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1、六六 年年 级级 上上 册册一、立体图形的展开与组合一、立体图形的展开与组合一、学一学一、学一学例题例题 1、下列这些平面图,哪些能围成正方体?有什么规律?(1)(2)(3) 思路点拨思路点拨 第一类是中间四个,上、下各一个的展开图可以围成正方体;第二类是转化成中间四个,上、下各一个的展开图可以围成正方体;第三类是两层,每层三个的特例也可以围成正方体。二、练一练二、练一练1、下面各图中,哪几个是长方体表面的展开图?2、根据展开图,说说相对的面。3、在下面正方体展开图的六个面上,分别写上 16 中某一个数字,使该正方体相对的两个面上数字之和是 7。4、右边哪几个盒子是左边这张硬纸折成的?5、下图
2、是一个长方体的展开图(单位:厘米) 。这个长方体的长、宽、高各是多少?8751 1 3 32 24 45 5 6 6 A A B B C C D D E E F F1 1 3 32 24 45 5 6 6 A A B B C C D D E E F F二、长方体、正方体的表面积二、长方体、正方体的表面积一、学一学一、学一学例题例题 1 1:小明和妈妈一起给奶奶买了一份礼物,营业员阿姨用一个长 45 厘米、宽 20 厘米、高 10 厘米的长方体盒子装好,并用彩绳包扎。如果打结处需用彩绳 15 厘米,这样包扎共需彩绳多少厘米? 思路点拨思路点拨 要求彩绳的长度,应该将这些彩绳分类整理。这段彩绳包括
3、了打结的 15 厘米,高有 4 段,共 40 厘米;长宽各有 2 段,共有452+202=130 厘米。最后只要将这些绳子的长度相加即可。想一想:还有别的解法吗?例题例题 2 2:用五个相同的正方体,粘接成一个长方体,总棱长 84 厘米。这个长方体的表面积是多少? 思路点拨思路点拨 要求长方体的表面积的关键是求出长方体的长、宽、高;由于这个长方体是有正方体粘接成,若正方体的棱长是 a,那么长方体的长和高都是 a,宽等于 5a;根据题意,得 4a2+5a4=84,a=3,表面积=aa2+5aa4=332+3154=198(平方厘米)例题例题 3 3:一个正方体增高 2 厘米(底面不变)后,得到一
4、个长方体。长方体的表面积比原来正方体的表面积增加了 96 平方厘米。原来正方体表面积是多少平方厘米?现在长方体的表面积是多少? 思路点拨思路点拨 长方体比正方体表面积增加了 96 平方厘米,就是增加了侧面的面积,即 4 个相等的长方形面积,这个长方形的宽 2 厘米,长 9642=12 厘米,长就是正方体的棱长。正方体的表面积是:12126=864(平方厘米) 。长方体的表面积是:864+96=960(平方厘米)想一想:还有别的解法吗?二、练一练二、练一练1、一个长 7 分米、宽 4 分米、高 2 分米的木箱,用三根铁丝捆起来(如图) 。这三根铁丝总长至少为多少米?(接头处不计)2、把底面积 5
5、 平方厘米的两个相等的正方体拼成一个长方体,长方体的表面积是多少?3、一个长方体的表面积是 30 平方厘米,把它平均切开,正好成为两个相等的小正方体,求每个小正方体的表面积是多少平方厘米?4、一个正方体的表面积是 96 平方厘米,把它切成两个相等的长方体后,每个长方体的表面积是多少平方厘米?5、两个完全相等的长方体正好可以拼成一个正方体,正方体的表面积是30 平方厘米。如果把这两个长方体改拼成一个大长方体,这个大长方体的表面积是多少平方厘米?6、用三个长 3 厘米、宽 2 厘米、高 1 厘米的长方体拼成一个表面积最小的大长方体,这个长方体的表面积是多少?7、一个长方体的高减少 2 厘米后,成为
