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1、教学设计教学设计2 指数扩充及其运算性质指数扩充及其运算性质整整体体设设计计教学分析教学分析 我们在初中的学习过程中，已了解了整数指数幂的概念和运算性质从本节开始我们将在回顾平方根和立方根的基础上，类比出正数的 n 次方根的定义，从而把指数推广到分数指数进而推广到有理数指数，再推广到实数指数，并将幂的运算性质由整数指数幂推广到实数指数幂本节安排的内容蕴涵了许多重要的数学思想方法，如推广的思想(指数幂运算律的推广)、类比的思想、逼近的思想(有理数指数幂逼近无理数指数幂)、数形结合的思想(用指数函数的图像研究指数函数的性质)等，同时，充分关注与实际问题的结合，体现数学的应用价值根据本节内容的特点，
2、教学中要注意发挥信息技术的力量，尽量利用计算器和计算机创设教学情境，为学生的数学探究与数学思维提供支持三维目标三维目标 1通过与初中所学的知识进行类比，理解分数指数幂的概念，进而学习指数幂的性质掌握分数指数幂和根式之间的互化，掌握分数指数幂的运算性质培养学生观察分析、抽象类比的能力2掌握根式与分数指数幂的互化，渗透“转化”的数学思想通过运算训练，养成学生严谨治学，一丝不苟的学习习惯，让学生了解数学来自生活，数学又服务于生活的哲理3能熟练地运用有理指数幂运算性质进行化简、求值，培养学生严谨的思维和科学正确的计算能力4通过训练及点评，让学生更能熟练掌握指数幂的运算性质展示函数图像，让学生通过观察，
3、进而研究指数函数的性质，让学生体验数学的简洁美和统一美重点难点重点难点 教学重点：(1)分数指数幂和根式概念的理解(2)掌握并运用分数指数幂的运算性质(3)运用有理指数幂性质进行化简、求值教学难点：(1)分数指数幂及根式概念的理解(2)有理指数幂性质的灵活应用课时安排课时安排 2 课时教教学学过过程程21 指数概念的扩充指数概念的扩充导入新课导入新课 思路 1.碳 14 测年法原来宇宙射线在大气层中能够产生放射性碳 14，并与氧结合成二氧化碳后进入所有活组织，先为植物吸收，再为动物吸收，只要植物和动物生存着，它们就会不断地吸收碳 14 在机体内保持一定的水平而当有机体死亡后，即会停止吸收碳 1
4、4，其组织内的碳 14 便以约 5 730 年的半衰期开始衰变并消失对于任何含碳物质只要测定剩下的放射性碳 14 的含量，便可推断其年代(半衰期：经过一定的时间，变为原来的一半)引出本节课题：指数概念的扩充思路 2.同学们，我们在初中学习了整数指数幂及其运算性质，那么整数指数幂是否可以推广呢？答案是肯定的这就是本节的主讲内容，教师板书本节课题指数概念的扩充推进新课推进新课 Error!Error!1整数指数幂的运算性质是什么？ 2观察以下式子，并总结出规律：a0，5a105a25a2a105； a8 a42a4a82；4a124a34a3a124；2a102a52a5a102.3利用2的规律，
5、你能表示下列式子吗？453，375，5a7，nxmx 0，m，n N，且n 1. 4你能用方根的意义来解释3的式子吗？ 5你能推广到一般的情形吗？活动：活动：学生回顾初中学习的整数指数幂及运算性质，仔细观察，特别是每题的开始和最后两步的指数之间的关系，教师引导学生体会方根的意义，用方根的意义加以解释，指点启发学生类比(2)的规律表示，借鉴(2)(3)，我们把具体推广到一般，对写正确的同学及时表扬，其他学生鼓励提示讨论结果：(1)整数指数幂的运算性质：anaaaa，a01(a0)；00无意义；an(a0)；amanamn；(am)namn；(an)mamn；(ab)nanbn.其中 n，mN.1
6、an(2)a2是 a10的 5 次方根；a4是 a8的 2 次方根；a3是 a12的 4 次方根；a5是 a10的2 次方根实质上，结果的 a 的10 5105aaa88 2a412a12 4a10 2102aa指数是 2,4,3,5 分别写成了， ， ，形式上变了，本质没变10582124102根据 4 个式子的最后结果可以总结：当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以写成分数作为指数的形式(分数指数幂形式)(3)利用(2)的规律，.4533 453755 375a77 5anxmm nx(4)53的四次方根是，75的三次方根是，a7的五次方根是，xm的 n 次方根是.3 455 3
7、77 5am nx结果表明方根的结果和分数指数幂是相通的(5)如果 a0，那么 am的 n 次方根可表示为，即namm na(a0，m，nN，n1)m nanam综上所述，我们得到正数的正分数指数幂的意义，教师板书：规定：正数的正分数指数幂的意义是(a0，m，nN，n1)m nanamError!负整数指数幂的意义是怎样规定的？你能得出负分数指数幂的意义吗？你认为应怎样规定零的分数指数幂的意义？综合上述，如何规定分数指数幂的意义？分数指数幂的意义中，为什么规定 a0？去掉这个规定会产生什么样的后果？既然指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质是否也适用于有理数指数幂呢
