《（全国通用版）2019版高考数学大一轮复习 第十一章 坐标系与参数方程 第58讲 参数方程优选学案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《（全国通用版）2019版高考数学大一轮复习 第十一章 坐标系与参数方程 第58讲 参数方程优选学案（11页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1第第 5858 讲讲 参数方程参数方程考纲要求考情分析命题趋势2017全国卷，222016全国卷，232016江苏卷，21(C)1.了解参数方程，了解参数的意义2能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程分值：510 分参数方程部分主要考查参数方程与普通方程的互化，并且多与极坐标方程结合考查1参数方程一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上_任意一点_的坐标x，y都是某个变数t的函数：Error!并且对于t的每一个允许值，由方程组Error!所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，那么方程Error!就叫做这条曲线的参数方程，变数t叫做参变数，简称_参数_，相对于参数方程而言，直接给出点的
2、坐标间关系的方程叫做_普通方程_.2直线、圆、椭圆的参数方程(1)过点M(x0，y0)，倾斜角为的直线l的参数方程为Error!(t为参数)(2)圆心为点M(x0，y0)，半径为r的圆的参数方程为Error!(为参数)(3)椭圆1(ab0)的参数方程为Error!(为参数)；x2 a2y2 b22椭圆1(ab0)的参数方程为Error!(为参数)x2 b2y2 a21思维辨析(在括号内“”或“”)(1)参数方程Error!(t1)表示直线( )(2)参数方程Error!当m为参数时表示直线，当为参数时表示的曲线为圆( )(3)直线Error! (t为参数)的倾斜角为 30.( )(4)参数方程
3、Error!表示的曲线为椭圆( )(为参数，且0， 2)解析 (1)错误t1，xt12，y2t1，故参数方程表示的曲线是直线的一部分(2)正确当m为参数时，xycos sin 表示直线，当为参数时(xm)2(ym)21 表示圆(3)正确方程可化为Error!表示直线其倾斜角为 30.(4)错误，x0，y0，方程不表示椭圆0， 22参数方程Error!(t为参数)化为普通方程为_3xy40(x0,2)_.解析 x，2t2 1t2y4343x，42t2 1t241t26t21t22t2 1t2又x20,2)，2t2 1t221t221t22 1t2x0,2)，所求的普通方程为 3xy40(x0,2
4、)3在平面直角坐标系xOy中，曲线C1和C2的参数方程分别为Error!和Error!(t为参数)，则曲线C1与C2的交点坐标为_(2,1)_.(为参数，0 2)解析 由C1得x2y25，且Error!由C2得x1y，联立Error!解得Error!或Error!(舍)4直线Error!(t为参数)与圆Error!(为参数)相切，则切线的倾斜角为_ 或 32 3_.解析 直线的普通方程为bxay4b0，圆的普通方程为(x2)2y23，因为直线与圆相切，则圆心(2,0)到直线的距离为，从而有，即33|2ba04b|a2b23a23b24b2，所以ba，而直线的倾斜角的正切值 tan ，所以 ta
5、n 3b a3，因此切线的倾斜角为或.3 32 35在直角坐标系xOy中，已知曲线C1：Error!(t为参数)与曲线C2：Error!(为参数，a0)有一个公共点在x轴上，则a_ _.3 2解析 将曲线C1与C2的方程化为普通方程求解将Error!消去参数t，得 2xy30，又Error!消去参数，得1.x2 a2y2 9根据题意可知C1与x轴交点在C2上，则在方程 2xy30 中，令y0，得x .3 2将代入1，得1，又a0，a .(3 2，0)x2 a2y2 99 4a23 2一 参数方程与普通方程的互化将参数方程化为普通方程的方法(1)将参数方程化为普通方程，需要根据参数方程的结构特征
6、，选取适当的消参方法常见的消参方法有：代入消参法、加减消参法、平方消参法等，对于含三角函数的参数方程，常利用同角三角函数关系式消参，如 sin2cos21 等(2)将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，不要出现增解【例 1】 (1)将下列参数方程化为普通方程Error!(t为参数)；Error!(为参数)(2)如图，以过原点的直线的倾斜角为参数，求圆x2y2x0 的参数方程解析 (1)221，x2y21.(1 t)(1 tt21)t210，t1 或t1.又x ，1 tx0.当t1 时，0x1，4当t1 时，1x0，所求普通方程为x2y21，其中Error!或Error!y1cos
7、2112sin22sin2，sin2x2，y2x4，2xy40.0sin2 1，2x3，所求的普通方程为 2xy40(2x3)(2)圆的半径为 ，记圆心为C，连接CP，则PCx2，1 2(1 2，0)故xP cos 2cos2 ，1 21 2yP sin 2sin cos (为参数)1 2所以圆的参数方程为Error!(为参数)二 参数方程的应用(1)圆的参数方程Error!(为参数)与直线的参数方程Error!(t的参数)在外观上没有区别，如何区分两者，主要看参数是什么另外，圆的参数和直线的参数t是有几何意义的，只要我们理解准确，运用恰当，便可以加速解题的过程因此，牢记圆的参数方程，直线参数
