《中学代数研究》第2章--式、代数式,不等式

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1、中学代数研究第二章中学代数研究第二章 2015/12/21 1 2015/12/21 第二章第二章 式、代数式与不等式式、代数式与不等式 数学主要是一种符号语言。数学主要是一种符号语言。 学生学会运用符号语言表示数学思想，这是数学学生学会运用符号语言表示数学思想，这是数学 教育的一项重要的目标，也是学生必须掌握的一切数教育的一项重要的目标，也是学生必须掌握的一切数 学基本能力。学基本能力。 数学式能够方便地表达一定的逻辑含义，这标志数学式能够方便地表达一定的逻辑含义，这标志 着符号数学语言的产生。着符号数学语言的产生。 2015/12/21 第一节第一节 数学符号简历数学符号简历 古代数学涉及

2、的抽象概念很少，也很少利用抽象古代数学涉及的抽象概念很少，也很少利用抽象 符号。符号。几何原本几何原本就不使用数学符号。就不使用数学符号。 公元公元10世纪左右的阿拉伯数学，用文字代表数，世纪左右的阿拉伯数学，用文字代表数， 使得数和文字可以实行运算，并借此求未知数，这是使得数和文字可以实行运算，并借此求未知数，这是 一项重大贡献。一项重大贡献。 1516世纪，数学有了重大发展，对数的产生、世纪，数学有了重大发展，对数的产生、 方程的求解等等进步，要求使用精确、简约的符号表方程的求解等等进步，要求使用精确、简约的符号表 达复杂的数学概念并进行运算。最早使用“达复杂的数学概念并进行运算。最早使用

3、“+” “-” 表示加减的是德国数学家。表示加减的是德国数学家。 2015/12/21 1631年，英国数学家使用“年，英国数学家使用“”表示乘法，”表示乘法， 1998年莱布尼兹用“年莱布尼兹用“”表示乘法。”表示乘法。1659年，瑞士人年，瑞士人 雷恩引入除法的记号“雷恩引入除法的记号“”。”。1557年英国数学家首先年英国数学家首先 使用等号，但到使用等号，但到17世纪晚期才普遍使用。世纪晚期才普遍使用。 1693年英国数学家写出的方程的形式和现代的方年英国数学家写出的方程的形式和现代的方 程符号非常一致。程符号非常一致。 至于指数、至于指数、 对数、对数、 方根、方根、 绝对值、绝对值

4、、 阶乘等等阶乘等等 符号，都先后在欧洲出现。经过几百年的磨合，也随符号，都先后在欧洲出现。经过几百年的磨合，也随 着着19世纪末、世纪末、20世纪初国际交往的扩大，终于有了比世纪初国际交往的扩大，终于有了比 较统一的国际通用的数学符号。较统一的国际通用的数学符号。 中国普遍使用国际通用数学符号相当晚。满清政中国普遍使用国际通用数学符号相当晚。满清政 府推行“中学为体，西学为用”的政策，在符号使用府推行“中学为体，西学为用”的政策，在符号使用 上拒绝和国际接轨。上拒绝和国际接轨。 2015/12/21 1859年，李善兰在翻译第一部微积分著作时，还年，李善兰在翻译第一部微积分著作时，还 使用许

5、多自己创作的符号。使用许多自己创作的符号。 由此可见中国融入世界数学的艰难。辛亥革命之由此可见中国融入世界数学的艰难。辛亥革命之 后，李善兰创造的这套早期符号，终于废弃不用。用后，李善兰创造的这套早期符号，终于废弃不用。用 x,y,z取代天取代天,地地,人的过程，前后经历了半个世纪之久。人的过程，前后经历了半个世纪之久。 1919年五四运动以后，中国开始普及现代学校教育，年五四运动以后，中国开始普及现代学校教育， 国际通用的数学符号终于在我国逐渐传播开来。国际通用的数学符号终于在我国逐渐传播开来。 2015/12/21 第二节第二节 数学符号语言数学符号语言-代数式代数式 从历史上看，每一个重

