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1、1第一章波动方程第一章波动方程1 1 1 1 方程的导出。定解条件方程的导出。定解条件 1细杆（或弹簧）受某种外界原因而产生纵向振动，以 u(x,t)表示静止时在 x 点处的点在时刻 t 离开原来位置的偏移，假设振动过程发生的张力服从虎克定律，试证明满足方程),(txu( ) = xuExtuxt其中为杆的密度，为杨氏模量。E证：在杆上任取一段，其中两端于静止时的坐标分别为与。现在计算这段杆在时x+xx 刻 的相对伸长。在时刻 这段杆两端的坐标分别为：tt),();,(txxuxxtxux+其相对伸长等于),(),(),(txxuxxtxuxtxxuxxx+=+令，取极限得在点的相对伸长为。由
2、虎克定律，张力等于0xxxu),(tx),(txT),()(),(txuxEtxTx=其中是在点的杨氏模量。)(xEx设杆的横截面面积为则作用在杆段两端的力分别为),(xS),(xxx+xuxSxE)()(xuxxSxxEtx)()();,(+).,(txx+于是得运动方程ttuxxsx )()(xESutx=),(xxxxxESuxx| )(| )(+利用微分中值定理，消去，再令得x0xttuxsx)()(x=xESu()若常量，则得=)(xs=22 )(tux)(xuxEx 即得所证。2在杆纵向振动时，假设(1)端点固定，(2)端点自由，(3)端点固定在弹性支承上，试分别导出这三种情况下所
3、对应的边界条件。解：(1)杆的两端被固定在两点则相应的边界条件为lxx= , 0. 0),(, 0), 0(=tlutu(2)若为自由端，则杆在的张力|等于零，因此相应的边lx=lx=xuxEtlT=)(),(lx=界条件为|=0xu lx=同理，若为自由端，则相应的边界条件为0=xxu 00=x(3)若端固定在弹性支承上，而弹性支承固定于某点，且该点离开原来位置的偏移lx=由函数给出，则在端支承的伸长为。由虎克定律有)(tvlx=)(),(tvtluxuE)(),(tvtluklx=其中为支承的刚度系数。由此得边界条件k其中)(uxu+)(tflx=Ek=特别地，若支承固定于一定点上，则得边
4、界条件, 0)(=tv。)(uxu+0=lx同理，若端固定在弹性支承上，则得边界条件0=xxuE)(), 0(0tvtukx=即)(uxu).(0tfx=3. 试证：圆锥形枢轴的纵振动方程为22 22)1 ()1(tu hx xu hx xE=其中为圆锥的高(如图 1)h 证：如图，不妨设枢轴底面的半径为 1，则x点处截面的半径 为：lhxl=12所以截面积。利用第 1 题，得2)1 ()(hxxs=)1 ()1 ()(2 22 2 xu hxExtu hxx=若为常量，则得ExE=)(22 22)1 ()1(tu hx xu hx xE=4. 绝对柔软逐条而均匀的弦线有一端固定，在它本身重力
5、作用下，此线处于铅垂平衡位置， 试导出此线的微小横振动方程。解：如图 2，设弦长为 ，弦的线密度为，则点处的张力为lx)(xT)()(xlgxT=且的方向总是沿着弦在点处的切线方向。仍以表示弦上各点在时刻 沿垂直于)(xTx),(txutx轴方向的位移，取弦段则弦段两端张力在轴方向的投影分别为),(xxx+u)(sin)();(sin)(xxxxlgxxlg+其中表示方向与轴的夹角)(x)(xTx又.sinxutg=于是得运动方程xuxxltux+=)(22 xuxlgxx+gx利用微分中值定理，消去，再令得x0x。)(22xuxlxgtu =5. 验证在锥0 中都满足波动方程 2221),(
6、 yxttyxu =222yxt222222yu xu tu +=证：函数在锥0 内对变量有 2221),( yxttyxu =222yxttyx,二阶连续偏导数。且tyxttu=23 222)(225 22223 222 22 )(3)(tyxtyxt tu+= )2()(22223 222yxtyxt+=xyxtxu=23 222)()()225 22223 222 22 3xyxtyxt xu+= ()()22225 2222yxtyxt+=同理() ()22225 222 22 2yxtyxt yu+= 所以()().22222225 222 2222tuyxtyxt yuxu=+=
7、+ 即得所证。 6. 在单性杆纵振动时,若考虑摩阻的影响,并设摩阻力密度涵数(即单位质量所受的摩阻力) 与杆件在该点的速度大小成正比(比例系数设为 b), 但方向相反,试导出这时位移函数所满足的微 分方程.解: 利用第 1 题的推导,由题意知此时尚须考虑杆段上所受的摩阻力.由题设,单位质()xxx+,量所受摩阻力为,故上所受摩阻力为tub()xxx+,( ) ( )tuxxsxpb运动方程为:( ) ( )( ) ( )tuxxsxbxxuEStuES tuxxsxxx = +223利用微分中值定理，消去,再令得x0x( ) ( )( ) ( ).22tuxsxbxuESxtuxsx =若常数
