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1、1降落伞的选择摘 要本文针对降落伞的选择问题建立相应优化模型。首先，对降落伞进行受力分析，根据有关数据进行拟合，得出空气阻力系数。k2.937其次，题中已给出限制降落伞的最大落地速度为 ，所以当速度为 20m/s 时，20m/s伞的承载量最大。建立高度与时间，速度与时间，最大速度，伞面面积（题中已给出可能选购的每种伞的半径）的方程组，分别算出每种伞的最大承载量 。)(rMrm（ ）2 2.5 3 3.5 4)(M150.6787 235.4355 339.0272 461.4536 602.7150再次，运用 软件进行线性规划求解得： 即购买LINGOx1=0,236,x=05.半径 为 3
2、的降落伞 6 个时，降落伞总费用最少为 4932 元。r最后，对所建模型进行评价，并对模型的改进方向提出建议。关键词：线性规划、空气阻力系数、拟合、最大载重量 21 问题重述1.1 背景资料为向灾区空投救灾物资共 ，需选购一些降落伞。20kg1.2 已知信息已知空投高度为 ，要求降落伞落地时的速度不能超过 。降落伞面为半5m20m/s径 的半球面，用每根长 ， 共 16 根绳索连接的载重 的物体位于球心正下方球面rL处，每个降落伞的价格由三部分组成。伞面费用 由伞的半径 决定，见附录【1】 ；1Cr绳索费用 由绳索总长度及单价 4 元/米决定；固定费用 为 200 元。2C3降落伞在降落过程中
3、受到的空气阻力，可认为与降落速度和伞的受力面积的乘积成正比。为了确定阻力系数，用半径 、载重 的降落伞从 高度作降落试验，测得各时刻的r=330kg50高度。见附录【2】1.3 提出问题空气阻力系数，最大载重量，每个降落伞的单价，试根据以上条件确定降落伞的选购方案，即共需多少个，每个伞的半径多大（在附录【1】选择） ，在满足空投要求的条件下，使总费用最低。2 模型的假设1、假设空投物资的瞬时伞已打开。2、空投物资的总数 可以任意分割。20kg3、空气的阻力系数与除空气外的其它因素无关。4、降落伞和绳的质量可以忽略不计。5、假设降落伞只受到竖直方向上的空气阻力作用。3 符号的说明1、 :重力加速
4、度g2、 :降落伞的载重量m3、 :空气阻力系数k4、 :降落伞的表面积s5、 :降落伞的加速度a6、 :降落伞的速度v7、 :降落伞的位移H8、 :降落伞离地高度h 9、 分别为每种伞的个数x1,234,5 4 问题的分析由题可知，每个伞的价格由三部分组成。伞面费用 ，由其半径 r 决定；绳索费1C用 ，由其总长度及单价决定；固定费用 。由图一知绳索的长度又由降落伞的半径2C3，固定费用为定值 200 元。由表一可知每种伞的价格。要确定选购方案，只需rL3知半径（在题中给出的半径中选择）为多大的伞的数量，在满足空投物资要求的条件下使总费用最少。因此，首先确定每种伞的最大承载量。然后进行线性规
5、划，最后确定最低总费用和每种伞的个数。要确定最大载重量，需对降落伞进行受力分析（如图 2） 。降落伞在降落过程中除受到竖直向下的重力作用外还受到竖直向上的空气阻力的作用，由题可知空气阻力又与阻力系数、运动速度、伞的受力面积有关。运动速度和受力面积是已知的，所以要想确定每种伞的最大承载量，就必须先要确定空气阻力系数。图 1 图 2 受力分析对图 2 的分析可知降落伞的运动状态是做加速度趋近于 0 的加速运动。因此，可建立一个位移与时间的函数关系式，再根据题中所给的数据拟合出阻力系数 k 的值。然后再建立一个速度与时间的函数关系式，两个关系式联立求解出最大载重量（其中高度和速度由题目已经给出） 。
6、最后用 软件进行线性规划算出问题要的结果。LINGO5 建模与求解5.1 首先确定阻力系数 K为了方便对物资进行受力分析，我们把降落伞和物资看作一个整体如图 2。由假设可知物体 只受到竖直向上的空气阻力和竖直向下的重力作用。又由题可知空气阻力A与降落速度 和伞的受力面积 的乘积成正比。则物体 在竖直方向上受到的合外力为：vSAkSvmgF合由运动学方程： a合得 mkSvgF合由物体位移 H 和时间的二次微分等于加速度建立方程得:kvtdH2用 解微分方程得：(见附录【3】)MATLB422)( SkgmteSkgmtHtk则 2250)( kteSkgmthtk题目已经给 t-h 数据为：时
7、刻 ts（ ） 0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30高度 （ ） 500 470 425 372 317 264 215 160 108 55 1对给定的数据以 为拟合函数进行拟合， ,得出)(thr=3m,0kg,=9.8 。 （见附录【4】 ）k=2.9375.2 求解最大承载量用速度对时间的微分等于加速度，且 建立方程组得：vkSgdt0用 解得(见附录【5】)MATLBm()ksStgVte由前面的 和 函数建立方程组得：)(tHvhHrSskgmeskgttvtkst502)( 22最大载重量取伞在下降到地面的瞬间达到最大速度k=2.937,g.8r=2 .3 4
8、，此时 ，由方程组调用 分别解得半径为 r 的降落伞在smtv/0)(50)(t MATLB满足空投条件下的最大载重量 如下表：（见附录【6】 ）)(r表 1 最大载重量 )(rM（ ）2 2.5 3 3.5 4150.6787 235.4355 339.0272 461.4536 602.715055.3 线性规划求解数量和费用由分析可知每种伞的单价： 321C由题可知 为:1Crm（ ）2 2.5 3 3.5 4费用（元） 65 170 350 660 1000为：2 42162rC为固定值即：3C03由以上数据求得，如：表 2 每种伞的单价 rm（ ）2 2.5 3 3.5 4单价 C4
