《高中数学（人教新课标b版）教学设计 必修五：：2.3.1等比数列 》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学（人教新课标b版）教学设计 必修五：：2.3.1等比数列 （22页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、教学设计教学设计2 23.13.1 等比数列等比数列整体设计整体设计教学分析教学分析 等比数列与等差数列在内容上是完全平行的，包括定义、性质、通项公式等，两个数的等差(等比)中项、两种数列在函数角度下的解释等，因此在教学时要充分利用类比的方法，以便于弄清它们之间的联系与区别等比数列是另一个简单常见的数列，研究内容可与等差数列类比，这是本节的中心思想方法本节首先归纳出等比数列的定义，导出通项公式，进而研究图象，又给出等比中项的概念，最后是通项公式的应用等比数列概念的引入，可按教材给出的几个具体的例子，由学生概括这些数列的相同特征，从而得到等比数列的定义也可将几个等差数列和几个等比数列混在一起给出
2、，由学生将这些数列进行分类，由此对比地概括等比数列的定义根据定义让学生分析等比数列的公比不为 0，以及每一项均不为 0 的特性，加深对概念的理解启发学生用函数观点认识通项公式，由通项公式的结构特征联想到指数函数进而画出数列的图象由于有了等差数列的研究经验，等比数列的研究完全可以放手让学生自己解决，充分利用类比思想，教师只需把握课堂的节奏，真正作为一节课的组织者、引导者出现，充分发挥学生的主体作用大量的数学思想方法渗透是本章的特色，如类比思想、归纳思想、数形结合思想、算法思想、方程思想、一般到特殊的思想等，在教学中要充分体现这些重要的数学思想方法，所有能力的体现最终归结为数学思想方法的体现三维目
3、标三维目标 1通过实例，理解等比数列的概念；探索并掌握等比数列的通项公式、性质，能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，提高数学建模能力；体会等比数列与指数函数的关系2通过现实生活中大量存在的数列模型，让学生充分感受到数列是反映现实生活的模型，体会数学是丰富多彩的而不是枯燥无味的，达到提高学生学习兴趣的目的3通过对等比数列概念的归纳，进一步培养学生严密的思维习惯和严谨的科学态度体会探究过程中的主体作用及探究问题的方法，经历解决问题的全过程重点难点重点难点 教学重点：掌握等比数列的定义；理解等比数列的通项公式及推导教学难点：灵活应用等比数列的定义及通项公式解决相关问题，在具体问题中抽象出等比数
4、列模型及掌握重要的数学思想方法课时安排课时安排 2 课时教学过程教学过程第第 1 课时课时导入新课导入新课 思路 1.(情境引入)将一张厚度为 0.044 mm 的白纸一次又一次地对折，如果对折 1 000次(假设是可能的)，纸的厚度将是 4.410296 m，相当于约 5.010292个珠穆朗玛峰的高度和，这可能吗？但是一位数学家曾经说过：你如果能将一张报纸对折 38 次，我就能顺着它在今天晚上爬上月球将一张报纸对折会有那么大的厚度吗？这就是我们今天要解决的问题，让学生带着这大大的疑问来展开新课思路 2.(实例导入)先给出四个数列：1,2,4,8,16，1，1,1，1,1，4,2，1，1,1
5、,1,1,1，由学生自己去探究这四个数列，每个数列相邻两项之间有什么关系？这四个数列有什么共同点？让学生观察这些数列与上节课学习的等差数列有什么不同？由此引入新课推进新课推进新课 Error!Error!Error!Error!1回忆等差数列的概念及等差数列的通项公式的推导方法.2阅读课本本节内容的3 个背景实例，领会三个实例所传达的思想，写出由 3个实例所得到的数列.3观察数列，它们有什么共同的特征？你能再举出 2 个与其特征相同的数列吗？4类比等差数列的定义，怎样用恰当的语言给出等比数列的定义？5类比等差中项的概念，你能说出什么是等比中项吗？它与等差中项有什么不同？6你能举出既是等差数列又
6、是等比数列的例子吗？7类比等差数列通项公式的推导过程，你能推导出等比数列的通项公式吗？8类比等差数列通项公式与一次函数的关系，你能说明等比数列的通项公式与指数函数的关系吗？活动：教师引导学生回忆等差数列概念的学习过程，指导学生阅读并分析教科书中给出的 3 个实例引导学生发现数列的共同特点：对于数列，从第 2 项起，每一项与前一项的比都等于 2；对于数列，从第 2 项起，每一项与前一项的比都等于 3；对于数列，从第 2 项起，每一项与前一项的比都等于 .12也就是说，这些数列有一个共同的特点：从第 2 项起，每一项与前一项的比都等于同一常数，这里仍是后项比前项，而不是前项比后项，具有这样特点的数
7、列我们称之为等比数列让学生类比等差数列给出等比数列的定义：一般地，如果一个数列，从第 2 项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母 q 表示，显然 q0，上面的三个数列都是等比数列，公比依次是 2,3， .12给出等比数列的定义后，让学生尝试用递推公式描述等比数列的定义，即a1a，an1anq(n1,2,3，)再让学生思考既是等差数列，又是等比数列的数列存在吗？学生思考后很快会举出1,1,1，既是等比数列也是等差数列，其公比为 1，公差为 0.教师可再提出：常数列都是等比数列吗？让学生充分讨论后可得出 0,0,0，是常数
