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1、数学数学必修必修 2(苏教版苏教版)第第 1 章立体几何初步章立体几何初步11 空间几何体空间几何体11.1 棱柱、棱锥和棱台棱柱、棱锥和棱台诗云：诗云：“锥顶柱身立海天，高低大小也浑然。平行垂直皆风景，锥顶柱身立海天，高低大小也浑然。平行垂直皆风景，有角有棱足壮观。有角有棱足壮观。 ”在我们生活的大千世界中，各式建筑物中都蕴含在我们生活的大千世界中，各式建筑物中都蕴含着形状各异的棱柱、棱锥和棱台等多面体，它们各自具有不同的几着形状各异的棱柱、棱锥和棱台等多面体，它们各自具有不同的几何结构特征何结构特征1一般地，我们把由一般地，我们把由一些平面多边形围成的几何体一些平面多边形围成的几何体叫做多
2、面叫做多面体体围成多面体的各个多边形围成多面体的各个多边形叫做多面体的面；叫做多面体的面；相邻两个面的公共相邻两个面的公共边边叫做多面体的棱；叫做多面体的棱；棱与棱的公共点棱与棱的公共点叫做多面体的顶点，多面体至叫做多面体的顶点，多面体至少有少有四四个面个面2把一个多面体的任意一个面延展为平面，如果其余的各个面把一个多面体的任意一个面延展为平面，如果其余的各个面都在这个平面的同一侧，这样的多面体叫做都在这个平面的同一侧，这样的多面体叫做凸多面体凸多面体3由一个平面多边形沿某一方向平移形成的空间几何体叫做由一个平面多边形沿某一方向平移形成的空间几何体叫做棱棱柱柱，平移起止位置的两个面叫做，平移起
3、止位置的两个面叫做底面底面，简称底；其余各面叫做棱柱，简称底；其余各面叫做棱柱的的侧面侧面；相邻两个侧面的公共边叫做棱柱的；相邻两个侧面的公共边叫做棱柱的侧棱侧棱；侧面与底面的公；侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的共顶点叫做棱柱的顶点顶点4棱柱按照底面边数分类：底面是棱柱按照底面边数分类：底面是三角形三角形、四边形四边形、五边形五边形的的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱5棱柱的结构特征：棱柱的结构特征：两个底面两个底面互相平行互相平行；侧棱都侧棱都互相平行互相平行；棱柱的各侧棱棱柱的各侧棱相等相等，各侧面都是，各侧面都是平行四边形平行四边形6一般地，一个面是多边
4、形，其余各面都是一般地，一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点有一个公共顶点的的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥多边形面叫做棱锥的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥多边形面叫做棱锥的底面底面，有公共顶点的各个三角形叫做棱锥的，有公共顶点的各个三角形叫做棱锥的侧面侧面，各侧面的公共顶，各侧面的公共顶点叫做棱锥的点叫做棱锥的顶点顶点，相邻侧面的公共边叫做棱锥的，相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱侧棱7棱锥按底面边数分类，底面是三角形、四边形、五边形的棱棱锥按底面边数分类，底面是三角形、四边形、五边形的棱锥分别叫做锥分别叫做三棱锥三棱锥、四棱锥四棱锥、五棱锥五棱锥8棱锥的结构特征：棱锥的结
5、构特征：有一个面有一个面(底面底面)是是多边形多边形；其余各面其余各面(侧面侧面)是是有有一个公共顶点的三角形一个公共顶点的三角形9用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的底面和截面之间的部分部分叫做棱台原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的叫做棱台原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底下底面和上底面面，其余各面叫做棱台的，其余各面叫做棱台的侧面侧面，底面与侧面的公共点叫做棱台的，底面与侧面的公共点叫做棱台的顶顶点点，相邻侧面的公共边叫做棱台的，相邻侧面的公共边叫做棱台的侧棱侧棱10棱台的侧棱的延长线棱台的侧棱的延长线相交于一点相交于一点一、棱柱