9、46.1 596.3 821.5 1176.8 1562取整 446 596 822 1177 1562我们设每种伞分别取 个,则其目标函数为：x1,345z=46x1+5928+7162x对其进行优化求解 z 的最小值，就是所需的最小费用。由分析可知其限制条件如下：s.t 03x405=;(x1;2:45)N ;用 LINGO 求解得（程序见附件【7】）。x1=0,236,x4=05最少总费用为4932元。6 模型的评价 改进 推广6.1 模型的评价优点 （1）本模型的求解过程大量的运用了电脑软件，使得计算更加精确。（2）模型原理简单明了，容易理解与灵活运用6（3）模型的建立中有成熟的理论基
10、础和利用专业的 软件进行求解，可MATLB信度较高。缺点 (1)本模型未考虑降落伞打开的时间，将其假设成在下降时伞就已经打开。(2)由于在实际生活中降落伞还受到风向的影响，本模型假设的是理想的状态下（无风）(3)在实际生活中载重物也受空气阻力的影响，本模型假设的是理想状态中（载重物随意分割） 。6.2 模型的改进由于本模型假设的是在物资抛落的瞬时伞已打开，而在实际情况中物资抛落后应有一段自由落体运动，载重物还受空气阻力影响，降落伞降落过程中受风向的影响。在模型的改进时应考虑到这三点，以便让模型更切合实际。6.3 模型的推广本案例建立的优化模型解决了降落伞费用最少的问题。因此，本模型还可应用与其
11、他类似，如：生产成本最低，利润最高等方面的问题,只需稍微改动模型即可。7 参考文献1、 数学实验萧树铁主编 高等教育出版社 1999.72、孙祥 徐流美 吴清编著MATLAB7.0 基础教程 清华大学出版社 2005.53、 姜启源 谢金星 叶俊编数学模型高等教育出版社 2003.84、于义良总主编， 运筹学 ，中国人民大学出版社，2004.378 附录附录【1】伞面费用 1Crm（ ）2 2.5 3 3.5 465 170 350 660 1000附录【2】各时刻 与高度 的关系tx时刻 s（ ） 0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30高度 h（ ） 500 470 425
12、 372 317 264 215 160 108 55 1附录【3】求解位移的程序H=dsolve(m*D2H+k*S*DH=m*g,H(0)=0,DH(0)=0,t)解得：g/k2/S2*m2*exp(-k*S/m*t)+g/k/S*m*t-1/k2/S2*m2*g附录【4】拟合 k 程序建立一个名为 myfun 的 m 文件function F=myfun(x,xdata)s=2*pi*32;m=300;g=9.8;F=500-m2*g/(x(1)2*s2)*exp(-x(1)*s*xdata/m)-m*g*xdata/(x(1)*s)+m2*g/(x(1)2*s2);在 matlab c
13、ommand window 中输入下列命令：xdata=0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30;ydata=500 470 425 372 317 264 215 160 108 55 1 ;x0=1;x=lsqcurvefit(myfun,x0,xdata,ydata)附录【5】求解速度程序dsolve(m*Dv+k*S*v-m*g=0,v(0)=0,t)解得：V(t)=g/k/s*m-exp(-k*s/m*t)*g/k/s*m 附录【6】 求最大载重量在 matlab 中建立一个名为 myfun 的 m 文件，如下：function F=myfun(x)r=2;g=9.8
14、;k=2.9377;s=2*pi*r2;的最F=x(1)2*g/(k2*s2)*exp(-k*s*x(2)/x(1)+x(1)*g*x(2)/(k*s)-x(1)2*g/(k2*s2)-500;8g*x(1)/(k*s)-g*x(1)/(k*s)*exp(-k*s*x(2)/x(1)-20;在 matlab 中 command window 中输入以下命令：量 M(r)r（m） 2 2.5 3 3.5 4x0 = 1; 1; % 初始点options=optimset(Display,iter); % 显示输出信息x = fsolve(myfun,x0,options)在 m 文件中更改 r
15、的值，然后在命令窗口重复输入以上命令就可分别求出不同半径的降落伞大载重量。如下：最大载重 m 150.6787 235.4355 339.0272 461.4536 602.7150附录【7】优化求解min=446*x1+596*x2+822*x3+1177*x4+1562*x5;150*x1+235*x2+339*x3+461*x4+602*x5=2000;x1=0;x2=0;x3=0;x4=0;x5=0;gin(x1);gin(x2);gin(x3);gin(x4);gin(x5);求解得：Global optimal solution found.Objective value: 4932.000Extended solver steps: 0Total solver iterations: 0Variable Value Reduced CostX1 0.000000 446.0000X2 0.000000 596.0000X3 6.000000 822.0000X