8、，则得=)(xs( )( )tuxbxuExtux =22若( )( )则得方程令也是常量是常量,.,2 EaExEx=.22 2 22xuatubtu =+ 2 2 2 2达朗贝尔公式、 波的传抪达朗贝尔公式、 波的传抪 1.证明方程()常数011122222 fhtu hx axu hx x= 的通解可以写成()() xhatxGatxFu+=其中 F,G 为任意的单变量可微函数,并由此求解它的初值问题:( )( ).,:0xtuxut=解：令则()vuxh=()()() +=+=xvuxhxuxhxvuxuxh2,)()()()()(2222 xvuxhxuxhxuxhxvuxuxhx+
9、=+=又()2222tv tuxh=代入原方程，得()()222221 tvxhaxvxh=即222221 tv axv =由波动方程通解表达式得()()()atxGatxFtxv+=,所以()() ()xhatxGatxFu+=为原方程的通解。 由初始条件得( )( )( ) 1 (1xGxFxhx+=( )( )( )xaGxaFxhx/1+=所以( )( )() ( )2(10cdhaxGxFxx+=由两式解出)2(),1 ( )() ( )() ( )221 21cdhaxxhxFxxo+=( )() ( )() ( )221 21cdhaxxhxGxxo+=所以)()()()()(2
10、1),(atxatxhatxatxhxhtxu+=+atxatxhxha()()(21.) d即为初值问题的解散。问初始条件与满足怎样的条件时，齐次波动方程初值问题的解仅由右传播波)(x)(x4组成？ 解：波动方程的通解为 u=F(x-at)+G(x+at)其中 F，G 由初始条件与决定。初值问题的解仅由右传播组成，必须且只须对)(x)(x于任何有G(x+at)常数.tx,即对任何 x, G(x)C 0又G（x）=+xxaCdax02)(21)(21所以应满足)(),(xx （常数）+)(x=xxCda01)(1或(x)+=0)(1xa3.利用传播波法，求解波动方程的特征问题（又称古尔沙问题）
11、=+= ).()(0022 2 22xuxuxuatuatxatx ()0()0(=解：u(x,t)=F(x-at)+G(x+at)令 x-at=0得=F（0）+G（2x）)(x令 x+at=0得=F（2x）+G(0)(x所以F(x)=-G(0).)2(xG（x）=-F(0).)2(x且F（0）+G(0)=).0()0(=所以u(x,t)=+-()2atx+)2(atx).0(即为古尔沙问题的解。 4对非齐次波动方程的初值问题 +=)()(),(, 0), 0(),(22 2 22xxtuxutxttxfxuatu证明：（1）如果初始条件在 x 轴的区间x ,x 上发生变化，那末对应的解在区间
12、，121x的影响区域以外不发生变化；2x（2）在 x 轴区间上所给的初始条件唯一地确定区间的决定区 2,1xx21,xx域中解的数值。证： （1）非齐次方程初值问题的解为u(x,t)=+atxatxaatxatx21)()(21+d)(+ttaxtaxddfa0)()(.),(21当初始条件发生变化时，仅仅引起以上表达式的前两项发生变化，即仅仅影晌到相应齐 次方程初值的解。当在上发生变化，若对任何 t0,有 x+atx ,则区间x-at,x+at整个),(x)(x2, 1xx12落在区间之外，由解的表达式知 u(x,t)不发生变化，即对 t0,当 xx +at,也就是2, 1xx12（x,t）
13、落在区间的影响域21,xx)0(2+tatxxatxt之外，解 u(x,t)不发生变化。 （1）得证。(2).区间的决定区域为21,xxatxxatxt+21, 0在其中任给（x,t）,则21xatxatxx+= =0,0, 0,0,xxxxxxxxxx 所以()()()()( )+=atxatxdaatxatxtxu21 21,6。()()()( )()()()( )+xcxcxXsincos)(21+=由得，再由得0)0(=X01=c0)(=lX0cos2=lc为了使，必须，于是02c0cos=l2212+=lnn)2 , 1 , 0(L=n且相应地得到xlnxXn212sin)(+=)2
14、 , 1 , 0(L=n将代入方程(2)，解得talnBtalnAtTnnn212sin212cos)(+=)2 , 1 , 0(L=n于是=+=0212sin)212sin212cos(),(nnnxlntalnBtalnAtxu再由始值得 +=+=00212sin2120212sinnnnnxlnBalnxlnAxlh容易验证构成区间上的正交函数系： +xln212sin)2 , 1 , 0(L=n, 0l= =+nmlnm xdxlnxlml当当20212sin212sin0利用正交性，得 +xln212sinxdxlnxlh lAln212sin20+=lxln nlxlnxnl lh022212sin) 12(2
