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1、第第1 1讲讲 函数的图象与性质函数的图象与性质【课前热身课前热身】 第1讲 函数的图象与性质(本讲对应学生用书第3132页)1.(必修1 P28例6改编)画出函数f(x)=x2+1的图象，若00时，f(x)=1，则函数y=f(x)的解析式为 .【答案】f(x)=1000-10xxx ，【解析】由于y=f(x)是R上的奇函数，所以f(0)=0.当x0，所以f(-x)=1=-f(x)，即f(x)=-1，所以f(x)=10 00 -10.x x x ， ， ，5.(必修1 P53拓展15改编)若函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)，则函数f(x)是 函数.(填“奇”或“偶”)【答案】奇
2、【解析】令x=y=0，得f(0)=0，再令y=-x，得f(-x)=-f(x)，所以函数f(x)是奇函数.【课堂导学课堂导学】基本初等函数的图象与性质例1 (1)已知y=loga(2-ax)在0，1上是关于x的减函数，则实数a的取值范围是 .(2)(2016通州中学)若存在正数x使得2x(x-a)0，所以u=-ax+2为减函数.又y=logau在0，1上是x的减函数，根据复合函数“同增异减”的法则，可知a1.又u0在0，1上恒成立，故u(1)=2-a0a0，所以由2x(x-a)0时，g(x)=2-x0，使2x(x-a)-1.(3)因为函数f(x)=2|x-m|-1为偶函数，所以m=0，即f(x)
3、=2|x|-1，所以a=f(log0.53)=f21log3=21log32-1=2log 32-1=3-1=2，b=f(log25)=2log 52-1=4，c=f(2m)=f(0)=20-1=0，所以c0且a1，bR R)的图象如图(1)所示，则a+b的值是 .(2)(2016常州一中)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间0，+)上单调递增.若实数a满足f(log2a)+f(lo12g a)2f(1)，则a的取值范围是 .(3)(2016金陵中学)已知f(x)是定义域为R的偶函数，当x0时，f(x)=x2-4x，那么不等式f(x+2)0.当x0时，f(x)=x2-4x，所以f(-
4、x)=(-x)2-4(-x).因为f(x)是定义在R上的偶函数，得f(-x)=f(x)，所以f(x)=x2+4x(x1).(1)若f(x)的定义域和值域均是1，a，求实数a的值；(2)若f(x)在区间(-，2上是减函数，且对任意的x1，x21，a+1，总有|f(x1)-f(x2)|4，求实数a的取值范围.【解答】(1)因为f(x)=(x-a)2+5-a2(a1)，所以f(x)在1，a上是减函数.又定义域和值域均为1，a，所以(1) ( )1fa f a ， ，即221-25 -251aa aa， ，解得a=2.(2)因为f(x)在区间(-，2上是减函数，所以a2.又x=a1，a+1，且(a+1
5、)-aa-1，所以f(x)max=f(1)=6-2a，f(x)min=f(a)=5-a2.因为对任意的x1，x21，a+1，总有|f(x1)-f(x2)|4，所以f(x)max-f(x)min4，得-1a3.又a2，所以2a3.所以实数a的取值范围为2，3.函数图象的识别与应用例2 (2016全国卷)已知函数f(x)(xR R)满足f(-x)=2-f(x)，若函数y=1x x 与y=f(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，(xm，ym)，则1mi (xi+yi)= .【点拨】注意函数关于点(0，1)对称.【答案】m【解析】由f(-x)=2-f(x)，得f(x)的图象关于点(0，1)
6、对称.因为y=1x x =1+1 x的图象也关于点(0，1)对称，所以两函数图象的交点必关于点(0，1)对称，且对于每一组对称点(xi，yi)和(xi，yi)均满足xi+xi=0，yi+yi=2，所以1mi (xi+yi)=1mi xi+1mi yi=0+22m =m.变式 (2016扬州期末)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)=1 2(|x-a|+|x-2a|-3|a|).若集合x|f(x-1)-f(x)0，xR R=，则实数a的取值范围为 .(变式)【答案】1-6，【解析】当a0时，由x0得f(x)=1 2(x-a+x-2a+3a)=x，因为f(x)是奇函数，所以f(
7、x)=x，此时f(x-1)=x-1，f(x-1)-f(x)=-10无解，满足题意；当a0时，当x0时，f(x)=-32-2- 0xaxaaaxaxxa ，根据f(x)是奇函数，从而作出f(x)的图象如图所示，要使x|f(x-1)-f(x)0，xR R=，则至少要将f(x)的图象向右平移6a个单位，故0a时无最大值，且-2aa3-3a，所以a0(a0且a1)，则实数a的取值范围是 .【答案】(0，1)(3，+)【解析】由函数f(x)的解析式易知该函数为奇函数且在定义域R上是单调增函数，故f(1)+f(lo1ga3)0，即f(lo1ga3)-f(1)=f(-1)，即lo1ga3-1=lo1gaa，
8、所以113a a ，或1013a a ，解得03.5.(2015苏锡常镇二模)已知函数f(x)=|x3-4x|+ax-2恰有两个零点，那么实数a的取值范围为 .(第5题)【答案】(-，-1)(1，+)【解析】令f(x)=0，即|x3-4x|=2-ax.作出函数y=|x3-4x|与y=2-ax的图象如图所示.由题意知两个函数图象有且仅有两个公共点，数形结合，当直线y=2-ax过点(-2，0)时，a=-1，直线为y=2+x，与y=x3-4x联立，解得x=-2，12，说明两图象有三个交点，不合题意，所以-a1，即a1也满足题意，所以a的取值范围为(-，-1)(1，+).温馨提示：趁热打铁，事半功倍.