8、列，但不是等比数列至此，学生已经清晰了等比数列的概念，比如，从等比数列定义知，等比数列中的任意一项不为零，公比可以为正，可以为负，但不能为 0.类比等差中项的概念，我们可得出等比中项的概念：如果三个数 x，G，y 组成等比数列，则 G 叫做 x 和 y 的等比中项如果 G 是 x 和 y 的等比中项，那么 ，即GxyGG2xy，G.因此同号的两个数的等比中项有两个，它们互为相反数，一个正数和一ab个负数没有等比中项显然，在一个等比数列中，从第 2 项起，每一项(有穷数列末项除外)都是它的前一项与后一项的等比中项；反之，如果一个数列从第 2 项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后一
9、项的等比中项，那么这个数列是等比数列课件演示：不完全归纳法得到等差数列通项公式的过程：a2a1d，a3a2d(a1d)da12d，a4a3d(a12d)da13d，归纳得到 ana1(n1)d.类比这个过程，可得等比数列通项公式的归纳过程如下：a2a1q，a3a2q(a1q)qa1q2，a4a3q(a1q2)qa1q3，归纳得到 ana1qn1.这样做可以帮助学生体会归纳推理对于发现新的数学结论的作用这个结论的正确性可用后面的数学归纳法进行严格证明，现在我们先承认它下面我们再类比等差数列，探究推导等比数列通项公式的其他方法：an是等比数列，q，q，q，q.anan1an1an2an3an4a2
10、a1把以上 n1 个等式两边分别乘到一起，即叠乘，则可得到qn1，ana1于是得到 ana1qn1.对于通项公式，教师引导学生明确这样几点：(1)不要把公式错误地写成 ana1qn.(2)对公比 q，要和等差数列的公差一样，强调“从第 2 项起，每一项与它的前一项的比” ，不要把相邻两项的比的次序颠倒，且公比 q 可以为正，可以为负，但不能为 0.(3)在等比数列 a，aq，aq2，aq3，中，当 a0 时，一切项都等于 0；当 q0 时，第二项以后的项都等于 0，这不符合等比数列的定义因此等比数列的首项和公比都不能为 0.(4)类比等差数列中 d0，d0 时的情况，若 q0，则相邻两项符号同
11、号，若 q0，则各项符号异号；若 q1，则等比数列为非零常数列；若 q1，则为如2，2,2，2，这样的数列；若|q|1，则数列各项的绝对值递减最后让学生完成下表，从定义、通项公式比较等差数列、等比数列的异同，加深概念的理解等差数列等比数列定义从第 2 项起，每一项与它前一项的差都是同一个常数从第 2 项起，每一项与它前一项的比都是同一个常数首项、公差(公比)取值有无限制没有任何限制首项、公比都不能为 0通项公式ana1(n1)dana1qn1讨论结果：(1)(3)略(4)等比数列定义：如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列(5)并不是所有
12、的两个数都有等比中项(6)除 0 外的常数列既是等差数列，又是等比数列(7)(8)略Error!Error!例例 1 由下面等比数列的通项公式，求首项与公比(1)an2n；(2)an 10n.14活动：本例的目的是让学生熟悉等比数列的概念及通项公式，可由学生口答或互相提问解：(1)an22n1，a12，q2.(2)an 1010n1，14a1 10 ，q10.1452点评：可通过通项公式直接求首项，再求公比如(1)中，a1212，a2224，q2.变式训练设 a1，a2，a3，a4成等比数列，其公比为 2，则的值为( )2a1a22a3a4A. B. C. D1141218答案：答案：A解析：
13、解析：由题意，知 a2a1q2a1，a3a1q24a1，a4a1q38a1， .2a1a22a3a42a12a18a18a114例例 2(教材本节例 3)活动：本例是等比数列通项公式的灵活运用，可让学生自己完成点评：解完本例后，启发引导学生观察 a5，a10，a15，a20的规律变式训练已知an为等比数列，a32，a2a4，求an的通项公式203解：设等比数列an的公比为 q，则 q0.a2 ，a4a3q2q，a3q2q 2q.2q203解得 q1 ，q23.13当 q 时，a118.13an18( )n1233n.13183n1当 q3 时，a1 ，29an 3n123n3.29例例 3 已
14、知数列an满足 a11，an12an1.(1)求证：数列an1是等比数列；(2)求 an的表达式活动：教师引导学生观察，数列an不是等差数列，也不是等比数列，要求 an的表达式，通过转化an1是等比数列来求解解：(1)证明：an12an1，an112(an1)a11，故 a110，则有2.an11an1an1是等比数列(2)由(1)知an1是以 a112 为首项，以 2 为公比的等比数列，an122n1，即 an2n1.点评：教师引导学生进行解后反思如本题(1)，不能忽视对 an10 的说明，因为在等比数列an中，an0，且公比 q0，否则解题会出现漏洞变式训练已知数列lgan是等差数列，求证：an是等比数列证明：lgan是等差数列，设公差为 d，则 lgan1lgand，即10d(常数)an1anan是等比数列Error!Error!1已知等比数列an满足 a1a23，a2a36，则 a7等于( )A64 B81 C128 D2432在等比数列中，已知首项为 ，末项为 ，公比为 ，则项数为( )981323A3 B4 C5 D6答案：答案：1A 解析：解析：由 a1a23，a2a36，知 q2，a11.所以 a7a1q664.2B 解析：解析：设等比数列为an又a1 ，q ，an ，qn1，即( )n1.982313ana123827n13
