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1、第6章 无限长单位脉冲响应 IIR滤波器设计,概述:许多信息处理过程，如信号的过滤，检测、预测等都要用到滤波器，数字滤波器是数字信号处理中使用得最广泛的一种线性系统，是数字信号处理的重要基础。实现方法主要有两种：数字信号处理硬件和计算机软件。,数字滤波器(DF)的定义,输入和输出均是数字信号，通过一定运算关系(数值运算)，改变输入数字信号所含频率成份的相对比例或滤除某些频率成份的器件。数字滤波器的特点(相对模拟滤波器)： 精度高、稳定、体积小、重量轻、不要求阻抗匹配。数字滤波器处理模拟信号 通过A/DC和D/AC，使用数字滤波器对模拟信号的处理。,(1) 一般分类 经典滤波器：输入信号中的有用
2、的频率成分和希望滤除的频率成分占用不同的频带，通过选频滤波器达到滤波的目的。 现代滤波器：信号和干扰的频带相互重叠，要利用信号的统计分布规律，从干扰中最佳提取信号，如：维纳滤波器、卡尔曼滤波器和自适应滤波器等。 (2) 从滤波器的结构分类 IIR/FIR (3) 从滤波器的功能分类分为低通、高通、带通、带阻滤波器,1、数字滤波器的分类,DF的传输函数是以2为周期，低通的中心频带处于2的整数倍处，高通的中心频带处于的奇数倍附近。,0,确定传输函数H(z)的过程称为数字滤波器设计 .在大多数应用中，关键的问题是用一个可实现的传输函数去逼近给定的滤波器幅度响应指标，而滤波器的相位响应可以通过级联全通
3、滤波器来校正。一种广泛应用的IIR滤波器设计方法是将一个模拟的原型传输函数转换为一个数字的传输函数，FIR滤波器的设计则是基于对指定幅度响应的直接逼近在设计数字传输函数H(z)之前，有两个关键的问题需要考虑 ：分析使用数字滤波器的整个系统的需求，确定合理的滤波器频率响应指标 .确定所设计的滤波器是FIR还是IIR数字滤波器。,数字滤波器的数学描述：1)差分方程,2)系统函数,通带,过渡带,阻带,低通滤波器的技术要求,为3dB,通带截止频率。,通称为边界频率。,1,1+ p,1- p,s,p s,低通数字滤波器的典型幅度指标,dB,s= -20log10 (s ) dB,1,1/A,p s,归一
4、化的数字低通滤波器幅度响应指标,dB,dB,数字滤波器的设计步骤,1）按照实际需要确定滤波器的性能要求。2）用一个因果稳定系统的 H(z) 或 h(n) 去逼近这个性能要求，即求 h(n) 的表达式确定系数 、 或零极点 、 ，以使滤波器满足给定的性能要求3）用一个有限精度的运算去实现这个系统函数。包括选择运算结构：如级联型、并联型、卷积型、频率 采样型以及快速卷积（FFT）型等;选择合适的字长和有效数字的处理方法等。,IIR数字滤波器设计方法：1）先设计一个合适的模拟滤波器，然后变换成满足预定指标的数字滤波器。由于模拟的网络综合理论已经发展得很成熟，模拟滤波器有简单而严格的设计公式，设计起来
5、方便、准确、可将这些理论推广到数字域，作为设计数字滤波器的工具。,DF指标,转换,相应的AF指标,H（z）,（ ）,（ ）,方法：脉冲响应不变法、双线性变化法注：仅适合IIRDF，而不适合FIRDF。,2）最优化设计方法 分两步：a) 确定一种最优准则，如最小均方误差准则，即使设计出的实际频率响应的幅度特性 （与所要求的理想频率响应 的均方误差最小，此外还有其他多种误差最小准则，b) 在此最佳准则下，求滤波的系数 和通过不断地迭代运算，改变 、 ，直到满足要求为止。,零极点累试法 频域逼近法、时域逼近法,以上两种设计方法中，第一种比较重要，因为数字滤波器在很多场合所要完成的任务与模拟滤波器相同
6、，如作低通、高通、带通及带阻网络等，这时数字滤波也可看作是“模仿”模拟滤波器。在IIR滤波器设计中，采用这种设计方法目前最普遍。由于计算机技术的发展，最优化设计方法的使用也逐渐增多。,6.2 常用模拟低通滤波器特性,为了方便学习数字滤波器，先讨论几种常用的模拟低通滤波器设计方法，高通、带通 、带阻等模拟滤波器可利用变量变换方法，由低通滤波器变换得到。 模拟滤波器的设计指标有,通带,过渡带,阻带,图： 低通滤波器的技术要求,为3dB,通带截止频率。,几种典型模拟滤波器（AF）的特点（对相同的阶数N）,（1）巴特沃斯（butterworth）AF：幅频特性单调下降， 但选择性最差；,（2）切比雪夫
7、I（Chebyshev I）AF：幅频响应在通带内 等波纹，阻带单调下降，选择性比切比雪夫II好。,（3）切比雪夫II（Chebyshev II）AF：幅频响应在通带内单调下降，阻带等波纹；,（4）椭圆（ellip）AF：选择性最好，通带阻带均为等波纹。,（5）贝塞尔（Bessel）AF：通带内有较好的线性相位特性。,模拟滤波器的设计,相应的AF指标,（ ）,？,模拟滤波器的设计就是根据一组设计规范设计模拟系统函数Ha(s)，使其逼近某个理想滤波器特性。因果系统中式中ha(t)为系统的冲激响应，是实函数。 不难看出,定义振幅平方函数式中 Ha(s)模拟滤波器 系统函数Ha(j)滤波器的频率响应