6、的结构特征一、棱柱的结构特征棱柱的结构特征有：棱柱的结构特征有：两个底面互相平行；两个底面互相平行；侧棱都互相平行；侧棱都互相平行；棱柱的各侧棱相等，各侧面都是平行四边形棱柱的各侧棱相等，各侧面都是平行四边形学习时要从相关概念、表示及分类上进行，特别要注意平行六学习时要从相关概念、表示及分类上进行，特别要注意平行六面体、直平行六面体、长方体、正四棱柱、正方体这五种特殊棱柱面体、直平行六面体、长方体、正四棱柱、正方体这五种特殊棱柱的区别与联系谨记：有两个面互相平行，其余各面都是平行四边的区别与联系谨记：有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体不一定是棱柱；棱柱的任何两个面并不都可以作为棱
7、柱形的几何体不一定是棱柱；棱柱的任何两个面并不都可以作为棱柱的底面的底面二、棱锥的结构特征二、棱锥的结构特征棱锥的结构特征有：棱锥的结构特征有：有一个面有一个面(底面底面)是多边形；是多边形；其余的各其余的各面面(侧面侧面)是有一个公共顶点的三角形是有一个公共顶点的三角形理解、掌握棱锥的结构特征时要从认识侧面、顶点、侧棱、底理解、掌握棱锥的结构特征时要从认识侧面、顶点、侧棱、底面、高入手，以棱锥的记法、棱锥的分类进行归纳整理，类比平面面、高入手，以棱锥的记法、棱锥的分类进行归纳整理，类比平面几何的相关性质对知识和方法进行拓宽，如由多边形相似的定义，几何的相关性质对知识和方法进行拓宽，如由多边形
8、相似的定义，容易得到：截面与底面面积的比等于相似比的平方，等于所截得的容易得到：截面与底面面积的比等于相似比的平方，等于所截得的小棱锥与大棱锥对应高的比的平方同学们要谨记：小棱锥与大棱锥对应高的比的平方同学们要谨记：正棱锥的底正棱锥的底面是正多边形，并且顶点在过正多边形中心且垂直于底面的直线上；面是正多边形，并且顶点在过正多边形中心且垂直于底面的直线上；“有一个面是多边形，其余各面都是三角形有一个面是多边形，其余各面都是三角形”的多面体不一定是的多面体不一定是棱锥棱锥三、棱台的结构特征三、棱台的结构特征正棱锥被平行于底面的平面所截，截得的棱台是正棱台，主要正棱锥被平行于底面的平面所截，截得的棱
9、台是正棱台，主要结构特征有：结构特征有：两个底面平行且相似；两个底面平行且相似；侧棱侧棱(母线母线)延长线相交于延长线相交于一点；一点；各侧面是全等的梯形各侧面是全等的梯形理解棱台的结构特征要从棱台的定义及相关概念、棱台与棱锥理解棱台的结构特征要从棱台的定义及相关概念、棱台与棱锥的转化关系两个方面展开的转化关系两个方面展开基基础础巩巩固固知识点一知识点一 棱柱的结构特征棱柱的结构特征1下列命题正确的是下列命题正确的是_(填序号填序号)有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体叫做棱柱；有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体叫做棱柱；棱柱中互相平行的两个面叫做棱柱的底面；棱柱中互相平行的
10、两个面叫做棱柱的底面；棱柱的侧面是平行四边形，底面不是平行四边形；棱柱的侧面是平行四边形，底面不是平行四边形；棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形解析解析：根据棱柱的定义可知根据棱柱的定义可知正确正确答案：答案：2一个棱柱至少有一个棱柱至少有_个面，它既叫做个面，它既叫做_面体，又面体，又叫叫_棱柱棱柱解析解析：根据棱锥的特征判断根据棱锥的特征判断答案答案：五五 五五 三三3如下图所示的图形中，不可能是正方体的展开图的是如下图所示的图形中，不可能是正方体的展开图的是(C)解析解析：根据正方体的结构特征沿不同的棱剪开展在一个平面内根据正方体的结构特征沿不同的棱