6、一个正方体,那么表面积就减少48 平方厘米。原来这个长方体的表面积是多少平方厘米?8、有一块长方体石料,长 30 厘米、宽 18 厘米、高 15 厘米。加工时把八个顶点各凿去一个棱长为 1 厘米的小正方体,加工后的表面积是多少平方厘米?9、一个正方体的棱长为 4 厘米,从它的前后左右上下六个面的正中心各挖去一个棱长为 1 厘米的小正方体,挖去后的正方体的表面积是多少平方厘米?10、有一块长方形的铁皮,长 30 厘米,宽 20 厘米,在这块铁皮的四角各剪下一个边长为 2 厘米的小正方形,然后制成一个无盖的长方体盒子。做这个盒子用了多少平方厘米铁皮?三、长方体、正方体的体积三、长方体、正方体的体积
7、一、学一学一、学一学例题例题 1 1、将 5 个棱长相等的正方体木块拼成一个长方体,已知长方体棱长总和是 140 厘米。每个正方体的体积是多少厘米? 思路点拨思路点拨 要求每个正方体的体积,就要求出正方体的棱长。假设正方体的棱长为 x 厘米,根据“5 个棱长相等的正方体木块拼成一个长方体”可知:拼成的长方体的长、宽、高分别可表示为 5x 厘米、x 厘米、x 厘米。再根据“长方体棱长总和是 140 厘米” ,可列出方程 4(5x+x+x)=140。解方程得x=5。每个正方体的体积=53=125(立方厘米) 。例题例题 2 2、小明家有一个长方体形状的小金鱼缸,长 5 分米,宽 4 分米,里面只注
8、入了 2 分米深的水。一天爸爸买回一座小假山。当小明把假山放入金鱼缸后(完全浸没) ,水面立即上升了 6 厘米。这快假山的体积是多少立方分米? 思路点拨思路点拨 由于鱼缸放入假山后水面上升,说明假山在鱼缸内挤占了水的空间,可知上升部分水的体积就等于假山的体积。而上升部分的体积,其实就是一个长方体的形状。只要用 50406 就可以求出假山的体积。二、练一练二、练一练1、将两块棱长相等的正方体木块拼成一个长方体,已知长方体棱长总和是 96 厘米。每个正方体的体积是多少厘米?2、用一个长 40 厘米,宽和高都是 36 厘米的长方体纸箱,来装棱长 6 厘米的正方体铁盒,最多可以装多少个?3、棱长是 4
9、 分米的正方体水箱中装有半箱水,现在把一块石头完全浸没在水中,水面比原来上升 5 厘米,这块石头的体积是多少?4、体育场用 37.5 立方米的煤渣铺在一条长 100 米、宽 7.5 米的直跑道上。煤渣可以铺多少厘米厚?5、把一个长 9 厘米,宽 7 厘米,高 3 厘米的长方体铁块和一个棱长 5 厘米的正方体铁块熔铸成一个底面积是 20 平方厘米的长方体。求这个长方体的高。6、一块棱长是 0.6 米的正方体的钢坯,锻成横截面是 0.09 平方米的长方体钢材,锻成的钢材有多长?7、把一个长方体沿长平均切成 4 个长方体,每个长方体长 6 厘米,表面积增加 24 平方厘米。求原来长方体的体积是多少立
10、方厘米?8、从一个长方体上截下一个体积是 32 立方厘米的小长方体后剩下的部分正好是棱长 4 厘米的小正方体,原来这个长方体的表面积是多少平方厘米?9、在一个长 15 分米,宽 12 分米的长方体水箱中,有 10 分米深的水,如果在水中沉入一个棱长是 30 厘米的正方体铁块,那么水箱中水深多少分米?10、一块长方形铁皮,长 32 厘米,在它四个顶角分别剪去边长 4 厘米的正方形,然后折起来焊成一个无盖的长方体铁皮盒。已知这个铁皮盒的容积是768 立方厘米,原来这块铁皮的面积是多少?11、一个密封的长方体玻璃箱,里面装满水,从里面量得长 30 厘米,宽10 厘米,高 15 厘米,水深 5 厘米(
11、如下图) 。如果把箱子的左侧面作为底面放在桌面上,那么水深多少厘米? 12、现有一个空的长方体容器 A 和一个水深 24 厘米的长方体容器 B,要将容器 B 的水倒一部分给 A,使两容器水的高度相同,这时水深是几厘米?30402030AB2420五、分数应用题五、分数应用题一、学一学:一、学一学:例例 1 1:小华看一本小说,第一天看了全书的,第二天看了全书的,81 61还剩下 170 页,问这本小说一共有多少页? 思路点拨思路点拨 要求这本小说共多少页,需要求出剩下 158 页的对应分率。运用解答分数应用题的“金钥匙”线段图就可以找到其中的对应关系。通过观察、分析,可以这样列式:170(1)
