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1、-25- -五、空间解析几何五、空间解析几何 1 1、基本概念、基本概念 (1)空间两点和间的距离:),(111zyxA),(222zyxB2 122 122 12)()()(zzyyxxd(2)向量在轴 u 上的投影:AB Prju= (其中,是向量与轴 u 的夹角)ABcos ABAB(3)向量的定比分点:AB 设、为两已知点,是向量的定比分点,),(111zyxA),(222zyxB),(zyxMAB 则:, (注:AM 和 MB 是有向线段)1MBAM 外分内分00, , 121xxx 121yyy 121zzz当 M 为的中点时,有: , ,2AB221xxx221yyy221zzz
2、(4)方向余弦:或,且有: aaaaaaaaaaaaaaaaaazzyxzyzyxyxzyxx222222222coscoscoscoscoscosaaaaaazyx1coscoscos222其中、是向量与各坐标轴的夹角,、是向量在各a xayazaa坐标轴上的投影。(5)两向量的数量积、向量积和混合积 数量积:=+1babaaPrjabb Prjcos baxxbayybazzba(推论:两向量夹角余弦:)222222coszyxzyxzzyyxxbbbaaabababababa 数量积的性质:=1aa0cos2a2a20)( / babababa为常数数量积的运算规律:交换律:=1baab
3、 分配律:(+)=+2ab ccacb -26- -结合律:()= ()3ab ab 向量积:=2abzyxzyx bbbaaakjikbabajbabaibabaxyyxzxxzyzzy)()()(向量积的性质: 1sin baba=02aa30 / baba向量积的运算规律:反交换律:=-1ab b a分配律:(+)=+2ab cacb c结合律:()= ()= ( ) (为数)3ab ab ab 混合积:=()= 3 cbaab czyxzyxzyxcccbbbaaa coscba(当为锐角时,代表以三个向量组成的平行六面体的体积。) cbacba、 混合积的运算规律:轮换对称性:1,b
4、acacbcba反交换律:2,cababcbcacba(6)向量之间的关系(设),333222111zyxczyxbzyxa1212121,zzyyxxba向量,之间的夹角:2ab2 22 22 22 12 12 1212121)cos( zyxzyxzzyyxxbababa 3 2121210 / zz yy xxbababa为常数)(400212121zzyyxxbaba向量,共线存在不全为零的,使得5ab 0 ba向量共面=0存在不全为零的使得6cba, , cba,0cba(代表以为邻边的baba、平行四边形的面积)-27- -向量在上的投影: 7bacoscoscos)cos(Prj
5、2222 12 12 1212121zyxzyxzzyyxxababababba 2 2、空间曲面、空间曲面(1)球面:一般式:10 222GzFyExDzAyAxA标准式: (圆心为,半径为 R)222 02 02 0)()()(Rzzyyxx),(000xyx(2)旋转曲面:(设曲线 L:在 YOZ 坐标面上)0),(zyF曲线 L 绕 Z 轴旋转所成曲面方程:10),(22zyxF曲线 L 绕 Y 轴旋转所成曲面方程:20),(22zxyF(3)柱面:母线平行于 Z 轴的柱面:曲面方程只含 x,y 而缺 z,其准线是 XOY 面上的曲线 L:1;0),(yxF母线平行于 Y 轴的柱面:曲
6、面方程只含 x,z 而缺 y,其准线是 XOZ 面上的曲线 L:;0),(zxG母线平行于 X 轴的柱面:曲面方程只含 y,z 而缺 x,其准线是 YOZ 面上的曲线 L:;0),(zyH常见柱面及其方程2圆柱面:1222Ryx椭圆柱面:212222 by ax双曲柱面:312222 by ax-28- -抛物柱面:4)0( 22ppyx(4)二次曲面 椭球面:1椭球面:11222222 cz by ax(当时,变为球面方程:)cba2222azyx旋转椭球面:(Z 轴为旋转轴)21222222 cz ay ax抛物面:2椭圆抛物面: ()1zqy px2222 0qp旋转抛物面: ()2zp