8、？活动：活动：学生回想初中学习的情形，结合自己的学习体会回答，根据零的整数指数幂的意义和负整数指数幂的意义来类比，把正分数指数幂的意义与负分数指数幂的意义融合起来，与整数指数幂的运算性质类比可得有理数指数幂的运算性质，教师在黑板上板书，学生合作交流，以具体的实例说明 a0 的必要性，教师及时作出评价讨论结果：负整数指数幂的意义是：an(a0，nN)1an既然负整数指数幂的意义是这样规定的，类比正数的正分数指数幂的意义可得正数的负分数指数幂的意义规定：正数的负分数指数幂的意义是(a0，m，nN，n1)11m n mnm na aa规定：零的分数指数幂的意义是：零的正分数次幂等于零，零的负分数指数
9、幂没有意义教师板书分数指数幂的意义分数指数幂的意义就是：有时我们把正分数指数幂写成根式，即(a0，m，nN)，正数的正分数指m nmnaa数幂的意义是(a0，m，nN，n1)，正数的负分数指数幂的意义是m nmnaa(a0，m，nN，n1)，零的正分数次幂等 于零，零的负分数指数幂11m n mnm na aa没有意义若没有 a0 这个条件会怎样呢？如1，1 具有同样意义的两个式子出现了截然不同的1 33( 1)12 6( 1)612结果，这只说明分数指数幂在底数小于零时是无意义的因此在把根式化成分数指数时，切记要使底数大于零，如无 a0 的条件，比如式子，同时负数开奇次方是有意义的，3a22
10、 3a负数开奇次方时，应把负号移到根式的外边，然后再按规定化成分数指数幂，也就是说，负分数指数幂在有意义的情况下总表示正数，而不是负数，负数只是出现在指数上规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数有理数指数幂的运算性质：对任意的有理数 r，s，均有下面的运算性质：(1)arasars(a0，r，sQ)，(2)(ar)sars(a0，r，sQ)，(3)(ab)rarbr(a0，b0，rQ)我们利用分数指数幂的意义和有理数指数幂的运算性质可以解决一些问题，来看下面的例题Error!思路 1例 1 求值：(1)；(2)；(3)5；(4).2 381 225(12)3 416
11、 81活动：活动：教师引导学生考虑解题的方法，利用幂的运算性质计算出数值或化成最简根式，根据题目要求，把底数写成幂的形式，8 写成 23,25 写成 52， 写成 21，写成( )4，利用有12168123理数幂的运算性质可以解答，完成后，把自己的答案用投影仪展示出来解：解：(1)224；2 382 33(2 )2332(2)51 ；1 2251 22(5 )1225 15(3)5(21)521(5)32；(12)(4)3.3 416 813442 3 (23)278点评：点评：本例主要考查幂值运算，要按规定来解在进行幂值运算时，要首先考虑转化为指数运算，而不是首先转化为熟悉的根式运算，如4.
12、2 38382364例 2 用分数指数幂的形式表示下列各式的 b.(1)b532；(2)b435；(3)b5n3m(m，nN)活动：活动：学生观察、思考，根据解题的顺序，先化为根式，把根式化为分数指数幂，再由幂的运算性质来运算，根式化为分数指数幂时，要由里往外依次进行，把握好运算性质和顺序，学生讨论交流自己的解题步骤，教师评价学生的解题情况，鼓励学生注意总结解：解：(1)b；5321 532(2)b；4355 43(3)b(m，nN)5n3m3 5m n点评：点评：利用分数指数幂的意义和有理数指数幂的运算性质进行根式运算时，其顺序是先化为根式，再把根式化为分数指数幂，再由幂的运算性质来运算对于
13、计算的结果，不强求统一用什么形式来表示，没有特别要求，就用分数指数幂的形式来表示，但结果不能既有分数指数又有根式，也不能既有分母又有负指数例 3 计算下列各式：(1)；1 327(2).3 24活动：活动：先由学生观察以上两个式子的特征，然后分析，根据方根的意义来解解：解：(1)因为 3327，所以3；1 327(2)因为 8243，所以8.3 24变式训练变式训练求值：(1)3；33363(2).6(27m3125n6)4解：解：(1)33329；333631 231 331 631 1 112 3 63 (2)m2n4.6(27m3125n6)444 33366636273 1255mm
14、nn44 336644 3666(3 ) ()(5 ) ()mn9m225n4925例 4 计算下列各式：(1)()；325125425(2)(a0)a2a3a2活动：活动：先由学生观察以上两个式子的特征，然后分析，化为同底利用分数指数幂计算，在第(1)小题中，只含有根式，且不是同次根式，比较难计算，但把根式先化为分数指数幂再计算，这样就简便多了，第(2)小题也是先把根式转化为分数指数幂后再由运算法则计算，最后写出解答解：解：(1)原式()()11 32251251 42523 32551 2555；2 1 3253 1 2251 6565(2).a2a3a2221 32aaa12526523
15、6aaa 思路 2例 1 比较，的大小53116123活动：活动：学生努力思考，积极交流，教师引导学生解题的思路，由于根指数不同，应化成统一的根指数，才能进行比较，又因为根指数最大的是 6，所以我们应化为六次根式，然后，只看被开方数的大小就可以了解：解：因为，而 125123121，所以.所以565361253116121612561236121.56123311点评：点评：把根指数统一是比较几个根式大小的常用方法例 2 求下列各式的值：(1)；243819(2)2.331.5612活动：活动：学生观察以上几个式子的特征，既有分数指数幂又有根式，应把根式转化为分数指数幂后再由运算法则计算，如果根式中根指数不同，也应化成分数指数幂，然后分析解答，对(1)应由里往外，对(2)化为同底的分数指数幂，及时对学生活24381941
