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1、 - 12 - 第 2 章习题及解答 2-1 建立图 2-32 所示各机械系统的微分方程 （其中)(tF为外力，)(tx、)(ty为位移；k为弹性系数，f为阻尼系数，m为质量；忽略重力影响及滑块与地面的摩擦） 。 图 2-32 系统原理图 解. （a）以平衡状态为基点，对质块m进行受力分析（不再 考虑重力影响） ，如图解 2-1(a)所示。根据牛顿定理可写出 22 )()(dtydmdtdyftkytF= 整理得 )(1)()()(22 tFmtymk dttdy mf dttyd=+ （b）如图解 2-1(b)所示， 取 A,B 两点分别进行 受力分析。对 A 点有 )()(1 11dtdy
2、 dtdxfxxk= （1） 对 B 点有 ykdtdy dtdxf21)(= （2） 联立式（1） 、 （2）可得： dtdx kkkykkfkk dtdy2112121 )(+=+ (c) 如图解 2-1(c)所示，取 A,B 两点分别进行受力分析。对 A 点有 22 )()(dtxdmyxktF= (3) - 13 - 对 B 点有 22 )(dtydmyxk= （4） 联立式（3） 、 （4）消去中间变量x可得 424222( )d yK d yKF tdtm dtm+= 2-2 应用复数阻抗方法求图 2-33 所示各无源网络的传递函数。 R1CR2ur(t)uc(t)RCur(t)u
3、c(t)CRR2R1CLur(t)uc(t)（a） （b） （c） 图 2-33 无源网络 解.(a) 应用复数阻抗概念可写出 )()(11)(11 sUsIcsRcsR sUcr+ += （1） 2( )( )cUsI sR= （2） 联立式（1） 、式（2） ，可解得 CsRRRRCsRR sUsUrc212112)1 ( )()( += 微分方程为 rr ccuCRdtduuRCRRR dtdu121211+=+(b) 由图解 2-2（b）可写出 1( )( )( )( )rRRCUsRIsIsIsCs=+ （3） 1( )( )( )CRCIsRIsRIsCs= （4） 1( )( )
4、( )( )CcRCUsIs RIsIsCs=+ （5） 图解 2-1(c) 图解 2-2（b） - 14 - 联立式（3） 、式（4） 、式（5） ，消去中间变量)(sIC和)(sIR，可得 1312 )()(222222+=RCssCRRCssCR sUsUrc微分方程为 rrr cccuRCdtdu CRdtduuRCdtdu CRdtdu222222221213+=+ (c) 由图解 2-2（c）可写出 11222( )( )( )()( )rUsR I sIsLsR Is=+ (6) )()()(1221sIRLssICs+= (7) )()(22sIRsUc= (8) 联立式（6）
5、 、 （7） 、 （8） ，消去中间变量)(1sI和)(2sI，可得 )()()()(21212 12 RRsCRRLLCsRR sUsUrc += 微分方程为 2 12122 2 111cc crduduLR R CRRRuudtR LCdtR LCR LC+= 2-3 证明图 2-34 (a) 所示的力学系统和图 2-34 (b) 所示的电路系统是相似系统 （即 有相同形式的数学模型） 。 图 2-34 系统原理图 解 (a) 取A、B两点分别进行受力分析，如图解2-3(a)所示。对A点有 )()()(1122yyfyxfyxk=+ (1) 图解 2-2(c) - 15 - 对 B 点有
6、1111)(ykyyf= (2) 对式（1） 、式（2）分别取拉普拉斯变换，消去中间变量1y，整理后得 )()( sXsY= 1)(1)(12221122121221122121+skf kf kfskkffskf kfskkff(b) 由图可写出 sCRsUc221)(+= 1 1 2 21 1( ) 1 1 1rUsRC sRC sRC s + +整理得 )()( sUsUrc= 1)(1)(2122112 212122112 2121 + sCRCRCRsCCRRsCRCRsCCRR比较两系统的传递函数，如果设111 kR =，221 kR =，11fC =，22fC =，则两系统的传递
7、函数相同，所以两系统是相似的。 2-4 如图 2-35 所示，二极管是一个非线性元件，其电流di和电压du之间的关系为140.02610(1)dudie=，假设电路在工作点(0)2.39uV=，3(0)2.19 10iA=处做微小变化，试推导()ddif u=的线性化方程。 解 将3(0)2.19 10iA=代入) 1(10026. 0/14=du dei 解得 Vud679. 00= 将) 1(10026. 0/14=du dei在(0du，0i)处展开为泰勒级数，并取一次近似，有 du ddueiiiid+=+=026. 0/14 000 026. 0110 0/0.026141100.0