11、剪开展在一个平面内对照对照知识点二知识点二 棱锥的结构特征棱锥的结构特征4下列说法正确的是下列说法正确的是_(填序号填序号)底面是正方形的棱锥是正四棱锥；底面是正方形的棱锥是正四棱锥；各条侧棱都相等的棱锥是正棱锥；各条侧棱都相等的棱锥是正棱锥；底面是正三角形，其余各个面是等腰三角形的三棱锥一定是底面是正三角形，其余各个面是等腰三角形的三棱锥一定是正三棱锥；正三棱锥；正四面体是正三棱锥正四面体是正三棱锥解析解析：根据定义判定根据定义判定答案答案：5若一个三棱锥的侧棱长都相等，则棱锥顶点在底面的射影是若一个三棱锥的侧棱长都相等，则棱锥顶点在底面的射影是底面三角形的底面三角形的_心心解析解析：侧棱在
12、底面的射影也相等侧棱在底面的射影也相等答案答案：外外6在四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多有在四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多有_个个解析解析：从长方体中寻找四棱锥模型从长方体中寻找四棱锥模型答案答案：4知识点三知识点三 棱台的结构特征棱台的结构特征7下列三个命题，其中正确的有下列三个命题，其中正确的有_个个用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台；用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台；两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱有两个面互相平行，其余四个面
13、都是等腰梯形的六面体是棱台台解析解析：由棱台定义知由棱台定义知 3 个命题均不正确个命题均不正确答案答案：0能能力力升升级级综合点一综合点一 空间图形与平面图形的转化空间图形与平面图形的转化8把下图中正三角形按虚线折起，可以得到一个把下图中正三角形按虚线折起，可以得到一个_解析解析：想象或试着做一下模型均可想象或试着做一下模型均可答案答案：三棱锥三棱锥综合点二综合点二 根据多面体的结构进行计算根据多面体的结构进行计算9一个长方体过同一顶点的三个面的面积分别为一个长方体过同一顶点的三个面的面积分别为， ， ，这，这2 23 36 6个长方体的对角线的长是个长方体的对角线的长是_解析解析：设三边分
14、别为设三边分别为 a，b，c，则，则 ab，bc，ca，236解得：解得：a，b1，c，对角线长为对角线长为23.a2b2c21236答案答案：6 610两个完全相同的长方体，长、宽、高分别为两个完全相同的长方体，长、宽、高分别为 5 cm，4 cm，3 cm，把它们重叠在一起组成一个新长方体，在这些新长方体，把它们重叠在一起组成一个新长方体，在这些新长方体中，求最长的对角线的长度中，求最长的对角线的长度解析：解析：当一个长方体放在另一个长方体的上方时，这时新的长当一个长方体放在另一个长方体的上方时，这时新的长方体的对角线长方体的对角线长d1(cm)；5242（ （33） ）277当一个长方体
15、放在另一个长方体的右边时，这时新的长方体的当一个长方体放在另一个长方体的右边时，这时新的长方体的对角线长对角线长d25(cm)；（ （55） ）242325当一个长方体放在另一个长方体的前方时，这时新的长方体的当一个长方体放在另一个长方体的前方时，这时新的长方体的对角线长对角线长d37(cm)52（ （44） ）2322综上可知，新长方体中，最长的对角线的长度为综上可知，新长方体中，最长的对角线的长度为 5 cm.511如下图，已知正四棱锥如下图，已知正四棱锥 VABCD 的底面面积为的底面面积为 16，一条侧，一条侧棱长为棱长为 2，点，点 E 是是 BC 的中点，计算它的高和斜高的中点，计算它的高和斜高1 11 1解析：解析：正方形正方形 ABCD 的面积为的面积为 16，边长为边长为 4，OB2.2又侧棱长为又侧棱长为 2，11VO6.（ （2 11） ）2（ （2 2） ）2又又 OE2，斜高斜高
