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1、高等数学 颜 谨 ,欢迎你们！ 计软2011三班、四班的同学们!,它是学习其它专业课所必须 的基础知识，也是解决科学 技术问题的重要工具,初等数学常量数学 高等数学变量数学,高等数学是一门基础理论课，,高等数学的研究内容：,高等数学的特点：,以大学本科所学为限，它主要包含： 解析几何：用代数方法研究几何，其中平面解析几何部分内容已放到中学。 线性代数：研究如何解线性方法组及有关的问题。 高等代数：研究方程式的求根问题。 微积分：研究变速运动及曲边形的求积问题等。 概率论与数理统计：研究随机现象，依据数据进行 推理。,高度的抽象性、严密的逻辑性和广泛的应用性。,首先，理解概念。概念反映的是事物的
2、本质,弄清楚它是如何定义的、有什么性质。,高等数学的学习方法：,其次，掌握定理。定理是一个正确的命题，分为条件和结论两部分。对于定理除了要掌握它的条件和结论以外，还要搞清它的适用范围，做到有的放矢。,第三,在弄懂例题的基础上作适量的习题。,第四，理清脉络。要对所学的知识有个整体的把握，及时总结知识体系，,所用的工具是极限，函数的性质连续。,函数 极限 连续,微积分研究的对象是函数，,微积分的历史：牛顿，莱布尼茨 calculus,微积分的研究内容：,第1章 函数、极限和连续,对给定的数a及任意的正数，称集合 为点a的邻域，记作,1.1 函数,1.集合 2.区间 3.绝对值 4.邻域,邻域表示方
3、法:,一、基本概念,点a的去心邻域:,设在某变化过程中有两个变量x和y,变量x在,如果对D中每个确定的x，,给定的数集D中取值，,变量y按照一定的法则总有唯一确定的数值,1.定义1.1.1,与之对应，则称变量y是变量x的函数，记作,D:定义域，x自变量，y：因变量,二.函数概念,y=f(x),3.单值函数，多值函数,2.绝对值函数，分段函数，,二.性质,三.反函数,其定义域为D,值域为W，,有界性、,单调性、,奇偶性、,周期性,记作 x=f-1(y),给定函数y=f(x)，,如果对于W中任一值y=y0，,必定在D中有唯一的x0,使f(x0)=y0,我们说在W上确定了y=f(x)的反函数，,定义
4、1.1.2,四.初等函数,1.基本初等函数(六种),（1）常数函数,（6）反三角函数,（3）指数函数,（5）三角函数,（2）幂函数,（4）对数函数,由F(x,y)=0 确定的函数y=f(x),6.隐函数,2.复合函数,若函数y=f(u)，而u=g(x)，且u=g(x),的值域包含在y=f(u)的定义域内，,则通过变量u ,y就是x的函数，,记作 y=fg(x),而 u 称为中间变量,称这个函数为y=f(u)及u=g(x)复合而成的复合函数,3.初等函数,由基本初等函数通过有限次四则运算及有限次复合步骤所构成的且能用一个解析式子表示的函数,均为初等函数,研究复合函数，经常需要将一个复合函数分解成
5、几个简单函数的形式。,例 分解复合函数,为几个简单函数的形式,2.极坐标方程,圆心在O，半径为a的极坐标方程：r=a,3.极坐标与直角坐标系的关系,五、 极坐标,1.极坐标系,圆心在（a,0)，半径为a的极坐标方程：,1.2 极限,1.数列的极限,按照一定顺序排列出来的一列数,记作,称为数列,数列中的每一个数叫作数列的项,第n 项un 叫作通项,一、极限的概念,例如,一尺之棒，,日取其半，,万世不竭。,庄子天下篇载一段话,即,一尺长的木棒,每天取下它的一半,每天取下它的长度是一个数列,当n时,无限趋于常数0,但永远不等于0.,这就是万世不竭.,极限的概念是求实际问题的精确解答而产生的。 数学家
6、刘徽(公元三世纪)的割圆术 ：通过作圆的内接正多边形，近似求出圆的面积。,首先作圆内接正六边形，把它的面积记为A1 ；,当内接正多边形的边数无限增加时， An也无限接近某一确定的数值(圆的面积)，这个确定的数值在数学上被称为数列A1 ， A2 ， An ， 当n的极限,数列的极限的产生,再作圆的内接正十二边形，其面积记为A2；,再作圆的内接正二十四边形，其面积记为A3 ；,依次循下去可得一系列内接正多边形的面积： A1 ， A2 ， An ，：有序数列。,定义1.2.1,则称数列xn,或（ ）,记为,若数列xn没有极限，则称数列xn发散。,设xn是一个数列，a为常数，,如果对于任意给定的正数
7、，,总可以找到正整数 ，使得当 时，,恒有,当 时以 a为极限，,几何意义：,总存在着整数N，,使当 时所有的点xn,都落在点a的 邻域 之内，,而只有有限个（至多 个）落在邻域之外,定义1.2.1,例 证明,分析：,证,例 证明,证：因,要使,若取正整数,由定义知结论成立,定义1.2.2,2. 函数的极限,(1).自变量趋于无穷大时函数的极限,几何意义,例 证明,分析,由定义知结论成立,则得数列极限的定义。,特例 数列极限,结论,当x 取自然数n.,设函数f(x)在x0的某邻域内有定义，,记作,（ 可除外）a为一常数，,(2).自变量趋于有限值时的函数极限,定义1.2.3,例 证明,证 对于
8、任意给定的正数,因为,欲使,只要,注 意,1） 意为从 x0 两侧无限接近x0,2）即使函数f(x)在x0点无定义，仍可考虑,的存在问题,思考 ：若函数f(x) 在x0 有定义,3）由定义知： ，x0 为任意实数,是否一定成立,设函数f(x)在x0的右方某邻域内有定义，a为一常数。,记作,左右极限,定义1.2.4,例 5,例 6,（3）函数极限和数列极限的关系,定理1.2.4 （极限的保序性）,定理1.2.2 （极限的唯一性）,如果,又,则必有A=B,3. 数列极限的性质,定理1.2.3 （数列收敛的必要条件）,收敛数列必有界,推论 无界数列必发散,定理1.2.5 （极限的保号性）,推论,4.
