材料力学第8章能量法1

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1、第八章 能量法,一、杆件的应变能,二、应变能普遍表达式(克拉贝隆原理),三、卡氏定理,能量法,四、互等定理,五、虚功原理 单位力法 图乘法,六、超静定问题 力法,七、冲击应力,求解弹性体系(如杆件)的变形可采用的方法：,1、分析法/解析法,平衡方程静力平衡关系 几何方程变形几何关系 物理方程应力应变关系,利用应变能的概念，解决与弹性体系变形有关的问题的方法。在求解组合变形、曲杆或杆系以及超静定问题时，能量法是一种非常有效的方法，是结构分析的基础。,能量法/基本概念,2、能量法,有关的几个基本概念,3、能量守恒：忽略缓慢加载过程中动能和其它形式的能量损失，杆件能量守恒，即杆内所储存的应变能U在数

2、值上与外力所作的功 W 相等UW,1、外力功:线弹性体系在外力的作用下产生变形，每个外力 在与它相对应的位移上所作的功W。,2、应变能:弹性体受外力作用下产生变形而储存了能量，这个 被储存的能量即为应变能或变形能 U。,能量法/基本概念,一、杆件产生基本变形时的应变能,1、轴向拉伸或压缩,F,L,L,O,B,L,F,A,能量法/杆件的应变能,式中 轴力，A 横截面面积,由拉压杆件组成的杆系的应变能：,能量法/杆件的应变能,取微段研究：,微段的应变能：,整个杆件的拉压应变能,受力复杂杆(轴力沿杆的轴线变化)的应变能,q,L,dx,x,能量法/杆件的应变能,2、圆截面杆的扭转,m,L,m,O,B,

3、m,A,圆截面杆的应变能,式中 T 圆杆横截面上的扭矩；圆杆横截面对圆心的极惯性矩。,能量法/杆件的应变能,受力复杂的圆截面杆(扭矩沿杆的轴线为变量),整个杆的扭转应变能为,可取微段分析：,能量法/杆件的应变能,3、平面弯曲,纯弯曲梁的应变能：,式中 M 梁横截面上的弯矩；I 梁横截面对中性轴的惯性矩,能量法/杆件的应变能,横力弯曲梁(弯矩沿梁的轴线为变量)的应变能,整梁的弯曲应变能,按微段分析：,和拉压、扭转应变能比较,能量法/杆件的应变能,4、剪切,纯剪切时微段梁的应变能：,FS,dx,FS,由于切应力在截面上并非均匀分布。引入系数k,因此 微段梁的应变能为：,能量法/杆件的应变能,整个梁

4、的剪切应变能：,式中,(b为截面的宽度，S为截面对中性 轴的静矩),(2)一般实心截面的细长梁:剪切应变能远小于其弯曲应变能，通常忽略不计。,(1) k 由截面的几何形状决定:矩形截面:k = 1.2,圆截面: k = 10/9,圆环形截面:k = 2,能量法/杆件的应变能,例：矩形截面悬臂梁，长L，截面高h，宽b，k = 1.2。,细长梁,整个梁的弯曲应变能：,细长梁的剪切应变能远小于弯曲应变能，可忽略不计！,整个梁的剪切应变能：,得,解：,二、应变能的普遍表达式(克拉贝隆原理),F,基本变形下应变能的一般表达式：,式中F广义力(力或力偶)；广义位移(线位移或角位移)且 F =C (力与位移

5、成线性关系),表明：弹性体的应变能是一个状态量，仅决定于外力和位移的最终值，与加载的过程无关。,能量法/克拉贝隆原理,应变能的普遍表达式(克拉贝隆原理)的导出,能量法/克拉贝隆原理,特别注意点：,广义力，可以是一个力，也可以是一个力偶，或者是一对力，或者是一对力偶。,在所有力共同作用下(因 与全部作用力有关)， 与广义力 相对应的沿着力的方向的广义位移。,能量法/克拉贝隆原理,力：F，位移：,力：m，位移：,例子,力：F，位移：,力：m，位移：,能量法/克拉贝隆原理,关于应变能计算的讨论,适用线弹性材料在小变形下的应变能的计算,应变能可以通过外力功计算，也可以通过计算杆件微段上的内力功，然后积

