《【同步测控 优化设计】2015-2016学年高二人教a版数学选修2-1练习：2.4.2抛物线的简单几何性质 word版含答案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《【同步测控 优化设计】2015-2016学年高二人教a版数学选修2-1练习：2.4.2抛物线的简单几何性质 word版含答案（4页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2.4.2 抛物线的简单几何性质课时演练课时演练促提升促提升A 组1.已知抛物线关于 x 轴对称,它的顶点在坐标原点 O,并且经过点 M(2,y0).若点 M 到该抛物线 焦点的距离为 3,则|OM|=( ) A.2B.2C.4D.2 解析:由题意设抛物线方程为 y2=2px(p0),则点 M 到焦点的距离为 xM+=2+=3,p=2.抛物线方程为 y2=4x. 点 M(2,y0)在抛物线 y2=4x 上,=42.y0=2. |OM|=2. 答案:B 2.设抛物线 y2=8x 的准线与 x 轴交于点 Q,若过点 Q 的直线 l 与抛物线有公共点,则直线 l 的 斜率的取值范围是( ) A.B.
2、-2,2 C.-1,1D.-4,4 解析:设直线方程为 y=k(x+2),与抛物线方程联立,得 消去 x,得到关于 y 的方程 ky2-8y+16k=0. 当 k=0 时,上述方程有解,所以直线与抛物线有公共点; 当 k0 时,应有 0,即 64-64k20,解得-1k1 且 k0. 综上可知,l 斜率的取值范围是-1,1. 答案: C 3.经过抛物线 y2=2px(p0)的焦点作一直线交抛物线于 A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则的值是( ) A.4B.-4C.p2D.-p2 解析:采用特例法,当直线与 x 轴垂直时,易得 A,B,故=-4. 答案:B 4.已知抛物线 y2=4x 的
3、焦点为 F,过点 F 且倾斜角等于的直线与抛物线在 x 轴上方的曲线交 于点 A,则|AF|的长为( ) A.2B.4C.6D.8 解析:由已知得直线 AF 的方程为 y=(x-1). 代入 y2=4x,得 3x2-10x+3=0, 解得 x=3 或 x=. 当 x=3 时,y=2; 当 x=时,y=-, 则 A(3,2),故|AF|=3+1=4. 答案:B 5.过抛物线 y2=2px 的焦点 F 的直线与抛物线交于 A,B 两点,若 A,B 在准线上的射影为 A1,B1, 则A1FB1等于( )A.45B.90C.60D.120 解析:如图,由抛物线定义知 |AA1|=|AF|,|BB1|=
4、|BF|,所以AA1F=AFA1. 又因为AA1F=A1FO, 所以AFA1=A1FO, 同理BFB1=B1FO, 所以AFA1+BFB1=A1FO+B1FO=A1FB1.故A1FB1=90. 答案:B 6.AB 是过抛物线 x2=4y 焦点的弦,且|AB|=10,则 AB 的中点的纵坐标为 . 解析:设 A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|=y1+y2+p=y1+y2+2=10,即 y1+y2=8,故 AB 的中点的纵坐标为 4. 答案:4 7.以抛物线 y2=8x 上的任意一点为圆心作圆与直线 x+2=0 相切,则这些圆必过一定点,则这一 定点的坐标是 . 解析:直线 x+2=0
5、 即为抛物线的准线,依题意,圆心在抛物线上,圆心到准线的距离应等于它到 定点的距离,该定点必为抛物线的焦点(2,0). 答案:(2,0) 8.正三角形的一个顶点位于坐标原点,另外两个顶点在抛物线 y2=2px(p0)上,求这个正三角 形的边长. 解:如图,设正三角形 OAB 的顶点 A,B 在抛物线上,且坐标分别为 A(x1,y1),B(x2,y2),则=2px1,=2px2.OA=OB, 即+2px1-2px2=0, 整理得(x1-x2)(x1+x2+2p)=0.x10,x20,2p0, x1=x2.由此可得|y1|=|y2|,即线段 AB 关于 x 轴对称.由此得AOx=30, y1=x1
