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1、郴州市郴州市 2015 年高考文科数学信息卷（三）年高考文科数学信息卷（三）时量：120分钟 总分：150分一一、选择题：本大题共选择题：本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 50 分，在每个小题给出的四个选项中，只分，在每个小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的1. 已知集合若，则实数的取值范围是（ A 220,Mx xxNx xaMNa）A. B. C. D. 2,)(2,)(,0(,02.函数 41 2xxf x的图象 （ ） A.关于原点对称 B.关于直线 y=x 对称 C.关于 x 轴对称 D.关于 y 轴对称【答案】D 3下列结
2、论中错误的是 ( )A设命题：，使，则，都有pxR 220xx:pxR 220xxB若，则“”是“取到等号”的充要条件, x yRxy2()2xyxyC已知命题 p 和 q，若 pq 为假命题，则命题 p 与 q 都为假命题D命题“在中，若”的逆命题为真命题ABC,sinsinABAB则【答案】C 4执行如图所示的程序框图，如果输入，那么输出的值为 （ ）2,2abaA. 4B. 16C. 256D. 3log 16【答案】C 开始baa3log4a 输出 a结束否是输入a, b正视图侧视图俯视图115不全相等的五个数 a、b、c、m、n 具有关系如下：a、b、c 成等比数列，a、m、b 和b
3、、n、c 都成等差数列，则 （ C ）nc maA B0 C2 D不能确定2-6已知边长为 1 的正方形 ABCD 位于第一象限，且顶点 A、D 分别在 x、y 的正半轴上（含原点）滑动，则OB OC 的最大值是（ C ）A1B2 2C2D57.一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积为（ D ）A. B. 3 43 2C. D. 32 3【解析】如图所示，四面体为正四面体.8.某市政府调查市民收入与旅游愿望时，采用独立检验法抽取 3000 人，计算发现 K26.023，则根据这一数据查阅下表，市政府断言市民收入增减与旅游愿望有关系的可信程 度是 ( )P(K2k)0.250.150.1
4、00.0250.0100.005k1.3232.0722.7065.0246.6357.879A. 99.5% B97.5% C95% D90% 【答案】B9.已知、均为单位向量，且满足=0，则（+）（+）的最大值是 ar br cr ar br ar br cr ar cr（ ）A2+2 B2+ C3+ D1+22523 【答案】B 10.定义在上的函数满足：则不等式 R( )f x( )( )1,(0)4,f xfxf（其中为自然对数的底数）的解集为 （ ）( )3xxe f xee. . A0,B ,03,. .C ,00,D3,【解析】构造函数( )e( )e ,xxg xf x( )
5、e( )e( )ee( )( ) 10,xxxxg xf xfxf xfx因为所以是 R 上的增函数，又因为，所以原不等式转化为( )e( )exxg xf x(0)3g，解得.故选 A.( )(0)g xg0x 二二、填空题：本大题共填空题：本大题共 5 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 25 分分11在ABC 中，=15，=10, A=，则 【答案】 ab60cosB 6 312如图，椭圆的长轴为 A1A2，短轴为 B1B2，将坐标平面沿 y 轴折成一个二面22 11612xy角，使点 A2在平面 B1A1B2上的射影恰好是该椭圆的左焦点，则此二面角的大小为 【答案】313在四棱
6、锥 PABCD 中，底面 ABCD 是边长为 2 的菱形，BAD60， 侧棱 PA底面 ABCD，PA2，E 为 AB 的中点，则四面体 PBCE 的体积为_【答案】3 314等比数列的前项和为，若，成等差数列，则其公比为 nannS1nSnS2nSq_. 【答案】-215在函数的图像上任取两个不同的点、2( )ln(1)0f xaxxx11( ,)P x y22(,)Q xy，总能使得，则实数的取值范围为 12()xx1212()()4()f xf xxxa【答案】1 ,)2【解析】原式等价为，令，则在1122()4()4f xxf xx( )( )4g xf xx( )g x上为不减函数，