6、分求得,3 故叠加原理 在应变能计算中不能使用。,能量法/克拉贝隆原理,4 应变能是恒为正的标量，与坐标轴的选择无关,能量法/克拉贝隆原理,M(x) 只产生弯曲转角,FN (x) 只产生轴向线位移,T(x) 只产生扭转角,不计FS 产生的应变能,例1 试计算图示吊车架的应变能，并应用它求节点A的竖直位移。已知E=200GPa,F =57.6kN。斜杆AB由两根50505mm等边角钢组成，每根角钢的横截面面积，横杆AC由两根No.10槽钢组成，每根槽钢 的横截面面积 。设各杆自重可以不计。,能量法/克拉贝隆原理,解:,由节点A的平衡条件求得AB杆的内力：,AC杆的内力为：,杆系的应变能：,设节点

7、A的竖直位移为 ，则由 得：,能量法/克拉贝隆原理,例2 图示等截面悬臂梁，E,A,I 已知。在自由端受集中力F 和集中力偶m 作用。设材料是线弹性的，试计算梁的应变能。考虑两种不同的加载次序，略去剪力的影响。,解：(1)集中力F和集中力偶m同时由零开始按比例逐渐增加至最终值。,梁自由端的转角为：,(方向与m一致),自由端的垂直位移为：,梁的应变能,能量法/克拉贝隆原理,(2) 先作用F,加载时做功为：,再加力偶矩m，外力所作的功为：,梁的总应变能：,从这两种不同的加载次序来看，梁的应变能仅与载荷的始 态和终态有关，而与加载次序无关。,能量法/克拉贝隆原理,(3) AB 梁的应变能也可通过截面

8、上的内力来计算。,代入应变能的内力表达式：,弯矩方程：,能量法/克拉贝隆原理,从结果中可以看到：第一、三项分别为F和m单独作用时的 应变能，故F、m同时作用在杆内所引起的应变能不等于各 载荷单独作用时所引起的应变能之和。其原因是这两个载 荷都使梁产生了同一种弯曲变形，彼此都在对方引起的位 移上做了功（结果中的第二项即代表F和m共同作用时在相 互影响下所做的功）。,能量法/克拉贝隆原理,三、卡氏定理,可以证明：,能量法/卡氏定理,卡氏第二定理,证明：,再加增量 ，则应变能U的增量dU为,梁的总应变能为：,(a),考虑两种不同的加载次序。,(1)先加 ，此时弹性体的应变能为U：,能量法/卡氏定理,

9、(a) 在相应的位移 上所作的功,(2) 先加 ，然后再加 ，此时弹性体的应变能 由三部分组成：,梁的总应变能为：,(b),(b) 在相应位移 上所作的功：,(c)原先作用在梁上的 对位移 所作的功,能量法/卡氏定理,根据弹性体的应变能只决定于外力的最终值，而与加载的次序无关。(a)、(b)两式相等：,略去二阶微量，化简后得：,注意：只有当弹性系统为线性，即其位移与载荷成线性关系时，才能应用卡氏第二定理。,应用卡氏定理求出 为正时，表示该广义位移与其相应的广义力作用的方向一致；若为负值，则表示方向相反。,能量法/卡氏定理,另有：卡氏第一定理：,卡氏第一定理适用于任意可变形固体，证明略。,表明：

10、线弹性结构的应变能，对于作用其上的某一广义外力的变化率(偏导数)，等于与该广义外力相应的广义位移。,卡氏第二定理,表明：结构的应变能，对于结构上与某一广义外力相应的广义位移的变化率，等于该广义外力的值。,卡氏定理的特殊形式,(1)横力弯曲的梁：,对于刚架，若忽略轴力和剪力对于变形的影响，则也可应 用上式计算变形。,(2) 小曲率的平面曲杆,式中s 沿曲杆轴线的曲线长度。,能量法/卡氏定理,(3) 桁架,(4) 产生拉(压)、扭转与弯曲的组合变形的圆截面等直杆,问题：上述定理适用于求力 作用点处的位移，若要求弹性体上任一点（无Fi力作用在其上）的位移时，怎么做？,能量法/卡氏定理,在所求位移处沿

