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1、2018/10/22,数字信号处理,第1章 时域离散信号和时域离散系统,1.1 引言 1.2 时域离散信号 1.3 时域离散系统 1.4 时域离散系统的输入输出描述法 线性常系数差分方程 1.5 模拟信号数字处理方法,2018/10/22,数字信号处理,1.1 引言,信号通常是一个自变量或几个自变量的函数。如果仅有一个自变量，则称为一维信号；如果有两个以上的自变量，则称为多维信号。本书仅研究一维数字信号处理的理论与技术。关于信号的自变量，有多种形式，可以是时间、距离、温度、电压等，本书一般地把信号看作时间的函数。,2018/10/22,数字信号处理,本章作为全书的基础，主要学习时域离散信号的表
2、示方法和典型信号、线性时不变系统的因果性和稳定性，以及系统的输入输出描述法，线性常系数差分方程的解法。最后介绍模拟信号数字处理方法。,2018/10/22,数字信号处理,1.2 时域离散信号,对模拟信号xa(t)进行等间隔采样，采样间隔为T，得到,2018/10/22,数字信号处理,这里n取整数。对于不同的n值， xa(nT)是一个有序的数字序列： xa(-T)、 xa(0)、 xa(T)，该数字序列就是时域离散信号。实际信号处理中，这些数字序列值按顺序放在存贮器中，此时nT代表的是前后顺序。为简化，采样间隔可以不写，形成x(n)信号，x(n)可以称为序列。对于具体信号，x(n)也代表第n个序
3、列值。需要说明的是，这里n取整数，非整数时无定义，另外，在数值上它等于信号的采样值，即 x(n)=xa(nT)， -n(1.2.2),2018/10/22,数字信号处理,信号随n的变化规律可以用公式表示，也可以用图形表示。如果x(n)是通过观测得到的一组离散数据，则其可以用集合符号表示，例如： x(n)=1.3,2.5,3.3,1.9,0,4.1,2018/10/22,数字信号处理,1.2.1 常用的典型序列 1. 单位采样序列(n) 1，n=0 0，n0 (1.2.3) 单位采样序列也可以称为单位脉冲序列，特点是仅在n=0时取值为1，其它均为零。它类似于模拟信号和系统中的单位冲激函数(t)，
4、但不同的是(t)在t=0时，取值无穷大，t0时取值为零，对时间t的积分为1。单位采样序列和单位冲激信号如图1.2.1所示。,2018/10/22,数字信号处理,图1.2.1单位采样序列和单位冲激信号 (a)单位采样序列； (b)单位冲激信号,2018/10/22,数字信号处理,2. 单位阶跃序列u(n) 1,n0 0,n0 (1.2.4) 单位阶跃序列如图1.2.2所示。它类似于模拟信号中的单位阶跃函数u(t)。(n)与u(n)之间的关系如下式所示： (n)=u(n)-u(n-1) (1.2.5) (1.2.6) 令n-k=m，代入上式得到,2018/10/22,数字信号处理,图1.2.2 单
5、位阶跃序列,2018/10/22,数字信号处理,3. 矩形序列RN(n) 1, 0nN-1 0， 其它n (1.2.8) 上式中N称为矩形序列的长度。当N=4时，R4(n)的波形如图1.2.3所示。矩形序列可用单位阶跃序列表示，如下式： RN(n)=u(n)-u(n-N) (1.2.9),(1.2.7),RN(n)=,2018/10/22,数字信号处理,图1.2.3 矩形序列,2018/10/22,数字信号处理,4. 实指数序列 x(n)=anu(n)， a为实数 如果|a|1，则称为发散序列。其波形如图1.2.4所示。,2018/10/22,数字信号处理,图1.2.4 实指数序列,2018/