6、.与=2px1联立,解得 y1=2p, AB=2y1=4p. 9.已知抛物线的顶点在原点,x 轴为对称轴,经过焦点且倾斜角为的直线 l,被抛物线所截得的 弦长为 6,求抛物线的标准方程. 解:当抛物线焦点在 x 轴正半轴上时, 可设抛物线标准方程是 y2=2px(p0), 则焦点 F,直线 l 为 y=x-. 设直线 l 与抛物线的交点 A(x1,y1),B(x2,y2), 过 A,B 分别向抛物线的准线作垂线 AA1,BB1,垂足分别为 A1,B1, 则|AB|=|AF|+|BF|=|AA1|+|BB1|=x1+x2+p=6,故 x1+x2=6-p. 由消去 y,得=2px, 即 x2-3p
7、x+=0,则 x1+x2=3p. 代入式,得 3p=6-p,解得 p=. 故所求抛物线的标准方程是 y2=3x. 当抛物线焦点在 x 轴负半轴上时,用同样的方法可求出抛物线的标准方程是 y2=-3x.B 组1.设抛物线 C:y2=4x 的焦点为 F,过点 F 作直线交抛物线 C 于 A,B 两点,则AOB 的最小面积 是( ) A.B.2C.4D.1 解析:设 AB 的倾斜角为 ,由弦长公式得|AB|=. 原点 O 到直线 AB 的距离 d=sin ,SAOB=sin . 当 sin =1 时,(SAOB)min=2,故选 B. 答案:B 2.已知抛物线 C:y2=8x 的焦点为 F,准线与
8、x 轴的交点为 K,点 A 在 C 上且|AK|=|AF|,则AFK 的面积为 . 解析:如图,y2=8x 的焦点 F(2,0),准线 x=-2,K(-2,0).作 AHKH 交准线于点 H,则|AH|=|AF|.|AK|=|AF|,则|AK|=|AH|, AHK 为等腰直角三角形,则AFK 为等腰直角三角形,|AF|=|KF|=4. SAFK=|AF|KF|=8. 答案:8 3.在直角坐标系 xOy 中,已知抛物线 y2=2px(p0),过点(2p,0)作直线交抛物线于 A(x1,y1), B(x2,y2)两点,给出下列结论:(1)OAOB;(2)AOB 的最小面积为 4p2;(3)x1x2
9、=-4p2.其中正确的 结论是 . 解析:设直线 AB 的方程为 x=my+2p,代入 y2=2px, 得 y2-2pmy-4p2=0,y1+y2=2pm,y1y2=-4p2. x1x2=(my1+2p)(my2+2p)=m2y1y2+2pm(y1+y2)+4p2. y1y2+x1x2=-4p2+m2(-4p2)+2pm(2pm)+4p2=0. OAOB.SAOB=|2p|y1-y2|. 而|y1-y2|= =, 显然,当 m=0 时,|y1-y2|min=4p,=4p2. 故(1)(2)正确;y1y2=-4p2,x1x2=4p2.故(3)不正确. 答案:(1)(2)4.RtAOB 的三个顶点
10、都在抛物线 y2=2px 上,其中直角顶点 O 为原点,OA 所在直线的方程 为 y=x,AOB 的面积为 6,求该抛物线的方程. 解:因为 OAOB,且 OA 所在直线的方程为 y=x, 所以 OB 所在直线的方程为 y=-x. 由得点 A 坐标, 由得点 B 坐标为(6p,-2p). |OA|=|p|,|OB|=4|p|,SOAB=|OA|OB|=p2=6, 所以 p=. 即该抛物线的方程为 y2=3x 或 y2=-3x. 5.抛物线 y=-与过点 M(0,-1)的直线 l 相交于 A,B 两点,O 为坐标原点,若直线 OA 和 OB 的斜 率之和为 1,求直线 l 的方程. 解:如图,设 A(x1,y1),B(x2,y2),直线 l 的方程为 y=kx-1.则 k= =-. 由 kOA+kOB=1, 且 y1=-,y2=-,得-=1, 即-=1. 于是 k=1,所以直线 l 的方程为 y=x-1.
