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1、,二面角,(一) 二面角 1.半平面的定义,一个平面内的一条直线将这个平面分成两部分,其中每一部分都叫半平面.,从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面.,一、二面角的定义,二面角,2、二面角的表示方法,二面角AB ,二面角 l ,二面角CAB D,二面角CAB E,1、定义,二面角,二、二面角的平面角,1、定义,二面角的平面角必须满足:,二面角的平面角的范围: 0,180 ,二面角的大小用它的平面角的大小来度量,以二面角的棱上任意一点为端点, 在两个面内分别作垂直于棱的两条射线, 这两条射线所成的角叫做二面角的平面角,注意:,(
2、与顶点位置无关),APB= A1P1B1,2、作二面角的平面角的常用方法,、点P在棱上,、点P在一个半平面上,、点P在二面角内,A,B,A,B,A,B,O,定义法,三垂线定理法,垂面法,二面角,C,D,解:,在PB上取不同于P 的一点O,,在内过O作OCAB交PM 于C,,在 内作ODAB交PN于D,,连结CD,可得:,设PO = a ,BPM =BPN = 45,又MPN=60,COD=90,因此,二面角的度数为90,一“作” 二“证” 三“计算”,3、讲解例题:,1.定义法:,则ADE就是此二面角的平面角。,二面角的求法,1.定义法:,则BDE就是此二面角的平面角。,已知正三角形ABC,P
3、A面ABC,且PA=AB=a,求二面角A-PC-B的大小。,P,A,B,C,二面角的求法,已知正三角形ABC,PA面ABC,且PA=AB=a,求二面角A-PC-B的大小。,P,A,B,C,2.三垂线定理法:,则BDE就是此二面角的平面角。,二面角的求法,PA面ABC,,面PAC面ABC,,BE面PAC,,已知正三角形ABC,PA面ABC,且PA=AB=a,求二面角A-PC-B的大小。,P,A,B,C,2.三垂线定理法:,则ADO就是此二面角的平面角。,F,二面角的求法,已知正三角形ABC,PA面ABC,且PA=AB=a,求二面角A-PC-B的大小。,3.射影面积法:,则 POC就是PAC在面P
4、BC上的射影。,P,A,B,C,二面角的求法,已知正三角形ABC,PA面ABC,且PA=AB=a,求二面角A-PC-B的大小。,P,A,B,C,3射影面积法:,则PDC就是PBC在面PAC内的射影。,二面角的求法,几点说明:,定义法是选择一个平面内的一点(一般为这个面的一个顶点)向棱作垂线,再由垂足在另一个面内作棱的垂线。此法得出的平面角在任意三角形中,所以不好计算,不是我们首选的方法。,三垂线法是从一个平面内选一点(一般为这个面的一个顶点)向另一个面作垂线,再由垂足向棱作垂线,连结这个点和棱上垂足。此法得出的平面角在直角三角形中,计算简便,所以我们常用此法。,垂面法需在二面角之间找一点向两面
5、作垂线,因为这一点不好选择,所以此法一般不用。,以上三种方法作平面角都需写出作法、证明、指出平面角。,间接法是在不易作出平面角时用。在解答题中要先证明射影面积公式,然后指出平面的垂线,射影关系,再用公式,这种方法虽然避免了找平面角,但计算较繁,所以不常用。,二面角的求法,C,O,解:,O,二面角,如图,正方体 中,其棱长为 ,求二面角 的正切值。,例:,如图,正方体 中,棱长为 ,求面 和面 所成二面角的大小。,变题1:,如图,正方体 中,其棱长为 ,E为 的中点,求平面 与面 所成二面角的正切值。,变题2:,投影,如图,正方体 中,其棱长为 ,E为 的中点,求平面 与面 所成二面角的正切值。
6、,变题2:,如图,正方体 中,其棱长为 ,E为 的中点,求平面 与面 所成二面角的正切值。,变题2:,如图,正方体 中,其棱长为 ,E为 的中点,求平面 与面 所成二面角的正切值。,变题2:,如图,正方体 中,其棱长为 ,E为 的中点,求平面 与面 所成二面角的正切值。,变题2:,如图,正方体 中,其棱长为 ,E为 的中点,求平面 与面 所成二面角的正切值。,变题2:,如图,正方体 中,其棱长为 ,E为 的中点,求平面 与面 所成二面角的正切值。,变题2:,如图,正方体 中,其棱长为 ,E为 的中点,求平面 与面 所成二面角的正切值。,变题2:,如图,正方体 中,其棱长为 ,E为 的中点,求平
7、面 与面 所成二面角的正切值。,变题2:,如图,正方体 中,其棱长为 ,E为 的中点,求平面 与面 所成二面角的正切值。,变题2:,如图,正方体 中,其棱长为 ,E为 的中点,求平面 与面 所成二面角的正切值。,变题2:,如图,正方体 中,其棱长为 ,E为 的中点,求平面 与面 所成二面角的正切值。,变题2:,如图,正方体 中,其棱长为 ,E为 的中点,求平面 与面 所成二面角的正切值。,变题2:,如图,正方体 中,其棱长为 ,E为 的中点,求平面 与面 所成二面角的正切值。,变题2:,如图,正方体 中,其棱长为 ,E为 的中点,求平面 与面 所成二面角的正切值。,变题2:,如图,正方体 中,
8、其棱长为 ,E为 的中点,求平面 与面 所成二面角的正切值。,变题2:,如图,正方体 中,其棱长为 ,E为 的中点,求平面 与面 所成二面角的正切值。,变题2:,如图,正方体 中,其棱长为 ,E为 的中点,求平面 与面 所成二面角的正切值。,变题2:,如图,正方体 中,其棱长为 ,E为 的中点,求平面 与面 所成二面角的正切值。,变题2:,投影,如图,正方体 中,其棱长为 ,E为 的中点,求平面 与面 所成二面角的正切值。,变题2:,三垂线,P,C,练习1:,如图,在平面角为 的二面角 内有一点P,P到 的距离分别为PC=2cm PD=3cm则垂足的连线CD= ,P到棱 的距离为,F,D,三、
9、课堂练习:,1、已知正方形ABCD中,E为AB中点,沿DE、EC把正方形折成四面体,此时A、B重合为点P,求面PCD与面ECD所成的二面角的大小。,二面角的求法,1、如图,AB是圆的直径,PA垂直圆所在的平面,C是圆上任一点,则二面角P-BC-A的平面角为: A.ABP B.ACP C.都不是,练 习,60,课后小结,1、先作出二面角的平面角,再求值,棱上一点,面上一点,空间一点,2、公式法,直接法,简接法,如图,正方体 中,其边长为 ,E为 的中点、F为 的中点,求平面EFB与面ABCD所成二面角的正切值。,变题3:,课后思题,1:已知RtABC在平面内,斜边AB在30的二面角-AB- 的棱上,若AC=5,BC=12,求点C 到平面 的距离CO。,D,ODC,BOB,