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1、点集拓扑学,主讲人：吴洪博,第一章 集合论初步,1.2 关系,等价关系,1.1 集 合,1.3 映 射,1.4 集族及其运算,1.5 可数集，不可数集,1.6 基 数,1.1 集 合,重点:熟悉有关集合的等式和性质难点:有关集合的有限笛卡尔积的等式和性质,集合一词，我们在高中阶段已经接触过，在那里，集合是指具有某种属性的对象的全体.在这里，我们仍采用对集合的这种直观的描述性定义，以后我们还将经常遇到像这样直观的描述性定义或一些直观的结论.虽然这样做逻辑性差一些，不及公理集合论的严密性，但这样做却是我们易于理解和接受的，不致使读者陷入逻辑困惑之中，从而尽快地进入拓朴学基础的学习程序.,不含任何元
2、素的集合称为空集，用符号 表示.,规定空集是任意集合的子集.,含有有限个元素的集合叫做有限集，,不是有限集的集合叫做无限集.,对于集合之间的运算，有时用图象表示更直观一些.在下面的图1.1.1中，我们用两个圆分别表示集合A,B，而用阴影部分表示两个集合运算的结果.,图1.1.1,观察图1.1.1我们不难得出下面的等式:,这样做的好处在于将并集 转化成互不相交的集合并集.该集合等式也可以用定义证明.,集合中的运算律,设X是全集，A，B，C是X的子集，则以下运算律成立：,(1)交换律,(2)结合律,(3)零元,单位元,(4)吸收律,(5)分配律,(6)幂等律,(7)对合律,(8)对偶律,(9)互补
3、律,以上运算定律由定义或作图不难验证,我们仅以对偶律的验证为例,其余读者自己完成.,图1.1.2,.,虽然对于任意给定集合,它们的元素不必有序,但我们可 以把集合的元素串在一起,这样就可用线段或直线表示 集合.进而将集合的笛卡尔积就可用“平面图形”直观的表 现出来.,（A-B）（C-D）,图1.1.3,该集合等式也可用定义证明,其过程读者自己做为练习完成.,习题 1.1,1. 试判断下列关系式的正确与错误,的元素.,2. 设,都是集合，其中,证明：如果, 则,3. 设,，即X有,个互不相同的元素，X的幂集P (X)有多少个互不相同,4. 设,， 用列举法给出P (X).,5. 设A，B是集合，
4、证明,的充要条件是 ,，,的充要条件是,.,且,；,，,，,1.2 关系,等价关系,重点：熟悉关系像，逆关系，复合关系和等价关系的性质难点：对命题演算知识的欠缺将影响性质证明的严谨性,定义1.2.2 设R是从集合X到集合Y的一个关系,即,显然，若,，集合B相对于关系R-1的象集就是集合,集合,.,(1),证明：(1),当且仅当,当且仅当,.,(1),(2),(3),(4),，,，,.,，,此时假设,，由于,，因此,，,这与,，,定义1.2.6 设R是集合X中的一个关系,如果,即对于任意,有,则称关系R为自反的;,如果,即对于任何,如果,则,则称关系R为对称的;,如果,即对于任何,.,有,例1.
5、2.1 给出平面上的一个关系,的意义,是平面 上的一个等价关系. 相对于等价关系,即商集是由单点集,和以原点为中心的所有圆,周组成的集合.,习 题 1.2,2. 设R是从集合X到集合Y的一个关系,证明下列条件,等价:,(1) 对于任意,，,6. 实数集合R中的一个关系定义为：,1.3 映 射,重点：熟悉由映射所诱导的逆关系得所有性质难点：对映射的逆关系性质的理解,(4)f(X)叫映射f的值域.,(3) (Y)=X,即映射f的定义域是X.,(6) f -1作为Y到X的关系有定义,但一般说来f -1不是 一个从Y到X的映射.,.,(2)对 ,设 使得,因此， 是从X到Z的映射.,(2),(1),(
6、2)由于,是关系,由定理1.2.2 可得,根据下面的定理1.3.3,一一映射又称为可逆映射.,),并且也是一一映射,此外还有,如果f是个一一映射，则其逆关系f-1便是从Y到X的映射 (因此可以写作,定理1.3.3 设X和Y是两个集合,又设,.,证明：结合定理1.3.1和单射、满射定义容易证明, 本定理,略.,从关系出发定义映射的本意使得我们在本书的理论 体系中除了“集合”和“元素”不再有任何未定义对象.但是， 如果每次定义一个映射都要将映射写成它的定义域与值 域的笛卡尔积的一个子集，毕竟是件不太方便的事， 因此在定义映射时仍采用我们习惯的方法：对定义域中 的每一个元素指定值域中的唯一一个元素作
7、为它的象.,定义1.3.6 设是集合X中的一个等价关系.从集合X到 它的商集 的自然投射定义为对于每一个这个自然投射用关系定义便是：,习 题 1.3,1. 设 是一个满射,关系 定义为：,其中 是 的简写.,2. 设X是一个给定集合，,证明集合的对称差满足交换群公理,即设 则,(3) 存在集合-A，使得,(4), f是单射., 对于任意 )., 对于任意,3. 设X和Y是两个集合, ,证明, 对于任意,1.4 集族及其运算,重点:集族的交与并的理解 难点：集族交与并的理解,1.5 可数集，不可数集,重点:可数集合的定义和性质难点：不可数集合的存在性,对于有限集，我们今后使用下面的定义. 定义1.5.1 设X是一个集合,如果X是空集或者存在正整数使得集合X和集合1,2,n之间有一个一一映射,则称集合X是一个有限集.,定义1.5.2 不是有限集的集合称为无限集;如果存在一个从集合X到正整数集Z+的双射,则称集合X是一个可数无限集,不是可数无限集的无限集合称为不可数集. 有限集和可数无限集统称为可数集.,定理1.5.1 如果C是Z+的一个无限子集,那么C是可数无限集.,.,习 题 1.5, 1.6 基 数,图1.6.1,图1.6.2,阅读材料（二） 序关系,y,习题,