9、请老师布置同学们完成配套检测与评估第1516页.【检测与评估检测与评估】 专题四 函数与导数第1讲 函数的图象与性质一、 填空题1.(2016南京一中)若函数f(x)=(m2-m-1)2-2-1mmx是幂函数，且在x(0，+)上是减函数，则实数m= .2.(2015苏州调研)已知函数y=log2- 1a x x为奇函数，则实数a的值为 .3.(2015南师附中)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+4)=f(x)，且在0，2上，f(x)=(1- ) 01 sin 12xxx xx， ，那么f29 4+f41 6= .4.(2016山东卷)已知函数f(x)的定义域为R，当x1 2时，f1 2
10、x=f1-2x，则f(6)= .5.(2016天津卷)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(-，0)上单调递增.若实数a满足f(2|a-1|)f(-2)，则a的取值范围是 .6.(2016苏北四市期末)已知定义在R上的奇函数f(x)满足当x0时，f(x)=log2(2+x)+(a-1)x+b(a，b为常数).若f(2)=-1，则f(-6)的值为 .7.(2016江苏信息卷)设偶函数f(x)满足f(x)=3x-9(x0)，若f(x-1)1 2时，f1 2x=f1-2x，所以f(x)的周期为1，则f(6)=f(1).因为当-1x1时，f(-x)=-f(x)，所以f(1)=-f(-1).又当x
11、f(-2)，f(-2)=f(2)，所以2|a-1|f(-x2)=-f(x2)，所以f(x1)+f(x2)0，所以f(x1)+f(x2)(x1+x2)0，则1x1-x2-1，同理可证f(x1)+f(x2)1时，(x)2，当x-2，所以(x)-2，故此时a-2.综合知所求实数a的取值范围是a|a-2.(2) 因为h(x)=|f(x)|+g(x)=|x2-1|+a|x-1|=222- -11 -1-11 -1-1.xax ax x axax x axax ， ， ，当2a 1，即a2时，结合图形可知h(x)在-2，1上单调递减，在(1，2上单调递增，且h(-2)=3a+3，h(2)=a+3，经比较，
12、此时h(x)在-2，2上的最大值为3a+3.当02a 1，即0a2时，结合图形可知h(x)在-2，-1，-12a ， 上单调递减，在-1-2a， ，(1，2上单调递增，且h(-2)=3a+3，h(2)=a+3，h-2a =24a+a+1，经比较，知此时h(x)在-2，2上的最大值为3a+3.当-12a 0，即-2a0时，结合图形可知h(x)在-2，-1，-12a ， 上单调递减，在-1-2a， ，(1，2上单调递增，且h(-2)=3a+3，h(2)=a+3，h-2a =24a+a+1，经比较，知此时h(x)在-2，2上的最大值为a+3.当-3 22a -1，即-3a-2时，结合图形可知h(x)在-22a ， ，1-2a ， 上单调递减，在12a ， ，-22a， 上单调递增，且h(-2)=3a+30，h(1)=0，h(2)=a+30，经比较，知此时h(x)在-2，2上的最大值为a+3.当2a -3 2，即a-3时，结合图形可知h(x)在-22a ， ，1-2a ， 上单调递减，在12a ， ，-22a， 上单调递增，h(-2)=3a+30，h(2)=a+30，h(1)=0，故此时h(x)在-2，2上的最大值为h(1)=0.综上所述，当a0时，h(x)在-2，2上的最大值为3a+3；当-3a0时，h(x)在-2，2上的最大值为a+3；当a-3时，h(x)在-2，2上的最大值为0.
