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1、-1-,第四章,线性方程组的解的结构,4.4 线性方程组在几何中的应用,4.3 非齐次线性方程组解的结构,4.2 齐次线性方程组解的结构,4.1 线性方程组解的存在性定理,-2-,4.1 线性方程组解的存在性定理,在前面的章节学习中，我们已经研究的关于线性 方程组的求和存在性问题，本章将在整理前面知识点的同时，深入研究解的性质和解的结构。,-3-,(4-1),(矩阵形式),(向量形式),(原始形式),-4-,非齐次方程组解的存在性定理,对于非齐次方程组,(4-1),向量 可由A的列向量组,线性表示。,-5-,的系数行列式,Cramer法则,则方程组有唯一解,且解为:,(4-2),-6-,齐次方
2、程组解的存在性定理,(4-3),(矩阵形式),(向量形式),(原始形式),-7-,对于齐次方程组,(1),A的列向量组线性无关,(2),A的列向量组线性相关,推论1,当方程的个数m小于未知量的个数n，则(4-3) 必有非零解。,-8-,有非零解,(4-4),学习书P135 例2,-9-,4.2 齐次线性方程组解的结构,(2) 解集的秩是多少?,(3) 解集的最大无关组(又称为基础解系) 如何求?,(1) 解集的特点?,称：,-10-,性质1：若 是(4-3)的解，,性质2：,注：,如果(4-3)只有零解，解空间是零空间。 如果(4-3)有非零解，解空间是非零空间。,性质,推论1,而在解空间中，
3、基的概念我们在这里称为基础解系。,首先回答问题(1),-11-,线性无关；,的任一解都可以由,线性,基础解系,表示,则称,下面我们用一个例子回答第(2)和第(3)个问题， 同时也是定理4.2.1的例证。,( 取任意实数),从而,也是(4-3)的解。,-12-,通过下面的例子, 针对一般的方程组,回答所提问题.,第一步:对系数矩阵 A 初等行变换化行最简形 B,从行最简形能得到什么？,-13-,第二步：写出同解的方程组(保留第一个未知数在方程的左边,其余的都移到右边. 右边的又叫自由变量),自由变量的个数=?,-14-,是解吗?,线性无关吗?,任一解都 可由 表示吗?,是基础解系吗?,基础解系所
4、含向量的个数 = ?,第四步:写出基础解系,再来分析一下基础解系的由来:,第二步的同解方程组为,第三步的通解为,-15-,就是,类似的,这就启发我们, 由于基础解系所含解向量的个数正好等于自由变量的个数(这里3个).,必然是线性无关的, 从而也是基础解系.由此得到解法2.,-16-,第一步:同前,第二步:同前,第三步: 令,第四步:写出通解,-17-,则齐次线性方程组,的基础解系存在，,且每个基础解系中含有,个解向量。,则齐次线性方程组,的任意 个线性无关,的解向量均可构成基础解系。,-18-,设 , 是 的,两个不同的解向量, k 取任意实数, 则 Ax = 0 的通解是,-19-,设 ,证
5、明,证,因此,移项,重要结论,-20-,且线性无关，则_是AX=O的基础解系。,(2),(3),则_可为AX=O的基础解系。,(4),练习,(1),(2),-21-,证明,设 , 首先证明,利用这一结论,证,重要结论,-22-,求一个齐次方程组, 使它的基础解系为,记之为 AB=O ,这相当于要解矩阵方程, 习惯把未知,然后再把这些解拼成 的列( A 的行)即可.,解 得基础解系,设所求的齐次方程组为 , 则,解,-23-,4.3 非齐次线性方程组解的结构,以下总假设,有解, 而其对应的齐次方程组,的基础解系为,这里,-24-,性质,(2) 设 是(1)的解, 是(2)的解,则 仍是(1)的解
6、.,设 是(1)的一个解(固定), 则对(1)的任一解 x,是 (2)的解,从而存在 使得,又形如(3)的向量( 任取)都是(1)的解.,由此得:,(3),注：非齐次方程组的解集不是空间。,-25-,设 是(1)的任一解, 则(1)的通解为,解,-26-,得齐次方程组的基础解系,于是所有通解,即得方程组的一个解,-27-,是 Ax=0 的解,是 Ax=b 的解,-28-,设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3,已知 是它的三个解向量, 且,求该方程组的通解.,解,取 , 则它就是解,从而也是基础解系.,基础解系所含向量个数 = 4 3 = 1,故非齐次方程组的通解为,-29-,自学书P144-145 例2、3、5。,作业： P142,3 P147,2 P155,2 P156,13,14,