7、y px2222 0p双曲抛物面(鞍形曲面):()3zqy px2222 0qp双曲面:3单叶双曲面:11222222 cz by ax双叶双曲面:21222222 cz by ax二次锥面:40222222 cz by ax(5)空间曲面的切平面与法线空间曲面的法向量为:1),(zyxF),(),(),(zyxFzyxFzyxFnzyx空间曲面上点处的法线方程为:2),(zyxF),(000zyxM或 tzyxFzztzyxFyytzyxFxxzyx),(),(),(000000000000),(),(),(000000000000 zyxFzz zyxFyy zyxFxxzyx-29- -
8、空间曲面上点处的切平面方程为:3),(zyxF),(000zyxM0)(,()(,()(,(000000000000zzzyxFyyzyxFxxzyxFzyx(6)旋转体的体积极坐标图形绕极轴旋转所成旋转体体积:1dV sin)(3平面图形绕轴旋转所成旋转体体积:2 )(0xfybxaydxxxfVba)(2曲线绕轴旋转所成旋转体表面积:3)(xfy xdxxfxfSba)(1)(22古尔金定理(轮胎定理):平面图形(设面积为)绕不与它相交的轴旋转4S(图形重心与旋转轴的距离,即旋转半径为 ),所得r旋转体体积为:rSV23 3、空间曲线、空间曲线(1)空间曲线方程一般式: (空间曲线可看作两
9、个曲面的交线)1 0),(0),(zyxGzyxF参数式: (如螺旋线方程为: )2)()()(tzztyytxxsin cos vtztaytax (2)空间曲线的切线与法平面空间曲线的切向量:1一般式方程的切向量为:1 0),(0),(zyxGzyxF-30- -),(),(),( zyxzyxzyxGGFFGGFF GGFFTyxyxxzxzzyzy,参数式方程的切向量为: 2)()()(tzztyytxx )(),(),()(),(),(ttttztytxT设是空间曲线在点处的切向量,则其切线方程为:2,T),(000zyxM或 tzztyytxx000000zzyyxx设是空间曲线在
10、点处的切向量,则其法平面方程为:3,T),(000zyxM0)()()(000zzyyxx4 4、空间平面、空间平面(1)空间平面方程:一般式:(其中,是平面的法向量)10 DzCyBxA,CBAn 点法式:20)()()(000zzCyyBxxA(其中,是平面上一点,是平面的法向量),(0000zyxM,CBAn 截距式:(其中, 、 、 是平面在三个坐标轴上的截距)31cz by axabc三点式: 或 40131313121212111 zzyyxxzzyyxxzzyyxx01111333222111zyxzyxzyxzyx-31- -(其中,是平面上不共线的三),(1111zyxM),
11、(2222zyxM),(3333zyxM点)过直线 L:的平面束的方程:5 0 0 22221111 DzCyBxADzCyBxA0)(22221111DzCyBxADzCyBxA(2)空间两平面间的夹角:2 22 22 22 12 12 12121212121cos CBACBACCBBAAnnnn (3)空间两平面间的位置关系:平行: 或 1 212121 CC BB AA021nn重合:2 21212121 DD CC BB AA垂直: (即)30212121CCBBAA021nn(4)点到空间平面的距离: 222000CBADzCyBxAd 5 5、空间直线、空间直线 (1)空间直线方
12、程:一般式: (空间直线可看作两个平面的交线)1 0 0 22221111 DzCyBxADzCyBxA对称式(点向式):2pzz nyy mxx000(其中,是直线上一点,是直线的方向向量),(0000zyxM,pnms 两点式:(,是直线上两点)3 121121121 zzzz yyyy xxxx ),(1111zyxM),(2222zyxM参数式:4tpzztnyytmxx000-32- -(2)空间两直线间的夹角:2 22 22 22 12 12 12121212121cos pnmpnmppnnmmssss (3)空间两直线间的位置关系:平行:1 212121 pp nn mm重合: (其中,、分别为两直线上的点)22121/SSMM1M2M 垂直:(即)30212121ppnnmm021ss异面:40)(,22211112121221212121 pnmpnmzzyyxx SSMMSSMM(其中,、分别为两直线上的点)1M2M(4)空间直线与平面间的夹角:222222cos pnmCBApCnBmAnsns (5)空间直线与平面间的位置关系: 平行:(即)10 pCnBmA0sn垂直: 或 2pC nB mA0sn(6)点到空间直线的距离:=0M0ssMM d 222 000pnm pnmzzyyxxkji (其中,