6、大的数学进展都和数学符从历史上看，每一个重大的数学进展都和数学符 号的创造性运用分不开。阿拉伯人用字母代表数，创号的创造性运用分不开。阿拉伯人用字母代表数，创 立了代数的新纪元。立了代数的新纪元。 用符号写成的微分方程成为描写现代世界的最强用符号写成的微分方程成为描写现代世界的最强 有力的工具。抽象代数可以说是研究符号运算的数学有力的工具。抽象代数可以说是研究符号运算的数学 分支。分支。 数学符号语言的运用，使复杂的数学推理成为可能。数学符号语言的运用，使复杂的数学推理成为可能。 理性思维的基本品质之一是善于使用符号语言。理性思维的基本品质之一是善于使用符号语言。 2015/12/21 强调数

7、学学习的重要性，原因之一在于数学能够强调数学学习的重要性，原因之一在于数学能够 培养学生熟练地使用形式符号进行推理的能力，并且培养学生熟练地使用形式符号进行推理的能力，并且 由此提高理性思维的品质和素养。由此提高理性思维的品质和素养。 对数学教师来说，能否帮助学生掌握符号语言的对数学教师来说，能否帮助学生掌握符号语言的 运用，是教学能否取得成功的关键之一。运用，是教学能否取得成功的关键之一。 数学语言中的符号不仅仅是简单的符号约定，合数学语言中的符号不仅仅是简单的符号约定，合 理的符号体系是逻辑演绎的有力工具。理的符号体系是逻辑演绎的有力工具。 在数学中，符号具有逻辑的功能，是可以运算求在数学

8、中，符号具有逻辑的功能，是可以运算求 解的对象。解的对象。 一个数学模型，往往就是一个用符号写成的方程，一个数学模型，往往就是一个用符号写成的方程， 是一种科学规律的简洁表示，具有深刻的内涵。例如是一种科学规律的简洁表示，具有深刻的内涵。例如 函数符号，极限的记号。函数符号，极限的记号。 2015/12/21 既然符号是一种语言，具有深刻的含义，就应该及既然符号是一种语言，具有深刻的含义，就应该及 早出现，讲清意义早出现，讲清意义, 多加使用，尽量练习，有时甚至先多加使用，尽量练习，有时甚至先 介绍符号，逐一加以解释，往往可以收到“事半功倍”介绍符号，逐一加以解释，往往可以收到“事半功倍” 的

9、效果。的效果。 今天的计算机时代里，控制计算机的语言恰恰是“符今天的计算机时代里，控制计算机的语言恰恰是“符 号语言”。程序语言归根结底是一种特定的符号语言。号语言”。程序语言归根结底是一种特定的符号语言。 数学学得好，多半计算机学得好。数学学得好，多半计算机学得好。 把数学符号仅仅帮助记号，而不把它作为语言教学，把数学符号仅仅帮助记号，而不把它作为语言教学， 是不对的。是不对的。 数学教学中，常常见到：先讲例子，然后引出文字数学教学中，常常见到：先讲例子，然后引出文字 的定义，最后说它的记号是什么。的定义，最后说它的记号是什么。 符号语言的运用是数学的特征之一，学会使用符号符号语言的运用是数

10、学的特征之一，学会使用符号 语言表述丰富的思想，并用以指挥计算机进行操作，是语言表述丰富的思想，并用以指挥计算机进行操作，是 人类理性思维发展的必备基础。人类理性思维发展的必备基础。 2015/12/21 在中学里，许多术语和概念都难以严格定义，往在中学里，许多术语和概念都难以严格定义，往 往只是一种形象性的描述。往只是一种形象性的描述。 有的概念本身很原始，没有办法再用逻辑方法加有的概念本身很原始，没有办法再用逻辑方法加 以严格地定义。还有一些则是太复杂，难以说清楚。以严格地定义。还有一些则是太复杂，难以说清楚。 对于这类数学法则，初学者一般只需要承认他，并能对于这类数学法则，初学者一般只需

11、要承认他，并能 加以运用就行了。加以运用就行了。 第三节第三节 字母表示数字母表示数 有一些知识，虽然教师需要透彻理解，而学生只需有一些知识，虽然教师需要透彻理解，而学生只需 要了解其大意，会用即可。文字代表数，就是其中之一。要了解其大意，会用即可。文字代表数，就是其中之一。 2015/12/21 进入中学学习“代数”，正式提出“字母表示数”进入中学学习“代数”，正式提出“字母表示数” 的课题，要求用字母的课题，要求用字母x代替要求的未知数。代替要求的未知数。 利用字母表示的数学符号称为形式符号。一旦数利用字母表示的数学符号称为形式符号。一旦数 学引入了形式符号，符号语言就开始发挥重大的作用。