12、=240(页)81 61二、练一练:二、练一练:1、小红读一本书,第一天读了全书的,第二天读了全书的,这时还52 31剩下 56 页,这本书共多少页?2、小红读一本书,第一天读了全书的,第二天读的是第一天的,这52 54时还剩下 56 页,这本书共多少页?3、 (1)有两根同样长的钢管,第一根截去米,第二根截去。哪根101 101截去的长?(2)一根钢管剪成两段,第一段长米,第二段是全长的。哪段长?101 1014、甲乙两人同时从两地相向而行,在距离中点 40 千米处相遇,已知甲行了全程的,甲行了多少千米? 20115、一辆汽车从甲地开往乙地,先行了全程的少 15 千米,又行了全程的52就到达
13、乙地,求甲、乙两地的路程。43六、比的应用六、比的应用一、学一学:一、学一学:例例 1 1:两个服装厂,一个月内生产的西服数量的比是 6:5,两厂西服价格的比是 11:10,这两个厂的产值比是多少? 思路点拨思路点拨 根据:产值=价格产量,可以想到:甲产值:乙产值=(甲产量甲价格):(乙产量乙价格) 。两厂的产值比为:(611):(510)=66:50=33:25 总结总结 :有两个或两个以上的比,把它们前项相乘的积作前项,后项相乘的积作后项,所得到的比,叫做复比。复比。例例 2 2:学校把 368 棵树苗分给六年级三个班,一班和二班分得的树苗的比是 2:3,二班和三班分得的树苗棵数比是 5:
14、7,求一班、二班和三班之间的棵数比? 思路点拨思路点拨 本题需要将两个不同的比化成连比连比。这需要利用比的基本性质分子、分母同时扩大或缩小相同的倍数,比值不变。即一班:二班=2:3=10:15,二班:三班5:7=15:21。因此可以得到:一班:二班:三班=10:15:21。例例 3 3:光明小学原来体育达标人数是没达标人数的,后来又有 60 名同53学达标,这时达标人数是没达标人数的。光明小学共有学生多少人?119 思路点拨思路点拨 两个分率和的单位“1”都是没达标人数,但没达标人数53 119发生了变化,因此两个分率不能相加减。在解答这类稍复杂的分数实际问题时,应抓住不变的量,一般把不变的量
15、看作单位“1” 。本题学校总人数看作单位“1” ,根据“原来达标人数是没达标人数的” ,可知原来达标人数是学53校总人数的,根据“这时达标人数是没达标人数的” ,可知这时达标人数53 119是学校总人数的,60 名同学的对应分率是-。算式是:60(-) 。119 209 83 209 83也可以用连比进行解答。原来达标人数与总人数的比是 3:8,现在达标人数与总人数的比是 9:20,运用比的基本性质可得,原来达标人数与总人数的比是 15:40,现在达标人数与总人数的比是 18:40。60 0(1815)=20(人) ,求出每份的人数,再用 2040=800 求出总人数。二、试一试:二、试一试:
16、1、一个正方体的棱长是 5 厘米,它的表面积与底面积的比是( ),比值是( )。2、五角人民币与贰角人民币的张数比为 12:35,那么五角人民币与贰角人民币的总钱数比是( ) 。3、已知 A:B=4:3,B:C=7:9,A:B:C=( ) 。三、练一练:三、练一练: 1、两个正方形边长比是 2:3,面积的比是( )。2、两个正方形的棱长比是 3:4,表面积比是( ),体积比是( )。3、两个圆的周长比是 5:3,半径比是( ),直径比是( ),面积比是( )。4、一个三角形与一个平行四边形的面积相等,其底边长度的比是 5:7,则三角形与平行四边形高的比是( ) 。5、甲数的与乙数的相等,甲、乙两数的比是( ) 。31 516、甲、乙各有钱若