6、10/22,数字信号处理,5. 正弦序列 x(n)=sin(n) 式中称为正弦序列的数字域频率，单位是弧度，它表示序列变化的速率，或者说表示相邻两个序列值之间变化的弧度数。如果正弦序列是由模拟信号xa(t)采样得到的，那么 xa(t)=sin(t) xa (t)|t=nT=sin(nT) x(n)=sin(n),2018/10/22,数字信号处理,因为在数值上，序列值与采样信号值相等，因此得到数字频率与模拟角频率之间的关系为 =T (1.2.10) (1.2.10)式具有普遍意义，它表示凡是由模拟信号采样得到的序列，模拟角频率与序列的数字域频率成线性关系。由于采样频率fs与采样周期T互为倒数，
7、也可以表示成下式：,(1.2.11),2018/10/22,数字信号处理,6. 复指数序列 x(n)=e(+j0)n 式中0为数字域频率，设=0，用极坐标和实部虚部表示如下式： x(n)=e j0n x(n)=cos(0n)+jsin(0n) 由于n取整数，下面等式成立： e j(0+2M)n= e j0n, M=0,1,2,2018/10/22,数字信号处理,7. 周期序列 如果对所有n存在一个最小的正整数N，使下面等式成立： x(n)=x(n+N), -n (1.2.12) 则称序列x(n)为周期性序列，周期为N，注意N要取整数。例如： 上式中，数字频率是/4，由于n取整数，可以写成下式：
8、,2018/10/22,数字信号处理,上式表明 是周期为8的周期序列，也称正弦序列，如图1.2.5所示。下面讨论一般正弦序列的周期性。 设 x(n)=Asin(0n+) 那么 x(n+N) =Asin(0(n+N)+)=Asin(0n+0N+) 如果 x(n+N)=x(n),2018/10/22,数字信号处理,图1.2.5 正弦序列,2018/10/22,数字信号处理,则要求N=(2/0)k，式中k与N均取整数，且k的取值要保证N是最小的正整数，满足这些条件，正弦序列才是以N为周期的周期序列。具体正弦序列有以下三种情况： (1)当2/ 0为整数时，k=1，正弦序列是以2/ 0为周期的周期序列。
9、例如sin(/8)n， 0 =/8，2/ 0 =16,该正弦序列周期为16。,2018/10/22,数字信号处理,(2) 2/ 0不是整数，是一个有理数时，设2/ 0 =P/Q，式中P、Q是互为素数的整数，取k=Q,那么N=P，则正弦序列是以P为周期的周期序列。例如sin(4/5)n， 0 =(4/5)，2/ 0 =5/2，k=2，该正弦序列是以5为周期的周期序列。 (3)2/ 0是无理数，任何整数k都不能使N为正整数，因此，此时的正弦序列不是周期序列。例如， 0 =1/4,sin(0 n)即不是周期序列。对于复指数序列ej0 n的周期性也有同样的分析结果。,2018/10/22,数字信号处理
10、,以上介绍了几种常用的典型序列，对于任意序列，常用单位采样序列的移位加权和表示，即,(1.2.13),式中,(n-m)=,1, n=m 0，nm,2018/10/22,数字信号处理,这种任意序列的表示方法，在信号分析中是一个很有用的公式。例如：x(n)的波形如图1.2.6所示，可以用(1.2.13)式表示成： x(n)=-2(n+2)+0.5(n+1)+2(n)+(n-1)+1.5(n-2)-(n-4)+2(n-5)+(n-6),2018/10/22,数字信号处理,图1.2.6 用单位采样序列移位加权和表示序列,2018/10/22,数字信号处理,1.2.2 序列的运算 在数字信号处理中，序列
