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1、第第1 1讲讲 函数的图象与性质函数的图象与性质【课前热身课前热身】 第1讲 函数的图象与性质(本讲对应学生用书第3132页)1.(必修1 P28例6改编)画出函数f(x)=x2+1的图象,若00时,f(x)=1,则函数y=f(x)的解析式为 .【答案】f(x)=1000-10xxx ,【解析】由于y=f(x)是R上的奇函数,所以f(0)=0.当x0,所以f(-x)=1=-f(x),即f(x)=-1,所以f(x)=10 00 -10.x x x , , ,5.(必修1 P53拓展15改编)若函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y),则函数f(x)是 函数.(填“奇”或“偶”)【答案】奇
2、【解析】令x=y=0,得f(0)=0,再令y=-x,得f(-x)=-f(x),所以函数f(x)是奇函数.【课堂导学课堂导学】基本初等函数的图象与性质例1 (1)已知y=loga(2-ax)在0,1上是关于x的减函数,则实数a的取值范围是 .(2)(2016通州中学)若存在正数x使得2x(x-a)0,所以u=-ax+2为减函数.又y=logau在0,1上是x的减函数,根据复合函数“同增异减”的法则,可知a1.又u0在0,1上恒成立,故u(1)=2-a0a0,所以由2x(x-a)0时,g(x)=2-x0,使2x(x-a)-1.(3)因为函数f(x)=2|x-m|-1为偶函数,所以m=0,即f(x)
3、=2|x|-1,所以a=f(log0.53)=f21log3=21log32-1=2log 32-1=3-1=2,b=f(log25)=2log 52-1=4,c=f(2m)=f(0)=20-1=0,所以c0且a1,bR R)的图象如图(1)所示,则a+b的值是 .(2)(2016常州一中)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间0,+)上单调递增.若实数a满足f(log2a)+f(lo12g a)2f(1),则a的取值范围是 .(3)(2016金陵中学)已知f(x)是定义域为R的偶函数,当x0时,f(x)=x2-4x,那么不等式f(x+2)0.当x0时,f(x)=x2-4x,所以f(-
4、x)=(-x)2-4(-x).因为f(x)是定义在R上的偶函数,得f(-x)=f(x),所以f(x)=x2+4x(x1).(1)若f(x)的定义域和值域均是1,a,求实数a的值;(2)若f(x)在区间(-,2上是减函数,且对任意的x1,x21,a+1,总有|f(x1)-f(x2)|4,求实数a的取值范围.【解答】(1)因为f(x)=(x-a)2+5-a2(a1),所以f(x)在1,a上是减函数.又定义域和值域均为1,a,所以(1) ( )1fa f a , ,即221-25 -251aa aa, ,解得a=2.(2)因为f(x)在区间(-,2上是减函数,所以a2.又x=a1,a+1,且(a+1
5、)-aa-1,所以f(x)max=f(1)=6-2a,f(x)min=f(a)=5-a2.因为对任意的x1,x21,a+1,总有|f(x1)-f(x2)|4,所以f(x)max-f(x)min4,得-1a3.又a2,所以2a3.所以实数a的取值范围为2,3.函数图象的识别与应用例2 (2016全国卷)已知函数f(x)(xR R)满足f(-x)=2-f(x),若函数y=1x x 与y=f(x)图象的交点为(x1,y1),(x2,y2),(xm,ym),则1mi (xi+yi)= .【点拨】注意函数关于点(0,1)对称.【答案】m【解析】由f(-x)=2-f(x),得f(x)的图象关于点(0,1)
6、对称.因为y=1x x =1+1 x的图象也关于点(0,1)对称,所以两函数图象的交点必关于点(0,1)对称,且对于每一组对称点(xi,yi)和(xi,yi)均满足xi+xi=0,yi+yi=2,所以1mi (xi+yi)=1mi xi+1mi yi=0+22m =m.变式 (2016扬州期末)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x0时,f(x)=1 2(|x-a|+|x-2a|-3|a|).若集合x|f(x-1)-f(x)0,xR R=,则实数a的取值范围为 .(变式)【答案】1-6,【解析】当a0时,由x0得f(x)=1 2(x-a+x-2a+3a)=x,因为f(x)是奇函数,所以f(
7、x)=x,此时f(x-1)=x-1,f(x-1)-f(x)=-10无解,满足题意;当a0时,当x0时,f(x)=-32-2- 0xaxaaaxaxxa ,根据f(x)是奇函数,从而作出f(x)的图象如图所示,要使x|f(x-1)-f(x)0,xR R=,则至少要将f(x)的图象向右平移6a个单位,故0a时无最大值,且-2aa3-3a,所以a0(a0且a1),则实数a的取值范围是 .【答案】(0,1)(3,+)【解析】由函数f(x)的解析式易知该函数为奇函数且在定义域R上是单调增函数,故f(1)+f(lo1ga3)0,即f(lo1ga3)-f(1)=f(-1),即lo1ga3-1=lo1gaa,
8、所以113a a ,或1013a a ,解得03.5.(2015苏锡常镇二模)已知函数f(x)=|x3-4x|+ax-2恰有两个零点,那么实数a的取值范围为 .(第5题)【答案】(-,-1)(1,+)【解析】令f(x)=0,即|x3-4x|=2-ax.作出函数y=|x3-4x|与y=2-ax的图象如图所示.由题意知两个函数图象有且仅有两个公共点,数形结合,当直线y=2-ax过点(-2,0)时,a=-1,直线为y=2+x,与y=x3-4x联立,解得x=-2,12,说明两图象有三个交点,不合题意,所以-a1,即a1也满足题意,所以a的取值范围为(-,-1)(1,+).温馨提示:趁热打铁,事半功倍.
