 R 上有两个零点， 则曲线 yf(x)与直线 yb 有两个不同交点 综上可知，如果曲线 yf(x)与直线 yb 有两个不同交点，那么 b 的取值范围是(1，) 规律方法 (1)在解答本题(2)问时，可转化为判定 f(x)b 有两个实根时实数 b 应满足的条件，并注 意 g(x)的单调性、奇偶性、
7、最值的灵活应用另外还可作出函数 yf(x)的大致图象，直观判定曲 线交点个数，但应注意严谨性，进行必要的论证 (2)该类问题的求解，一般利用导数研究函数的单调性、极值等性质，并借助函数图象，根据零点 或图象的交点情况，建立含参数的方程(或不等式)组求解，实现形与数的和谐统一. 学生用书第 43 页 【训练 1】 (2012天津卷节选)已知函数 f(x) x3x2axa，xR，其中 a0. 1 3 1a 2 (1)求函数 f(x)的单调区间； (2)若函数 f(x)在区间(2,0)内恰有两个零点，求 a 的取值范围 解 (1)f(x)x2(1a)xa(x1)(xa) 由 f(x)0，得 x1 或
8、 a(a0) 当 x 变化时 f(x)与 f(x)的变化情况如下表： x(，1)1(1，a)a(a，) f(x) 00 f(x)极大值极小值 故函数 f(x)的单调递增区间是(，1)，(a，)；单调递减区间是(1，a) (2)由(1)知 f(x)在区间(2，1)内单调递增；在区间(1,0)内单调递减从而函数 f(x)在区间 (2,0)内恰有两个零点，当且仅当Error!解得 0a . 1 3 所以，a 的取值范围是. (0， 1 3) 考点二 导数在不等式中的应用 【例 2】 (2013新课标全国卷)已知函数 f(x)exln(xm) (1)设 x0 是 f(x)的极值点，求 m，并讨论 f(
9、x)的单调性； (2)当 m2 时，证明 f(x)0. 审题路线 (1)由极值点确定出实数 m 的值，然后利用导数求出函数的单调区间；(2)当 m2 时， 转化为求 f(x)min，证明 f(x)min0. 解 (1)易知 f(x)ex. 1 xm 由 x0 是 f(x)的极值点得 f(0)0，所以 m1. 于是 f(x)exln(x1)，定义域为(1，)， f(x)ex在(1，)上是增函数，且 f(0)0. 1 x1 当 x(1,0)时，f(x)0 时，f(x)0. 故 f(x)在(1,0)上单调递减，在(0，)上单调递增 (2)当 m2，xm 时，ln(xm)ln(x2) 故只需证明当 m
10、2 时，f(x)0. 当 m2 时，f(x)ex在(2，)上单调递增 1 x2 又 f(1) 10. 1 e 1 2 所以 f(x)0 在(2，)上有唯一实根 x0，且10. 1 x02 x012 x02 综上可知，当 m2 时，f(x)0 成立 规律方法 (1)第(2)问证明抓住两点：一是转化为证明当 m2 时，f(x)0；二是依据 f(x0)0，准 确求 f(x)exln(x2)的最小值 (2)对于该类问题，可从不等式的结构特点出发，构造函数，借助导数确定函数的性质，借助单调 性或最值实现转化 【训练 2】 (2014郑州一模)已知函数 f(x)a(x21)ln x. (1)讨论函数 f(
11、x)的单调性； (2)若对任意 a(4，2)及 x1,3，恒有 maf(x)a2成立，求实数 m 的取值范围 解 (1)由已知，得 f(x)2ax (x0) 1 x 2ax21 x 当 a0 时，恒有 f(x)0， 则 f(x)在(0，)上是增函数 当 a0， 1 2a 故 f(x)在上是增函数； (0， 1 2a 若 x ，则 f(x)a2成立，等价于 maa2f(x)max. 因为 a(4，2)，所以2a，即 m0，f(x)在区间(64,640)内为增函数 所以 f(x)在 x64 处取得最小值 此时 n 119. m x 640 64 故需新建 9 个桥墩才能使工程的费用 y 最小 规律
12、方法 求实际问题中的最大值或最小值时，一般是先设自变量、因变量，建立函数关系式，并 确定其定义域，利用求函数的最值的方法求解，注意结果应与实际情况相结合用导数求解实际 问题中的最大(小)值时，如果函数在开区间内只有一个极值点，那么依据实际意义，该极值点也 就是最值点. 学生用书第 44 页 【训练 3】 某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)设该蓄水池的底面半径为 r 米， 高为 h 米，体积为 V 立方米假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为 100 元/平方米， 底面的建造成本为 160 元/平方米，该蓄水池的总建造成本为 12 000 元( 为圆周率) (1)将 V 表示成
13、 r 的函数 V(r)，并求该函数的定义域； (2)讨论函数 V(r)的单调性，并确定 r 和 h 为何值时该蓄水池的体积最大 解 (1)因为蓄水池侧面的总成本为 1002rh200rh 元，底面的总成本为 160r2元，所以蓄水池 的总成本为(200rh160r2)元 又根据题意 200rh160r212 000， 所以 h(3004r2)，从而 V(r)r2h (300r4r3) 1 5r 5 因为 r0，又由 h0 可得 r0，故 V(r)在(0,5)上为增函数； 当 r(5,5)时，V(r)0，g(x)0，从而 f(x)0， 当 x1 时，h(x)1，且 g(x)0， g(x)0，当
14、x(e2,1)时，F(x)0，g(x)1”这一条件，将 g(x)变为：g(x)0， f(x)在 x1 处取得极小值 答案 C 5. 在 R 上可导的函数 f(x)的图象如图所示，则关于 x 的不等式 xf(x)0， 由 xf(x)0，0f(2)f(3)f(3) ( 2，) ( 2，) ( 2) 答案 f(3)0.由 2x24x6 x 2x1x3 x (x)0，得 x3.当 03 时，(x)0.(x)在(0，)上有极小值 (3)16ln 30；当 x(9,11)时，y1 时，判断 f(x)在0,2m上零点的个数，并说明理由 解 (1)依题意，可知 f(x)在 R 上连续， 且 f(x)exm1，
15、 令 f(x)0，得 xm. 故当 x(，m)时，exm1，f(x)0，f(x)单调递增 故当 xm 时，f(m)为极小值也是最小值 令 f(m)1m0，得 m1， 即对任意 xR ，f(x)0 恒成立时，m 的取值范围是(，1 (2)当 m1 时，f(m)1m0，f(0)f(m)1 时，g(m)em20， g(m)在(1，)上单调递增 g(m)g(1)e20，即 f(2m)0. f(m)f(2m)bc Bcba Ccab Dacb 解析 设 g(x)xf(x)，则 g(x)f(x)xf(x)0 时，g(x)为增函数 1g(30.3)g(log3)，即 cab. 答案 C 2已知函数 f(x)Erro
