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1、【2012 高考冲刺样本】数学应用性问题是历年高考命题的主要题型之一， 也是考生失分较多的一种题型. 高考中一般命制一道解答题和两道选择填空题.解答这类问题的要害是能阅读、理解陈述的材料，深刻理解题意，学会文字语言向数学的符号语言的翻译转化，能结合应用所学数学知识、思想方法解决问题，包括解决带有实际意义的或者相关学科、生产、生活中的数学问题，并能用数学语言正确的加以表述.考生的弱点主要表现在将实际问题转化成数学问题的能力上.实际问题转化为数学问题，关键是提高阅读能力即数学审题能力，审出函数、方程、不等式、等式，要求我们读懂材料，辨析文字叙述所反应的实际背景，领悟从背景中概括出来的数学实质，抽象
2、其中的数量关系，将文字语言叙述转译成数学式符号语言，建立对应的数学模型解答.可以说，解答一个应用题重点要过三关：一是事理关，即读懂题意，需要一定的阅读理解能力；二是文理关，即把文字语言转化为数学的符号语言；三是数理关，即构建相应的数学模型，构建之后还需要扎实的基础知识和较强的数理能力.由于数学问题的广泛性，实际问题的复杂性，干扰因素的多元性，更由于实际问题的专一性，这些都给学生能读懂题目提供的条件和要求，在陌生的情景中找出本质的内容，转化为函数、方程、不等式、数列、排列、组合、概率、曲线、解三角形等问题.一、知识整合1 “考试大纲”对于“解决实际问题的能力”的界定是：能阅读、理解对问题进行陈述
3、的材料；能综合应用所学数学知识、思想和方法解决问题，包括提炼、解决在相关学科、生产、生活中的数学问题，并能用数学语言正确地加以表述.并且指出：对数学应用问题，要把握好提出问题所涉及的数学知识和方法的深度和广度，切合中学数学教学实际.2应用问题的“考试要求”是考查考生的应用意识和运用数学知识与方法来分析问题解决问题的能力，这个要求分解为三个要点：（1） 、要求考生关心国家大事，了解信息社会，讲究联系实际，重视数学在生产、生活及科学中的应用，明确“数学有用，要用数学” ，并积累处理实际问题的经验.（2） 、考查理解语言的能力，要求考生能够从普通语言中捕捉信息，将普通语言转化为数学语言，以数学语言为
4、工具进行数学思维与交流.（3） 、考查建立数学模型的初步能力，并能运用“考试大纲”所规定的数学知识和方法来求解.3求解应用题的一般步骤是（四步法）：（1） 、读题：读懂和深刻理解，译为数学语言，找出主要关系；（2） 、建模：把主要关系近似化、形式化，抽象成数学问题；（3） 、求解：化归为常规问题，选择合适的数学方法求解；（4） 、评价：对结果进行验证或评估，对错误加以调节，最后将结果应用于现实，作出解释或验证.4在近几年高考中，经常涉及的数学模型，有以下一些类型：数列模型、函数模型、不等式模型、三角模型、排列组合模型等等.函数模型 函数是中学数学中最重要的一部分内容，现实世界中普遍存在着的最优
5、化问题，常常可归结为函数的最值问题，通过建立相应的目标函数，确定变量的限制条件，运用函数知识和方法去解决. 根据题意，熟练地建立函数模型； 运用函数性质、不等式等知识处理所得的函数模型.几何模型 诸如航行、建桥、测量、人造卫星等涉及一定图形属性的应用问题，常常需要应用几何图形的性质，或用方程、不等式或用三角函数知识来求解.数列模型 在经济活动中，诸如增长率、降低率、存款复利、分期付款等与年（月）份有关的实际问题，大多可归结为数列问题，即通过建立相应的数列模型来解决.在解应用题时，是否是数列问题一是看自变量是否与正整数有关；二是看是否符合一定的规律，可先从特殊的情形入手，再寻找一般的规律.二、例
6、题分析例 1某地现有耕地 10000 公顷，规划 10 年后粮食单产比现有增加 22，人均粮食产量比现在提高 10，如果人口年增长率为 1，那么耕地每年至多只能减少多少公顷（精确到 1 公顷）？ （粮食单产 ； 人均粮食产量）总产量 耕地面积总产量 总人口数分析：此题以关系国计民生的耕地、人口、粮食为背景，给出两组数据，要求考生从两条线索抽象数列模型，然后进行比较与决策.解：1.读题：问题涉及耕地面积、粮食单产、人均粮食占有量、总人口数及三个百分率，其中人均粮食占有量 P， 主要关系是：PP .粮食单产耕地面积 总人口数实际规划2.建模：设耕地面积平均每年至多减少 x 公顷，现在粮食单产为 a
7、 吨公顷，现在人口数为 m，则现在占有量为，10 年后粮食单产为 a(10.22)，人口数为a m104m(10.01)，耕地面积为（10 10x）.104 （10.1） ax m(.)() (.)1022 1010 1001410 a m104即 1.22（10 10x）1.110 （10.01）44103.求解： x10 10 （10.01）311 122. .310 （10.01）1C0.01C0.01 C0.01 1.104610 101 1022 1033 x10 995.94（公顷）34.评价：答案 x4 公顷符合控制耕地减少的国情，又验算无误，故可作答.（答略）另解：1.读题：粮
8、食总产量单产耕地面积； 粮食总占有量人均占有量总人口数；而主要关系是：粮食总产量粮食总占有量2.建模：设耕地面积平均每年至多减少 x 公顷，现在粮食单产为 a 吨公顷，现在人口数为 m，则现在占有量为，10 年后粮食单产为 a(10.22)，人口数为a m104m(10.01)，耕地面积为（10 10x）.104 a(10.22)(1O 10x)(10.1)m(10.01)4a m104103.求解： x10 10 （10.01）311 122. .310 （10.01）1C0.01C0.01 C0.01 1.104610 101 1022 1033 x10 995.94（公顷）34.评价：答