9、请老师布置同学们完成配套检测与评估第1516页.【检测与评估检测与评估】 专题四 函数与导数第1讲 函数的图象与性质一、 填空题1.(2016南京一中)若函数f(x)=(m2-m-1)2-2-1mmx是幂函数,且在x(0,+)上是减函数,则实数m= .2.(2015苏州调研)已知函数y=log2- 1a x x为奇函数,则实数a的值为 .3.(2015南师附中)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+4)=f(x),且在0,2上,f(x)=(1- ) 01 sin 12xxx xx, ,那么f29 4+f41 6= .4.(2016山东卷)已知函数f(x)的定义域为R,当x1 2时,f1 2
10、x=f1-2x,则f(6)= .5.(2016天津卷)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间(-,0)上单调递增.若实数a满足f(2|a-1|)f(-2),则a的取值范围是 .6.(2016苏北四市期末)已知定义在R上的奇函数f(x)满足当x0时,f(x)=log2(2+x)+(a-1)x+b(a,b为常数).若f(2)=-1,则f(-6)的值为 .7.(2016江苏信息卷)设偶函数f(x)满足f(x)=3x-9(x0),若f(x-1)1 2时,f1 2x=f1-2x,所以f(x)的周期为1,则f(6)=f(1).因为当-1x1时,f(-x)=-f(x),所以f(1)=-f(-1).又当x
11、f(-2),f(-2)=f(2),所以2|a-1|f(-x2)=-f(x2),所以f(x1)+f(x2)0,所以f(x1)+f(x2)(x1+x2)0,则1x1-x2-1,同理可证f(x1)+f(x2)1时,(x)2,当x-2,所以(x)-2,故此时a-2.综合知所求实数a的取值范围是a|a-2.(2) 因为h(x)=|f(x)|+g(x)=|x2-1|+a|x-1|=222- -11 -1-11 -1-1.xax ax x axax x axax , , ,当2a 1,即a2时,结合图形可知h(x)在-2,1上单调递减,在(1,2上单调递增,且h(-2)=3a+3,h(2)=a+3,经比较,
12、此时h(x)在-2,2上的最大值为3a+3.当02a 1,即0a2时,结合图形可知h(x)在-2,-1,-12a , 上单调递减,在-1-2a, ,(1,2上单调递增,且h(-2)=3a+3,h(2)=a+3,h-2a =24a+a+1,经比较,知此时h(x)在-2,2上的最大值为3a+3.当-12a 0,即-2a0时,结合图形可知h(x)在-2,-1,-12a , 上单调递减,在-1-2a, ,(1,2上单调递增,且h(-2)=3a+3,h(2)=a+3,h-2a =24a+a+1,经比较,知此时h(x)在-2,2上的最大值为a+3.当-3 22a -1,即-3a-2时,结合图形可知h(x)在-22a , ,1-2a , 上单调递减,在12a , ,-22a, 上单调递增,且h(-2)=3a+30,h(1)=0,h(2)=a+30,经比较,知此时h(x)在-2,2上的最大值为a+3.当2a -3 2,即a-3时,结合图形可知h(x)在-22a , ,1-2a , 上单调递减,在12a , ,-22a, 上单调递增,h(-2)=3a+30,h(2)=a+30,h(1)=0,故此时h(x)在-2,2上的最大值为h(1)=0.综上所述,当a0时,h(x)在-2,2上的最大值为3a+3;当-3a0时,h(x)在-2,2上的最大值为a+3;当a-3时,h(x)在-2,2上的最大值为0.