11、所求位移的方向上加上一个虚设的集中力 或集中力偶 ；或一对力或一对力偶，此时应变能为：,或,若所得位移为正，则表示与附加力的方向一致；若为负值， 则表示与虚加力的方向相反。,附加载荷法,由卡氏定理得：,能量法/卡氏定理,例3 图示水平放置的直角折杆，各杆的直径均为d，材料的弹性常数G=0.4E。试用卡氏第二定理求 A 端的铅垂位移（不计剪力对位移的影响）。,解：AB段的弯矩方程及其对F 的偏导数分别为,（0y l）,，,BC段的弯矩和扭矩方程及其对F 的偏导数分别为,故A 端的铅垂位移为,（）,例3 等截面杆ABC,由直径为D的半圆曲杆AB与长度为L的竖直 杆BC组成。在A端受到一个竖直向下的

12、力F作用。设曲杆 与直杆的抗弯刚度均为EI，不计剪力和轴力对变形的影响. 试用卡氏定理求A端的竖直位移 、水平位移 及截 面A的角位移 。,解：在A端虚加集中力 和集中力 偶 。利用卡氏定理求解。,F,D,分两段积分。在曲杆部分取角度作为自变量，直杆部分取位置坐标x作为自变量。列出AB段和BC段的弯矩方程：,A,B,C,能量法/卡氏定理,AB段,BC段,于是,能量法/卡氏定理,将以上各式代入卡氏定理，得：,(正值，与F力方向一致),A点的垂直位移：,A点的水平位移：,能量法/卡氏定理,截面A的转角：,（负值，与虚加力方向相反）,能量法/卡氏定理,2018/10/23,材料力学,40,例5 图示

13、刚架的EI为常量，不计轴力和剪力影响，求B、D 。,解：,1.求B,(1)列弯矩方程，并求导,DC段：,CB段：,BA段：,能量法/卡氏定理,2018/10/23,材料力学,41,(2)求B,例5 图示刚架的EI为常量，不计轴力和剪力影响，求B、D 。,能量法/卡氏定理,2018/10/23,材料力学,42,例5 图示刚架的EI为常量，不计轴力和剪力影响，求B、D 。,(3)求D,能量法/卡氏定理,2018/10/23,材料力学,43,在Fj作用下引起的 Fi方向上的位移,四、功的互等定理 位移互等定理,功的互等定理 位移互等定理是材料力学中的普遍定理， 它说明材料服从胡克定律且在小变形的条件

14、下，作用在杆件上 的不同点的力和位移间相互关系。,以图示梁为例证明如下：,能量法/互等定理,2018/10/23,材料力学,44,1.先在1点作用F1,再在2点作用F2,外力功：,外力功：,应变能：,能量法/互等定理,2018/10/23,材料力学,45,2.先在2点作用F2,再在1点作用F1,外力功：,外力功：,应变能：,能量法/互等定理,2018/10/23,材料力学,46,变形能只取决于力与位移的最终值，,与加载次序无关,即：,功的互等定理,能量法/互等定理,2018/10/23,材料力学,47,功的互等定理,结构的第一力系在第二力系所引起的弹性位移上所做的功，等于第二力系在第一力系所引

15、起的弹性位移上所做的功。,能量法/互等定理,2018/10/23,材料力学,48,由功的互等定理,位移互等定理,注意：,1.上述互等定理对于所有的线性结构都适用。,2.力和位移应理解为广义力和广义位移。,当F1=F2=F 时,（力与位移成线性关系的结构）,能量法/互等定理,2018/10/23,材料力学,49,例10 试求图示梁在Me的跨中挠度 yC,解：,1.当Me作用时 (第一力系),设想在C点作用F (第二力系),2. 由功的互等定理,3.查表(附录C),能量法/互等定理,2018/10/23,材料力学,50,例11 已知简支梁在均布载荷 q 作用下，梁的中点挠度 。求梁在中点集中力P作用下(见图)，梁的挠曲线与梁变形前的轴线所围成的面积。,能量法/互等定理,2018/10/23,材料力学,51,解：由功的互等定理,能量法/互等定理,