五、空间解析几何

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1、-25- -五、空间解析几何五、空间解析几何 1 1、基本概念、基本概念 （1）空间两点和间的距离：),(111zyxA),(222zyxB2 122 122 12)()()(zzyyxxd（2）向量在轴 u 上的投影：AB Prju= (其中，是向量与轴 u 的夹角)ABcos ABAB（3）向量的定比分点：AB 设、为两已知点，是向量的定比分点，),(111zyxA),(222zyxB),(zyxMAB 则：， (注：AM 和 MB 是有向线段)1MBAM 外分内分00， ， 121xxx 121yyy 121zzz当 M 为的中点时，有： ， ，2AB221xxx221yyy221zzz

2、（4）方向余弦：或，且有： aaaaaaaaaaaaaaaaaazzyxzyzyxyxzyxx222222222coscoscoscoscoscosaaaaaazyx1coscoscos222其中、是向量与各坐标轴的夹角，、是向量在各a xayazaa坐标轴上的投影。（5）两向量的数量积、向量积和混合积 数量积：=+1babaaPrjabb Prjcos baxxbayybazzba(推论：两向量夹角余弦：)222222coszyxzyxzzyyxxbbbaaabababababa 数量积的性质：=1aa0cos2a2a20)( / babababa为常数数量积的运算规律：交换律：=1baab

3、 分配律：(+)=+2ab ccacb -26- -结合律：()= ()3ab ab 向量积：=2abzyxzyx bbbaaakjikbabajbabaibabaxyyxzxxzyzzy)()()(向量积的性质： 1sin baba=02aa30 / baba向量积的运算规律：反交换律：=-1ab b a分配律：(+)=+2ab cacb c结合律：()= ()= ( ) (为数)3ab ab ab 混合积：=()= 3 cbaab czyxzyxzyxcccbbbaaa coscba(当为锐角时，代表以三个向量组成的平行六面体的体积。) cbacba、 混合积的运算规律：轮换对称性：1,b

4、acacbcba反交换律：2,cababcbcacba（6）向量之间的关系(设),333222111zyxczyxbzyxa1212121,zzyyxxba向量，之间的夹角：2ab2 22 22 22 12 12 1212121)cos( zyxzyxzzyyxxbababa 3 2121210 / zz yy xxbababa为常数）（400212121zzyyxxbaba向量，共线存在不全为零的，使得5ab 0 ba向量共面=0存在不全为零的使得6cba, , cba,0cba(代表以为邻边的baba、平行四边形的面积)-27- -向量在上的投影： 7bacoscoscos)cos(Prj

5、2222 12 12 1212121zyxzyxzzyyxxababababba 2 2、空间曲面、空间曲面（1）球面：一般式：10 222GzFyExDzAyAxA标准式： (圆心为，半径为 R)222 02 02 0)()()(Rzzyyxx),(000xyx（2）旋转曲面：(设曲线 L：在 YOZ 坐标面上)0),(zyF曲线 L 绕 Z 轴旋转所成曲面方程：10),(22zyxF曲线 L 绕 Y 轴旋转所成曲面方程：20),(22zxyF（3）柱面：母线平行于 Z 轴的柱面：曲面方程只含 x,y 而缺 z，其准线是 XOY 面上的曲线 L：1；0),(yxF母线平行于 Y 轴的柱面：曲

6、面方程只含 x,z 而缺 y，其准线是 XOZ 面上的曲线 L：；0),(zxG母线平行于 X 轴的柱面：曲面方程只含 y,z 而缺 x，其准线是 YOZ 面上的曲线 L：；0),(zyH常见柱面及其方程2圆柱面：1222Ryx椭圆柱面：212222 by ax双曲柱面：312222 by ax-28- -抛物柱面：4)0( 22ppyx（4）二次曲面 椭球面：1椭球面：11222222 cz by ax(当时，变为球面方程：)cba2222azyx旋转椭球面：(Z 轴为旋转轴)21222222 cz ay ax抛物面：2椭圆抛物面： ()1zqy px2222 0qp旋转抛物面： ()2zp