9、案 x4 公顷符合控制耕地减少的国情，又验算无误，故可作答.（答略）说明：本题主要是抓住各量之间的关系，注重 3 个百分率.其中耕地面积为等差数列，总人口数为等比数列模型，问题用不等式模型求解.本题两种解法，虽都是建立不等式模型，但建立时所用的意义不同，这要求灵活掌握，还要求对指数函数、不等式、增长率、二项式定理应用于近似计算等知识熟练.此种解法可以解决有关统筹安排、最佳决策、最优化等问题.此种题型属于不等式模型，也可以把它作为数列模型，相比之下，主要求解过程是建立不等式模型后解出不等式.在解答应用问题时，我们强调“评价”这一步不可少！它是解题者的自我调节，比如本题求解过程中若令 1.011，
10、算得结果为 x98 公顷，自然会问：耕地减少这么多，10符合国家保持耕地的政策吗？于是进行调控，检查发现是错在 1.01的近似计算上.10例 2已知某市 1990 年底人口为 100 万，人均住房面积为 5m ，如果该市每年人口平均增长率为 2，每年平均2新建住房面积为 10 万 m ，试求到 2000 年底该市人均住2房面积（精确到 0.01）？ 分析：城市每年人口数成等比数列，每年住房总面积成等比数列，分别写出 2000 年后的人口数、住房总面积，从而计算人均住房面积.解：1.读题：主要关系：人均住房面积总住房面积 总人口数2.建模：2000 年底人均住房面积为100105101010 1
11、00101244410 ()3.求解：化简上式，6 10210. 1.021C0.02C0.02 C0.02 1.21910 101 1022 1033 人均住房面积为4.926 10210.4.评价：答案 4.92 符合城市实际情况，验算正确，所以到 2000 年底该市人均住房面积为 4.92m .2说明：一般地，涉及到利率、产量、降价、繁殖等与增长率有关的实际问题，可通过观察、分析、归纳出数据成等差数列还是等比数列，然后用两个基础数列的知识进行解答.此种题型属于应用问题中的数列模型.例 3如图，一载着重危病人的火车从 O 地出发，沿射线 OA 行驶，其中AM C D B 在距离 O 地 5
12、a（a 为正数）公里北偏东 角的 N 处住有一位医学专家，其中,31tgsin= 现有 110 指挥部紧急征调离 O 地正东 p 公里的 B 处的救护车赶往 N 处载上医学,53专家全速追赶乘有重危病人的火车，并在 C 处相遇，经测算当两车行驶的路线与 OB 围成的三角形 OBC 面积 S 最小时，抢救最及时.（1）求 S 关于 p 的函数关系；（2）当 p 为何值时，抢救最及时.解：（1）以 O 为原点，正北方向为 y 轴建立直角坐标系，则 xylOA3:设 N（x0，y0） ，05 sin3xaa05 cos4(3 ,4 )yaaNaa又 B（p，0） ，直线 BC 的方程为：)(34px
13、paay由得 C 的纵坐标)(343pxpaayxy，)35(5312apapapyc)35( ,536|212 apapapyOBSc（2）由（1）得 ，)0(35,352 53622 tapt apap apapS令22340310 9252aa tataS当且仅当时，上式取等号，当公里时，抢救最,9252tat 310,35apat此时即ap310及时.例 4甲、乙两地相距 S 千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过 c 千米时，已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度 v（千米时）的平方成正比，比例系数为 b；固定部分为 a 元. 把全程运输
14、成本 y（元）表示为速度 v（千米时）的函数，并指出函数的定义域； 为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？ 分析：几个变量（运输成本、速度、固定部分）有相互的关联，抽象出其中的函数关系，并求函数的最小值.解：（读题）由主要关系：运输总成本每小时运输成本时间，（建模）有 y(abv )2S v（解题）所以全程运输成本 y（元）表示为速度 v（千米时）的函数关系式是：yS(bv)，其中函数的定义域是 v(0，c .a v整理函数有 yS(bv)S(v)，a va b v由函数 yx (k0)的单调性而得：k x当c 时，则 v时，y 取最小值；a ba b当c 时，则 vc 时，y 取最小
15、值.a b综上所述，为使全程成本 y 最小，当c 时，行驶速度应为 v；当ca ba ba b时，行驶速度应为 vc.说明：1.对于实际应用问题，可以通过建立目标函数，然后运用解（证）不等式的方法求出函数的最大值或最小值，其中要特别注意蕴涵的制约关系，如本题中速度 v 的范围，一旦忽视，将出现解答不完整.此种应用问题既属于函数模型，也可属于不等式模型.2.二次函数、指数函数以及函数（a0，b0）的性质要熟练掌握.byaxx 3.要能熟练地处理分段函数问题.例 5 在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市 O（如图）的东偏南方向 300km 的海面 P 处，并以 20km/h 的速度向西偏北 45方向移)102arccos(动. 台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为 60km，并以 10km/h 的速度不断增大. 问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？解：如图建立坐标系以 O 为原点，正东方向为 x 轴正向.在时刻：（1）台风中心 P（）的坐标为yx, .22201027300,2220102300tytx此时台风侵袭的区域是,)()()(22tryyxx其中若在 t 时刻城市 O 受到台风,601