11、有下面几种运算，它们是乘法、加法、移位、翻转及尺度变换。 1.乘法和加法 序列之间的乘法和加法，是指它的同序号的序列值逐项对应相乘和相加，如图1.2.7所示。,2018/10/22,数字信号处理,图1.2.7 序列的加法和乘法,2018/10/22,数字信号处理,2. 移位、翻转及尺度变换 设序列x(n)用图1.2.8(a)表示，其移位序列x(n-n0)(当n0 =2时)用图1.2.8(b)表示；当n0 0时称为x(n)的延时序列；当n0 0时，称为x(n)的超前序列。x(-n)则是x(n)的翻转序列，用图1.2.8(c)表示。x(mn)是x(n)序列每隔m点取一点形成的，相当于时间轴n压缩了
12、m倍。当m=2时，其波形如图1.2.8(d)所示。,2018/10/22,数字信号处理,图1.2.8 序列的移位、翻转和尺度变换,2018/10/22,数字信号处理,1.3 时域离散系统,设时域离散系统的输入为x(n)，经过规定的运算，系统输出序列用y(n)表示。设运算关系用T表示，输出与输入之间关系用下式表示： y(n)=Tx(n) (1.3.1) 其框图如图1.3.1所示。,2018/10/22,数字信号处理,图1.3.1 时域离散系统,2018/10/22,数字信号处理,1.3.1 线性系统 满足叠加原理的系统称为线性系统。设x1(n)和x2(n)分别作为系统的输入序列，其输 出分别用y
13、1(n)和y2(n)表示，即 y1(n)=Tx1(n)，y2(n)=Tx2(n) 那么线性系统一定满足下面两个公式： T x1(n)+x2(n)= y1(n)+y2(n) (1.3.2) Ta x1(n)=ay y1(n) (1.3.3),2018/10/22,数字信号处理,满足(1.3.2)式称为线性系统的可加性；满足(1.3.3)式称为线性系统的比列性或齐次性，式中a是常数。将以上两个公式结合起来，可表示成： y(n)=Tax1(n)+bx2(n)=ay1(n)+by2(n) (1.3.4) 上式中，a和b均是常数。,2018/10/22,数字信号处理,例1.3.1 证明y(n)=ax(n
14、)+b(a和b是常数)，所代表的系统是非线性系统。 证明 y1(n)=Tx1(n)=ax1(n)+b y2(n)=Tx2(n)=ax2(n)+b y(n)=Tx1(n)+x2(n)=ax1(n)+ax2(n)+b y(n)y1(n)+y2(n) 因此，该系统不是线性系统。用同样方法可以证明 所代表的系统是线性系统。 ,2018/10/22,数字信号处理,1.3.2 时不变系统 如果系统对输入信号的运算关系T在整个运算过程中不随时间变化，或者说系统对于输入信号的响应与信号加于系统的时间无关，则这种系统称为时不变系统，用公式表示如下： y(n)=Tx(n) y(n-n0)=Tx(n-n0) (1.
15、3.5),2018/10/22,数字信号处理,例1.3.2检查y(n)=ax(n)+b代表的系统是否是时不变系统，上式中a和b是常数。 解 y(n)=ax(n)+b y(n-n0)=ax(n- n0)+b y(n- n0)=Tx(n- n0) 因此该系统是时不变系统。,2018/10/22,数字信号处理,例1.3.3检查y(n)=nx(n)所代表的系统是否是时不变系统。 解 y(n)=nx(n) y(n-n0)=(n- n0)x(n- n0) Tx(n- n0)=nx(n- n0) y(n- n0)Tx(n- n0) 因此该系统不是时不变系统。同样方法可以证明 所代表的系统不是时不变系统。,2018/10/22,数字信号处理,1.3.3 线性时不变系统输入与输出之间的关系 设系统的输入x(n)=(n)，系统输出y(n)的初始状态为零，定义这种条件下系统输出称为系统的单位取样响应，用h(n)表示。换句话说，单位取样响应即是系统对于(n)的零状态响应。用公式表示为 h(n)=T(n) (1.3.6) h(n)和模拟系统中的h(t)单位冲激响应相类似，都代表系统的时域特征。 设系统的输入用x(n)表示，按照(1.2.13)式表示成单位采样序列移位加权和为,