7、y px2222 0p双曲抛物面(鞍形曲面)：()3zqy px2222 0qp双曲面：3单叶双曲面：11222222 cz by ax双叶双曲面：21222222 cz by ax二次锥面：40222222 cz by ax（5）空间曲面的切平面与法线空间曲面的法向量为：1),(zyxF),(),(),(zyxFzyxFzyxFnzyx空间曲面上点处的法线方程为：2),(zyxF),(000zyxM或 tzyxFzztzyxFyytzyxFxxzyx),(),(),(000000000000),(),(),(000000000000 zyxFzz zyxFyy zyxFxxzyx-29- -

8、空间曲面上点处的切平面方程为：3),(zyxF),(000zyxM0)(,()(,()(,(000000000000zzzyxFyyzyxFxxzyxFzyx（6）旋转体的体积极坐标图形绕极轴旋转所成旋转体体积：1dV sin)(3平面图形绕轴旋转所成旋转体体积：2 )(0xfybxaydxxxfVba)(2曲线绕轴旋转所成旋转体表面积：3)(xfy xdxxfxfSba)(1)(22古尔金定理(轮胎定理)：平面图形(设面积为)绕不与它相交的轴旋转4S(图形重心与旋转轴的距离，即旋转半径为 )，所得r旋转体体积为：rSV23 3、空间曲线、空间曲线（1）空间曲线方程一般式： (空间曲线可看作两

9、个曲面的交线)1 0),(0),(zyxGzyxF参数式： (如螺旋线方程为： )2)()()(tzztyytxxsin cos vtztaytax （2）空间曲线的切线与法平面空间曲线的切向量：1一般式方程的切向量为：1 0),(0),(zyxGzyxF-30- -),(),(),( zyxzyxzyxGGFFGGFF GGFFTyxyxxzxzzyzy，参数式方程的切向量为： 2)()()(tzztyytxx )(),(),()(),(),(ttttztytxT设是空间曲线在点处的切向量，则其切线方程为：2,T),(000zyxM或 tzztyytxx000000zzyyxx设是空间曲线在

10、点处的切向量，则其法平面方程为：3,T),(000zyxM0)()()(000zzyyxx4 4、空间平面、空间平面（1）空间平面方程：一般式：(其中，是平面的法向量)10 DzCyBxA,CBAn 点法式：20)()()(000zzCyyBxxA(其中，是平面上一点，是平面的法向量),(0000zyxM,CBAn 截距式：(其中， 、 、 是平面在三个坐标轴上的截距)31cz by axabc三点式： 或 40131313121212111 zzyyxxzzyyxxzzyyxx01111333222111zyxzyxzyxzyx-31- -(其中，是平面上不共线的三),(1111zyxM),

11、(2222zyxM),(3333zyxM点)过直线 L：的平面束的方程：5 0 0 22221111 DzCyBxADzCyBxA0)(22221111DzCyBxADzCyBxA（2）空间两平面间的夹角：2 22 22 22 12 12 12121212121cos CBACBACCBBAAnnnn （3）空间两平面间的位置关系：平行： 或 1 212121 CC BB AA021nn重合：2 21212121 DD CC BB AA垂直： (即)30212121CCBBAA021nn（4）点到空间平面的距离： 222000CBADzCyBxAd 5 5、空间直线、空间直线 （1）空间直线方

12、程：一般式： (空间直线可看作两个平面的交线)1 0 0 22221111 DzCyBxADzCyBxA对称式(点向式)：2pzz nyy mxx000(其中，是直线上一点，是直线的方向向量),(0000zyxM,pnms 两点式：(，是直线上两点)3 121121121 zzzz yyyy xxxx ),(1111zyxM),(2222zyxM参数式：4tpzztnyytmxx000-32- -（2）空间两直线间的夹角：2 22 22 22 12 12 12121212121cos pnmpnmppnnmmssss （3）空间两直线间的位置关系：平行：1 212121 pp nn mm重合： (其中，、分别为两直线上的点)22121/SSMM1M2M 垂直：(即)30212121ppnnmm021ss异面：40)(,22211112121221212121 pnmpnmzzyyxx SSMMSSMM(其中，、分别为两直线上的点)1M2M（4）空间直线与平面间的夹角：222222cos pnmCBApCnBmAnsns （5）空间直线与平面间的位置关系： 平行：(即)10 pCnBmA0sn垂直： 或 2pC nB mA0sn（6）点到空间直线的距离：=0M0ssMM d 222 000pnm pnmzzyyxxkji (其中，