8、850.026du dddieuu= 图解 2-3(a) 图 2-35 二极管电路 - 16 - 即在(0du，0i)附近)(ddufi =的线性化方程为0.085ddiu=。 2-5 假设某容器的液位高度h与液体流入量rQ满足方程rQShSdtdh1=+，式中S 为液位容器的横截面积，为常数。若h与rQ在其工作点),(00hQr附近做微量变化，试导出h关于rQ的线性化方程。 解 将h在0h处展开为泰勒级数并取一次近似 hhhhdthdhhh+=+=00021| 0（1） 代入原方程可得 )(1)21()(0000 rrQQShhhSdthhd+=+（2） 在平衡工作点处系统满足 0 00rd
9、hShQdt+= （3） 式(2） ，(3)相减可得h的线性化方程 rQhhdthdS=+022-6 图 2-36 是一个单摆运动的示意图。图中，l为摆杆长度，为摆角，摆锤质量为m。试建立单摆系统的微分方程，并将其线性化。 解 由图 2-36，根据牛顿定律，在不施加外力的情况下，可写出单摆的运动方程： 2 2 2sin0dmlmgldt+=，即 22sin0dg dtl+= 将上式中非线性项sin在平衡点00=附近进行泰勒级数展开，取一次近似有 0000sinsinsin|sincosd dt=+=+ 将00=代入上式，得：0sinsin= 。代入原方程可得线性化后的单摆方程 图 2-36 单
10、摆系统 - 17 - 220dg dtl+= 2-7 求图 2-37 所示各信号)(tx的像函数)(sX。 图 2-37 信号图 解 （a） )(2)(0tttx+= )(sX= stess0 212+ （b） 11( )1 1(1)(1)2 1(3)(3)22x ttttt= + 32211( )()(2)22sseeX sssss =+ （c） )()()()(321ttcttcbttabatx+= )(sX= )()(1321stststceecbeabas+ （d） )(tx= )(4)2(4)2(442222TtTTtTTtTtT+ )21 (4)(2 22TssT eesTsX +
11、= 2-8 求下列各拉普拉斯变换式的原函数。 (1) 1)(=sesXs(2) 22( )9X ss=+- 18 - (3) )3()2(1)(3+=ssssX (4) )22(1)(2+=sssssX 解 (1) 1)(=tetx (2) 原式 =2223 33s+ttx3sin32)(= (3) 原式 3211311 2(2)4(2)8(2)243(3)sssss+x（t） 241 31 83 4432222 +tttteeetet(4) 原式 1) 1(1 21 1) 1(1 21 21 222121222+=+sss sssss)(tx )cos(sin21 21ttet+2-9 已知
12、在零初始条件下，系统的单位阶跃响应为 tteetc+=221)(，试求系统的传递函数和脉冲响应。 解 单位阶跃输入时，有ssR1)(=，依题意 ssss ssssC1 )2)(1(23 11 221)(+=+= )2)(1(23 )()()(+=sss sRsCsG tteessLsGLtk= +=211424 11)()( - 19 - 2-10 已知系统传递函数 232 )()(2+=sssRsC， 且初始条件为1)0(=c，0)0(=c ， 试求系统在输入)( 1)(ttr=作用下的输出)(tc。 解 系统的微分方程为 )(2)(2)(3)(22 trtcdttdc dttcd=+ （1
13、） 考虑初始条件，对式（1）进行拉普拉斯变换，得 ssCssCssCs2)(23)(3)(2=+ （2） 22 141 )23(23)(22+=+=sssssssssC tteetc2241)(+= 2-11 求图 2-38 所示各有源网络的传递函数)()( sUsUrc。 图 2-38 有源网络 解 (a) 根据运算放大器 “虚地”概念，可写出 12 )()( RR sUsUrc= (b) 2 21122121 11 11 ( )(1)(1) 1( )1crRUsC sRC sR C s UsRC sRC sRC s+= = +- 20 - (c) )1 (11)()(212122CsRRR
14、 RCsRCsRsUsUrc +=+= 2-12 某位置随动系统原理框图如图 2-39 所示， 已知电位器最大工作角度mQ3300，功率放大器放大系数为3k。 （1） 分别求出电位器的传递函数0k，第一级和第二级放大器的放大系数1k，2k； （2） 画出系统的结构图； （3） 求系统的闭环传递函数( )( )crQ sQ s。 图 2-39 系统原理框图 解 (1) 电位器的传递函数 0 0 030180 11330180mEkQ= 根据运算放大器的特性，可分别写出两级放大器的放大系数为 31330 10310 10k= = ， 32320 10210 10k= = (2) 可画出系统结构如图解 2-12 所示： 图解 2-12 系统结构图 - 21 - (3) 0 123230 123( )(1) ( )11(1)mcmmtmrmmk k k k k Q s