7、所以.(0,)( )0g x第 13 题PABCDE三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 个小题，共个小题，共 75 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16. 某工厂有工人 1000 人，其中 250 名工人参加过短期培训（称为 A 类工人） ，另外 750名工人参加过长期培训（称为 B 类工人） 。现用分层抽样的方法（按 A 类、B 类分二层）从该工厂的工人中共抽查100 名工人，调查他们的生产能力（此处的生产能力指一天加工的零件数） 。(1) A 类工人和 B 类工人中各抽查多少工人？(2) 从 A 类工人中的抽查结果和从 B 类工人中
8、的抽查结果分别如下表 1 和表 2。求x，y，再完成下列频率分布直方图；分别估计 A 类工人和 B 类工人生产能力的平均数，并估计该工厂工人的生产能力的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） 。解：（1）A 类工人和 B 类工人中分别抽查 25 名和 75 名。 . 4 分（2）由485325x ，得5x ，由636 1875y，得15.y . 6 分频率分布直方图如下：7 分48553105115125135145123.2525252525Ax 6153618115125135145133.875757575Bx ，2575123133.8131.1100100x 11 分A 类
9、工人生产能力的平均数，B 类工人生产能力的平均数以及该工厂工人生产能力的平均数的估计值分别为 123，133.8，131.1。 12 分17.（本题满分 12 分）在中，三边所对的角分别为,设函数ABC, ,a b c, ,A B C， 且( )3sin2cos2f xxx()22Af（1）若，求角 B 的大小；coscossinaBbAcC（2）记，若，试求的最小值( ) |gABAC | | 3ABAC ( )g解：(1)由题设条件知 f(x)2sin(2x )由正弦定理，知6可化为coscossinaBbAcC2sincossincossinABBAC故, 即2sin()sinABC2s
10、insinCC因为，所以，又因为,所以, 3 分sin0C sin1C 0C2C因为，得, 所以. 6 分()22Af3A()6BAC(2) 2222|()|2 |cos|ABACABACABABACAAC 又，. 9 分| | 3ABAC 3AABDCEMO所以2222213|(1)|(1)33 ()24ABACAB 故时，的值取得最小值. 1 2 ( ) |gABAC 3 3 212 分另解：记,则 P 是过 B 与 AC 平行的直线 上的动点，ABACAP l( ) |gAP所以的最小值即点 A 到直线 的距离.( )gl3 3 218. （本题满分 12 分） 如图，的外接圆O 的半径
11、为 5，CE 垂直于O 所在的平面，ABCBD/CE,CE=4,BC=6,且 BD=1,101cos.101ADB()求证：平面平面;AEC BCED()试问线段 DE 上是否存在点 M，使得直线 AM 与平面 ACE 所成角的正弦值为？若存在，确2 21 21定点 M 的位置；若不存在，请说明理由.【解析】()证明：BDABC面BD=1,BDAB又因为101cos.101ADB故 AD=,AB=10=直径长， .3 分101.又因为,所以.ACBCECABC 面ECBC,又，ACECCBCACE 面BCBCED 面平面平面 .6 分AEC BCED()如图，作 MNCE 交 CE 于 N，连
12、接 AN,则,故直线 AM 与平面 ACEMNAEC 面所成角为,且,.MANMNANNCAC 设 MN=2, 由直线 AM 与平面 ACE 所成角的正弦值x为，得 AM=，所以.2 21 2121x17ANx另一方面，作 DK/ MN/BC, 得 EN=,x4NCx而,故中，由8AC Rt ANC222ANACNC ABDCEMON得，221764(4)xx2x4,2 5MNEM所以存在点 M，且时，直线 AM 与平面 ACE 所成角的正弦值2 5EM 为.12 分2 21 2119.（本题满分 13 分）在数列b,ann中，a1=2，b1=4，且1nnnaba，成等差数列，11nnnbab， 成等比数列（n*N）（1）求 a2，a3，a4及 b2，b3，b4，由此归纳出b,ann的通项公式.（2）若，试问是否存在正整数，使得，若存2log ()n n nbca12.nnScccm5mS 在，求最小的正整数.m解：（1）由条件得2 1112nnnnnnbaaab b，由此可得2233446912162025ababab，猜测2(1)(1)nnan nbn， 6