9、 函数极限的性质,定理1.2.6 （极限的唯一性）,定理1.2.7（极限存在的必要条件）,定理1.2.8 （极限的保序性）,定理1.2.9 （极限的保号性）,注意 不要把无穷小与很小的数混为一谈！,定义1.2.5,5.无穷小与无穷大,注：,1）无穷小是一个变量，而不是绝对值很小的常数,因而0是无穷小,2）特别地，当 时，满足无穷小的定义，,3）当 （或 ）时，,函数与零无限制地逼近,定义1.2.6,定理1.2.10,问题：无穷大量与无界函数有什么区别？,2、无穷大,二、极限的运算法则与性质,定理1.2.2,推论1,1、极限的运算法则,1）若有限个函数的极限存在，,2）上面各定理对于数列同样正确
10、,3）上面各定理的极限过程为 或,注 1）,例1,若,则和的极限 等于极限的和,注意：,若,且,则,例2,注 2）,注 3）,若,则,则应消去零因子后，再求极限,例3,例4,注 5）,对于无理分式，若是,先恒等变形，再求极限,例5,例6,例7,例8,注 6）,例9,(3) 有界函数与无穷小之积仍为无穷小.,无穷大量与无穷小量的乘积是否为无穷大？,思考：无穷大量与无穷小量的乘积是否为无穷小？,2、无穷小的运算性质,推论 (1) 有限个无穷小的代数和仍为无穷小.,(2) 有限个无穷小的乘积仍为无穷小.,复合函数的极限运算法则,定理1.2.3 设,例9,有关数列极限的题目,例10,例11,例12,1
11、.3 极限存在准则 两个重要极限,一、极限存在准则,准则1*,准则1,如果数列 及 满足下列条件,则数列 的极限存在且,（夹逼准则）,例1,xn,单调有界数列必有极限.,单调增数列,单调减数列,单调数列的变化趋势,例2,准则,二、两个重要极限,由数学归纳法证明得,证：作单位圆,则SAOB,即,交OB的延长线于D,由于,所以,过点A 作圆的切线,SAOD,0,设 nxn+1.,有界，由准则，此数列 有极限。,再考虑x-,设 x=-(y+1),则,结论：,例2,例3,例1,注意,例1,例4,无穷小的比较,一、无穷小的比较,定义1.2.7,二、无穷小主部和无穷小的阶,例1,例2,三、等价无穷小代换定
12、理,定理1.3.1,定理1.3.1证,定理1.3.2,例3 求,例4,注意 等价无穷小代换不能在加减法中适用.,例,总 结,1.4 连续,一、函数的连续性,注意,增量,定义1.4.1,二.函数连续的定义,反之,称函数在 x0 处间断,且将x0叫作函数的间断点,连续性的等价定义,定义,例2,例3,三、间断点,定义3,间断点分类,例,例5,二、连续函数的运算法则,定理1.4.1 和差积商的连续性,定理1.4.2 反函数的连续性,复合函数的连续性,例6,即 若,则,定理1.4.3,初等函数连续性,1、基本初等函数在其定义域上连续.,2、初等函数在其定义区间上连续.,3、初等函数在其定义区间上求极限即
13、求该点的函数值.,4、初等函数求连续区间即求定义区间.,例7,三、 闭区间上连续函数的性质,1、最大值和最小值定理,定义,最大值和最小值.,定理1.4.4 (最大值和最小值定理),在闭区间上连续的函数在该区间上一定有,几何说明：,例如 在 上连续但无最大最小值,1）若 在开区间 上连续，,注意：,2）若 在 上有定义，但有间断点，,则在区间 上不一定达到最大值。,则 在区间 上不一定达到最大最小值。,例如,3）最大值最小值可能不唯一,4）最大值最小值可在区间内或区间端点处取得,5）定理仅指出最值的存在，并没指出在何处取得。,推论（有界性定理）,推广：,2、介值定理,定理1.4.5(介值定理),推论1 在闭区间上连续的函数,推论2 (根的存在定理,零点定理),必取得介于其最大值与最小值之间的任何值.,例2,
