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1、高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网圆锥曲线中的探索性问题圆锥曲线中的探索性问题一、常见基本题型：一、常见基本题型：（1 1）探索图形的面积问题）探索图形的面积问题例 1、斜率为的直线 BD 交椭圆于 B、D 两点，且 A、B、D 三点不重合。222 :124xyC则ABD面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由？解：设直线方程为，联立方程2yxb，消去得222124yxbxyy2242 240xbxb06482b 2222b,22 21bxx 44221bxx ，22 1261 ( 2)3842BDxxbA设d为点A到直线bxy2的距离， 3bd ，
2、， 22 22122 8(8)22442ABDbbSBD db bAA当且仅当时，ABD的面积最大，最大值为。2( 2 2,2 2)b 2（2 2）探索图形的形状问题）探索图形的形状问题例 2.已知抛物线，焦点为，直线220xy 交抛物线C于A、B2:(0)C ymxmF两点，是线段AB的中点，过P作x轴的垂线交抛物线PC于点,是否存在实数，使ABQ 是以Q为直角顶点的 Qm直角三角形？若存在，求出的值；若不存在，说明理 m 由。解：联立方程2220ymx xy，消去y得2220mxx，高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网设22 1122( ,), (,)A x mxB x m
3、x， 则121222xxmxxm （） ，P是线段AB的中点，22 1212(,)22xxmxmxP，即1(,)pPym，11(,)Qm m，得22 11221111(,),(,)QAxmxQBxmxmmmm ，若存在实数m，使ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形，则0QA QB ，即22 12121111() ()()()0xxmxmxmmmm，结合（）化简得24640mm，即22320mm，2m或1 2m （舍去） ，存在实数2m ，使ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形。(3)(3)探索点、直线的存在性探索点、直线的存在性例 3：如图，已知椭圆 C1的中心在原点 O，长轴左、右端点 M，N
4、在 x 轴上，椭圆 C2的短轴为 MN，且 C1，C2的离心率都为 e，直线 MN，l 与 C1交于两点，l与 C2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为 A，B，C，D当 e 变化时，是否存在直线 l，使得 BOAN，并说明理由解：解：时的 不符合题意0tl时，当且仅当的斜率0tBOANBO与的斜率相等，BOkANANk即，ttaab22attaba22解得，222baabtaee221因为，又，所以，解得，at 10 e1122 ee122 e所以当时，不存在直线 ，使得；220 elBOAN高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网当时，存在直线 ，使得. 122 elBOAN
5、例 4、已知 B、C 是曲线 C：24(1)yx 上不同两点，满足(0,)OBOCR ，在轴上是否存在点，使得ABAC ，若存在，求出实数的取值范围； x( ,0)A mm若不存在， 说明理由。解： 设:BCxky 设 B（x1,y1）,C（x2,y2）2 24404(1)xkyykyyx 12124 ,4yyky y 0ABACAB AC 即1212()()0xmxmy y 即22 1212(1)()0ky ymk yym 224(1)40kmkkm 22(44)4mkm 若存在则21 212.404(1)m mmm m 且 且 二二: :针对性练习针对性练习1、设椭圆的左、右焦点分别为，过
6、右焦点作斜率为的直线 22 :143xyC12,F F2Fk与椭圆 C 交于 M、N 两点，在轴上是否存在点，使得以 PM，PN 为邻边的 lx( ,0)P m平行四边形是菱形，如果存在，求出的取值范围；如果不存在，说明理由。m解：由已知设 的方程为：，将直线方程与椭圆方程联立l) 1( xky，消去得： 22223484120kxk xk（）(1), 22143yk x xyy设交点为，1122( ,),(,),M x yN xy2340k则，221121228,(2)34kxxyyk xxk高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网若存在点，使得以 PM,PN 为邻边的平行四边形
7、是菱形，( ,0)P m由于菱形对角线垂直，所以0).(MNPNPM又12121212(,)(,)(2 ,)PMPNxm yxm yxym yy 的方向向量是，故，MN (1, )k1212()20k yyxxm则，2 1212(2)20kxxxxm即， 22 2 2288(2)203434kkkmkk由已知条件知,0Rkk 且22211,033444kmmk k 故存在满足题意的点 P 且 m 的取值范围是。)41, 0(2.直线 与椭圆交于，两点，已知， l2 214yx11( ,)A x y22(,)B xy11(2,)mx y，若,试问：的面积是否为定值？如果是，请给予证 22(2,)
8、nxy mnAOB明；如果不是，请说明理由.解：当直线斜率不存在时，即，AB2121,xxyy 由已知，得0m n 2222 1111404xyyx又在椭圆上， 11( ,)A x y所以2 21 111421|,|242xxxy ,故的面积为定值. 1121111|2| 122SxyyxyAOB当直线斜率存在时：设的方程为ABABykxt2222 2(4)24014ykxt kxktxtyx必须 即0 2 22244(4)(4)0k tkt得到， 1222 4ktxxk21224 4tx xk，mn12121212404()()0x xy yx xkxt kxt高考资源网（） 您身边的高考专
9、家 版权所有高考资源网代入整理得： 2224tk2 121 121| |1| |()4221tSABtxxx x k 2222| |44164142| |tktt kt所以的面积为定值. AOB3. 已知直线.若直线关于 x 轴对称的直线为，问直线与抛 :,lyxm mRlll物线是否相切？说明理由.2:4C xy解：因为直线 的方程为，所以直线的方程为.lyxmlyxm 由得.2,4yxmxy 2440xxm2416(14)4.mm 当，即时，直线与抛物线 C 相切；1m 0 l当，即时，直线与抛物线 C 不相切.1m 0 l综上，当时，直线与抛物线相切；1m lC当时，直线与抛物线 C 不相切.1m l