12、学引入了形式符号，符号语言就开始发挥重大的作用。 现在的小学里，已经使用符号来代表数。例如，现在的小学里，已经使用符号来代表数。例如， 7+( )=16?，就是用括号代表所要求的数，括号也是，就是用括号代表所要求的数，括号也是 符号。符号。 2015/12/21 1.用文字泛指某个数集中的一个数。用文字泛指某个数集中的一个数。a+b =b+a（加（加 法交换律）。法交换律）。a，b泛指已经学过的数。泛指已经学过的数。 2.专指特定的数。列方程时所假设的未知数专指特定的数。列方程时所假设的未知数 x, y。 3.作为变量。例如，函数中的字母。作为变量。例如，函数中的字母。 字母表示数可以分为以下

13、的四个层次：字母表示数可以分为以下的四个层次： 4.作为不定元参与数学运算。作为不定元参与数学运算。 2015/12/21 字母代表数，是数学进步的一个重要里程碑。字母代表数，是数学进步的一个重要里程碑。 其真正价值在于：其真正价值在于： “文字能够和数字一起进行四则运算和乘方、开“文字能够和数字一起进行四则运算和乘方、开 方，进行指数、对数、三角等运算，乃至对字母进行方，进行指数、对数、三角等运算，乃至对字母进行 微分、积分运算等等。微分、积分运算等等。 ” 不定元也是符号，相当于一个词汇。至于不定元不定元也是符号，相当于一个词汇。至于不定元 如何和数字一样进行运算，则相当于“数学符号语言”

14、如何和数字一样进行运算，则相当于“数学符号语言” 的语法。的语法。 这就是不定元带给我们的好处。这就是不定元带给我们的好处。 2015/12/21 由于研究方程、函数等的需要，对于那些用运算符由于研究方程、函数等的需要，对于那些用运算符 号、函数符号、括号，作用于数字和字母之上形成的号、函数符号、括号，作用于数字和字母之上形成的 数学式称为解析式。数学式称为解析式。 例如，例如，3 (12-7), ax-by+3z, n!, xdx+ydy, sinxdx 等等都是解析式，其中的等等都是解析式，其中的x,y,z是不定元是不定元 。 解析式可以看作是不定元通过运算符号连接起来的解析式可以看作是不

15、定元通过运算符号连接起来的 符号串。不定元的个数，称为解析式的“元”数。前符号串。不定元的个数，称为解析式的“元”数。前 后用加减号隔开的那一部分称为解析式的“项”。后用加减号隔开的那一部分称为解析式的“项”。 第四节第四节 解析式解析式 2015/12/21 代数式只含有加、减、乘、除四则运算和有理数代数式只含有加、减、乘、除四则运算和有理数 次的乘方开方运算，次的乘方开方运算， 超越式则是含有超越运算的解析式。例如，超越式则是含有超越运算的解析式。例如，sin, cos, lg, ax(x是无理数是无理数)等等。等等。 解析式分为代数式和超越式。解析式分为代数式和超越式。 超越式超越式 解

16、析式解析式 无理式无理式 代数式代数式 整式整式 有理式有理式 分式。分式。 对于整式对于整式,根据其不定元数和次数，还分别有不同根据其不定元数和次数，还分别有不同 的名称。的名称。k元元n次式。次式。 整式整式 2015/12/21 1515 注意：是注意：是数域数域 F上的多项式，变数上的多项式，变数字母字母 x,y,z所取的数值都属于数域所取的数值都属于数域F 111222 12(1)sssklqklqklq sAx yzA x yzA x yzs整式（多项式）：1.iiiklq iiiiAx yzAklq称为多项式的项， 称为项的系数， 、 、 都是非负整数零多项式：各个系数都等于零的多项式零多项式：各个系数都等于零的多项式 + +.+1,2,.,iiiklq is多项式的次数：()中的最大非负整数值多项式恒等多项式恒等数域数域 上的两个具有相同变数字母的多项式，如