8、|Ha(j)|滤波器的幅频响应又 S=j，2=S2 A(2)=A(-S2)|S=j,问题：由A(-S2)Ha(S)对于给定的A(-S2)，先在S复平面上标出A(-S2)的极点和零点，由(1)式知，A(-S2)的极点和零点总是“成对出现”，且对称于S平面的实轴和虚轴，选用A(-S2)的对称极、零点的任一半作为Ha(s)的极、零点，则可得到Ha(s)。为了保证Ha(s)的稳定性，应选用A(-S2)在S左半平面的极点作为Ha(s)的极点。,零点的分布则无此限制，只和滤波器的相位特性有关，如果要求是最小相位延迟特性，则 Ha(s) 应取左半面零点，若无特殊要求，则可将对称零点的任一半（应为共轭对）取为
9、Ha(s) 的零点。,由此看出，由 确定 的方法如下：（1）由 得到象限对称的s平面函数；（2）将 因式分解，得到各零极点，将左半平面极点 归于 。 轴上的零点或者极点都为偶次，应取一半（应为共轭对）作为 的零点或极点。（3）按照 与 的低频或高频特性的对比 就可以确定出增益常数。（4）由求出的零点，极点及增益常数，则可完全确定系统 函数,例 根据以下幅度平方函数 确定系统函数,解：,Step1:,Step2:,Step3:,1）巴特沃兹滤波器 (Butterworth 滤波器)(巴特沃兹逼近)特点：具有通带内最大平坦的振幅特性，且随f，幅频特 性单调。其幅度平方函数：,三种模拟低通滤波器的设
10、计,图1 巴特沃兹滤波器 振幅平方函数,通带: 使信号通过的频带阻带：抑制噪声通过的频带过渡带：通带到阻带间过渡的频率范围c ：3dB截止频率。过渡带为零，阻带|H(j)|=0通带内幅度|H(j)|=cons.，H(j)的相位是线性的。,理想滤波器,图1中，N增加，通带和阻带的近似性越好，过渡带越陡。通带内，分母/c1， ( /c)2N 1, 增加， A(2)快速减小。=c, ， ,幅度衰减 ，相当于3db衰减点。,振幅平方函数的极点：令分母为零，得 式中，k0，1，2，（2N1） 可见，Butter worth滤波器 的振幅平方函数有2N个极点，它们均匀对称地分布在|S|=c的圆周上。,例：
11、N=3阶BF振幅平方函数的极点分布,考虑到系统的稳定性，知DF的系统函数是由S平面左半部分的极点（SP3，SP4，SP5）组成的，它们分别为：系统函数为： 令 ，得归一化的三阶BF： 如果要还原的话，则有,由于各滤波器的幅度特性不同，为使设计统一，将所有 频率归一化，采用对3dB截止频率 归一化，归一化 后的 表示为,称为归一化频率；,令,，p称为归一化复变量，这样归一化的,巴特沃斯的传输函数为,式中， 为归一化极点，,则,只要知道阶数N，由表6.2.1查表可得到,及各极点。,(6.2.11),问题：阶数N如何确定？,阶数N的大小主要影响幅度特性下降速度，应由技术指标确定。,解上面两式，得到,
12、令,则N可表示为：,（6.2.16),而对于3dB截止频率，若技术指标没有给出，也可由 上面两式得出：,或者,低通巴特沃斯滤波器的设计步骤如下：,（1）根据技术指标，用（6.2.16)式求出滤波器的阶数N；（2）求出归一化极点 和归一化传输函数（3）将 去归一化。将 代入 得到实际的滤波器传输函数,2）切比雪夫（chebyshev）滤波器 (切比雪夫多项式逼近)特点：误差值在规定的频段上等幅变化。巴特沃兹滤波器在通带内幅度特性是单调下降的，如果阶次一定，则在靠近截止频率 处，幅度下降很多，或者说，为了使通带内的衰减足够小，需要的阶次（N）很高，为了克服这一缺点，采用切比雪夫多项式逼近所希望的
13、。切比雪夫滤波器的 在通带范围内是等幅起伏的，所以同样的通带衰减，其阶数较巴特沃兹滤波器要小。可根据需要对通带内允许的衰减量（波动范围）提出要求，如要求波动范围小于1dB。,振幅平方函数为,有效通带截止频率与通带波纹有关的参量， 大 波纹大0 1VN（x）N阶切比雪夫多项式，定义为,如图1,通带内 变化范围1 c ，随/c ， 0 (迅速趋于零)当 =0时，N为偶数， ，min ，N为奇数， ， max，,切比雪夫滤波器的振幅平方特性,有关参数的确定:a、通带截止频率 ，预先给定b、由通带波纹表为 给定通带波纹值分贝数 后，可求 。,c、阶数N由阻带的边界条件确定（ 、A事先给定）,3、椭圆滤波器（考尔滤波器）特点：幅值响应在通带和阻带内都是等波纹的，对于给定的阶数和给定的波纹要求，椭圆滤波器能获得较其它滤波器更窄的过渡带宽，就这点而言，椭圆滤波器是最优的。其振幅平方函数为RN（，L）雅可比椭圆函数L表示波纹性质的参量,N=5， 的特性曲线 可见，在归一化通带内（-11）， 在（0，1）间振荡，而超过L后， 在 间振荡。 。 这一特点使滤波器同时在通常和阻带具有任意衰减量。,