8、方程的标准式，是利用参数解决问题的关键(2)解决与圆、圆锥曲线的参数方程有关的综合问题时，要注意普通方程与参数方程的互化公式，主要是通过互化解决与圆、圆锥曲线上与动点有关的问题，如最值、范围等(3)根据直线的参数方程的标准式中t的几何意义，有如下常用结论：过定点M0的直线与圆锥曲线相交，交点为M1，M2，所对应的参数分别为t1，t2.弦长l|t1t2|；M0为弦M1M2的中点t1t20；|M0M1|M0M2|t1t2|.【例 2】 已知曲线C1：Error!(为参数)及曲线C2：Error!(t为参数)(1)指出C1，C2各是什么曲线，并说明C1与C2公共点的个数；(2)若把C1，C2上各点的
9、纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线C1，C2，写出C1，C2的参数方程C1与C2公共点的个数和C1与C2公共点的个数是否相同？说明你的理由解析 (1)C1是圆，C2是直线，C1的普通方程为x2y21，圆心C1(0,0)，半径r1.C2的普通方程为xy0.2因为圆心到直线xy0 的距离为 1，2所以C1与C2只有一个公共点(2)压缩后的参数方程分别为5C1：Error!(为参数)，C2：Error!(t为参数)化为普通方程为C1：x24y21，C2：yx，1 222联立消元得 2x22x10，其(2)24210，22故压缩后C1与C2仍然只有一个公共点，和C1与C2公共点的个数相同 【例 3
10、】 (2018河南郑州一中月考)在平面直角坐标系中，已知曲线C的参数方程为Error!(为参数)，直线l的参数方程为Error!(t为参数)(1)写出曲线C和直线l的普通方程；(2)若点B坐标为(0,3)，直线l与曲线C交于两P，Q点，求|BP|BQ|.解析 (1)由题意得曲线C的普通方程为1, 直线l的普通方程为x2 4y2 32xy30.(2)将直线l的参数方程Error!(t为参数)代入1，得t2t240.设方x2 4y2 319 5485程t2t240 的两个根为t1，t2，所以|BP|BQ|t1t2|.19 5485120 19三 参数方程与极坐标方程的综合问题涉及参数方程和极坐标方
11、程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程【例 4】 在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系已知曲线C：sin22acos (a0)，过点P(2，4)的直线l的参数方程为Error!(t为参数)，l与C分别交于点M，N.(1)写出C的直角坐标方程和l的普通方程；(2)若，成等比数列，求a的值|PM| |MN|PN|解析 (1)曲线C的直角坐标方程为y22ax(a0)，直线l的普通方程为xy20.(2)将直线l的参数方程与C的直角坐标方程联立并整理，得t22(4a)t8(4a)0，(*)28a(4a)0，设点
12、M，N分别对应参数t1，t2，则t1，t2恰为上述方程的两根，则|PM|t1|，|PN|t2|，|MN|t1t2|.由题设得(t1t2)2|t1t2|，即(t1t2)24t1t2|t1t2|.由(*)得t1t22(4a)，t1t28(4a)0，2则有(4a)25(4a)0，得a1 或a4.因为a0，所以a1. 1将下列参数方程化为普通方程6(1)Error!(k为参数)；(2)Error!(为参数)解析 (1)两式相除，得k，将其代入x，得x，化简得所求的y 2x3k 1k23y 2x1(y 2x)2普通方程是 4x2y26y0(y6)(2)由(sin cos )21sin 22(1sin 2
13、)得y22x.又x1sin 20,2，得所求的普通方程为y22x，x0,22设直线l的参数方程为Error!(t为参数，为倾斜角)，圆C的参数方程为Error!(为参数)(1)若直线l经过圆C的圆心，求直线l的斜率；(2)若直线l与圆C交于两个不同的点，求直线l的斜率的取值范围解析 (1)由已知得直线l经过的定点是P(3,4)，而圆C的圆心是C(1，1)，所以当直线l经过圆C的圆心时，直线l的斜率为k .5 2(2)由圆C的参数方程Error!得圆C的圆心是C(1，1)，半径为 2.由直线l的参数方程为Error!(t为参数，为倾斜角)，知直线l的普通方程为y4k(x3)(斜率存在)，即kxy
14、43k0.当直线l与圆C交于两个不同的点时，圆心到直线的距离小于圆的半径，即2，由此解得k，即直线l的斜率的取值范围为.|52k|k2121 20(21 20，)3已知直线l的参数方程为Error!(t为参数)，曲线C的参数方程为Error!(为参数)(1)已知在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，点P的极坐标为，判断点P与直线l的位置关系；(4， 3)(2)设点Q是曲线C上的一个动点，求点Q到直线l的距离的最小值与最大值解析 (1)点P的直角坐标为(2,2)，令Error!关于t的方程组无解，所以点P在直线3l外(2)直线l的普通方程为xy10，设Q(2cos ，sin )，点Q到直线l的3距离为d，则d，所以当| 32cos sin 1|2|sin( 3) 312|7sin1 时，dmin；( 3)2 312当 sin1 时，dmax.( 3)2 3324已知P(x，y)是圆x2y22y0 上的动点(1)求 2xy的取值范围；(2)若xyc0 恒成立，求实数c的取值范围解析 方程x2y22y0 变形为x2(y1)21，其参数方程为Error!(为参数)(1)2xy2co
